🎓 Мои уроки
Главная › 7 класс › Алгебра › Ответы
← Все уроки: Алгебра 📄 PDF

Ответы к заданиям — Алгебра, 7 класс

Загляни сюда только после того, как сам(а) решил(а)! Сверь ответы и разбери ошибки.

Урок 1. Числовые выражения

  1. 19. Сначала 2 · 6 = 12, затем 7 + 12 = 19.
  2. 54. Скобка 7 + 2 = 9, затем 9 · 6 = 54.
  3. 37. Сначала 12 ÷ 4 = 3, затем 40 − 3 = 37.
  4. 22. 5 · 8 = 40, 6 · 3 = 18, затем 40 − 18 = 22.
  5. 6. Скобка 3 + 6 = 9, затем 54 ÷ 9 = 6.
  6. 40. В скобке: 5 · 4 = 20, 10 + 20 = 30. Затем 2 · 30 = 60, и 100 − 60 = 40.
  7. Не имеет смысла. 7 − 7 = 0, а деление на ноль запрещено.
  8. 18. Скобка: 4 · 2 = 8, 16 − 8 = 8. Затем 3 · 4 = 12, 48 ÷ 8 = 6, и 12 + 6 = 18.
  9. 43. Внутренняя скобка 2 + 3 = 5, 60 ÷ 5 = 12, 12 − 4 = 8. Затем 8 · 5 = 40, 21 ÷ 7 = 3, и 40 + 3 = 43.

Урок 2. Выражения с переменными

  1. 22. 5·4 = 20, затем 20 + 2 = 22.
  2. 2. 6·3 = 18, затем 20 − 18 = 2.
  3. 29. 3·5 = 15, 2·7 = 14, затем 15 + 14 = 29.
  4. 15. 4·(−2) = −8, затем 7 − (−8) = 7 + 8 = 15.
  5. 6. 4² = 16, затем 16 − 10 = 6.
  6. x = 0. Деление на ноль запрещено.
  7. a = 5. Тогда знаменатель a − 5 = 0.
  8. 2,5. Числитель 7 + 3 = 10, знаменатель 7 − 3 = 4, затем 10/4 = 2,5.
  9. 28. x² = (−3)² = 9, значит 2·9 = 18. Дальше −3x = −3·(−3) = 9. Итого 18 + 9 + 1 = 28.

Урок 3. Сравнение значений выражений

  1. Верно. 15 действительно больше 11.
  2. Неверно. 6 не больше и не равно 9.
  3. 8 · 3 < 5 · 5. 24 < 25.
  4. 40 − 12 > 4 · 6. 28 > 24.
  5. Верно. Есть «или равно», а 10 = 10.
  6. 18 ÷ 2 + 1 > 2 · (3 + 1). Слева 9 + 1 = 10, справа 2 · 4 = 8; 10 > 8.
  7. 4 + 6 · 2 < (4 + 6) · 2. Слева 4 + 12 = 16, справа 10 · 2 = 20; 16 < 20.
  8. 3x > x + 8. При x = 5: слева 15, справа 13; 15 > 13.
  9. При a = 4: a² = 16, 2a + 3 = 11, значит a² > 2a + 3 (16 > 11). При a = 1: a² = 1, 2a + 3 = 5, значит a² < 2a + 3 (1 < 5). Знак зависит от значения переменной!

Урок 4. Свойства действий над числами

  1. 370. (2 · 5) · 37 = 10 · 37 = 370.
  2. 400. 25 · 16 = 25 · 4 · 4 = 100 · 4 = 400 (или 25 · (4·4)).
  3. 200. (47 + 53) + (89 + 11) = 100 + 100 = 200.
  4. 927. 9 · (100 + 3) = 900 + 27 = 927.
  5. 693. 7 · (100 − 1) = 700 − 7 = 693.
  6. 1800. 18 · (24 + 76) = 18 · 100 = 1800.
  7. 2700. (4 · 25) · 27 = 100 · 27 = 2700.
  8. 64000. (125 · 8) · 64 = 1000 · 64 = 64000.
  9. 0. Вынесем 36: 36 · (17 + 23 − 40) = 36 · 0 = 0.

Урок 5. Тождества и тождественные преобразования

  1. 13x. (5 + 8)x = 13x.
  2. 6a. (12 − 7 + 1)a = 6a.
  3. b + 5. Плюс: 9 + b − 4, числа 9 − 4 = 5.
  4. 10 − y. Минус меняет знаки: 15 − y − 5, числа 15 − 5 = 10.
  5. 5 + m. Минус меняет знаки: 8 − 3 + m, числа 8 − 3 = 5.
  6. 7x + 8. Скобка: 4x + 8, затем 4x + 8 + 3x = 7x + 8.
  7. a − 2. Скобка: 6a − 2, затем 6a − 2 − 5a = a − 2.
  8. 6y + 4. Минус: 10y − 4y + 6 − 2 = 6y + 4.
  9. 8x − 6. Первая скобка: 10x − 15. Вторая с минусом: −2x + 8. Всё вместе: 10x − 15 − 2x + 8 + 1 = (10 − 2)x + (−15 + 8 + 1) = 8x − 6.

Урок 6. Уравнение и его корни

  1. Да. Подставим: 6 − 2 = 4 — верно, 6 корень.
  2. Да. 3·(−2) + 8 = −6 + 8 = 2 — верно, −2 корень.
  3. x = 6. x = 15 − 9 = 6. Проверка: 6 + 9 = 15. ✓
  4. x = 7. x = −4 + 11 = 7. Проверка: 7 − 11 = −4. ✓
  5. x = 7. x = 56 ÷ 8 = 7. Проверка: 8·7 = 56. ✓
  6. x = 4. 5x = 23 − 3 = 20; x = 20 ÷ 5 = 4. Проверка: 5·4 + 3 = 23. ✓
  7. x = 4. 9x − 4x = 16 + 4 → 5x = 20 → x = 4. Проверка: слева 9·4 − 4 = 32, справа 4·4 + 16 = 32. ✓
  8. Да, равносильны. Первое: x = 15 ÷ 3 = 5. Второе: x = 8 − 2 = 6. Стоп — корни 5 и 6 разные, значит уравнения не равносильны. (Поймал? Это была проверка на внимательность: всегда дорешивай оба уравнения до конца, а не угадывай ответ.)
  9. a = 4. Если корень x = 3, подставим: 2·3 + a = 10 → 6 + a = 10 → a = 4. Проверка: уравнение 2x + 4 = 10 даёт 2x = 6, x = 3. ✓

Урок 7. Линейное уравнение с одной переменной

  1. x = 7. x = 28 ÷ 4 = 7. Проверка: 4·7 = 28. ✓
  2. x = −7. x = 21 ÷ (−3) = −7. Проверка: −3·(−7) = 21. ✓
  3. x = 3. 5x = 17 − 2 = 15; x = 3. Проверка: 5·3 + 2 = 17. ✓
  4. x = 3. 8x − 3x = 14 + 1 → 5x = 15 → x = 3. Проверка: слева 8·3 − 1 = 23, справа 3·3 + 14 = 23. ✓
  5. x = 5. Раскрываем: 2x + 8 = 18 → 2x = 10 → x = 5. Проверка: 2·(5 + 4) = 18. ✓
  6. Корней нет. 7x − 7x = 5 + 3 → 0·x = 8, b ≠ 0 — случай 2.
  7. Бесконечно много корней. 6x − 6 = 6x − 6 → 0·x = 0 — случай 3, x любое.
  8. x = 1. Раскрываем: 4 − 3x + 6 = x + 6 → 10 − 3x = x + 6 → −4x = −4 → x = 1. Проверка: слева 4 − 3·(1 − 2) = 4 − 3·(−1) = 4 + 3 = 7; справа 1 + 6 = 7. ✓
  9. ⭐ Здесь b = 12 ≠ 0. Корней нет при a = 0: получается 0·x = 12 — неверно ни при каком x. Бесконечно много корней не получится никогда: для этого нужно было бы a = 0 и b = 0, но b = 12 фиксировано и не ноль. Так что второй вариант невозможен.

Урок 8. Решение задач с помощью уравнений

  1. 25. x + 17 = 42 → x = 25. Проверка: 25 + 17 = 42. ✓
  2. 38 и 26. Пусть во второй x, в первой x + 12. x + (x + 12) = 64 → 2x = 52 → x = 26; первая 38. Проверка: 26 + 38 = 64, 38 − 26 = 12. ✓
  3. 16 см и 80 см. Меньшая x, бо́льшая 5x. x + 5x = 96 → 6x = 96 → x = 16; бо́льшая 80. Проверка: 16 + 80 = 96, 80 = 5·16. ✓
  4. 30 р. Пусть блокнот x р. 3x + 30 = 120 → 3x = 90 → x = 30. Проверка: 3·30 + 30 = 120. ✓
  5. 2 часа. Пусть авто едет x ч, автобус (x + 1) ч. 60·(x + 1) = 90·x → 60x + 60 = 90x → 60 = 30x → x = 2. Проверка: автобус 60·3 = 180 км, авто 90·2 = 180 км. ✓
  6. 2 часа. (50 + 70)·x = 240 → 120x = 240 → x = 2. Проверка: 50·2 + 70·2 = 100 + 140 = 240. ✓
  7. 6 лет. Через x лет: 36 + x = 3·(8 + x) → 36 + x = 24 + 3x → 12 = 2x → x = 6. Проверка: мама 42, дочь 14; 42 = 3·14. ✓
  8. 12 мальчиков и 16 девочек. Пусть мальчиков x, девочек x + 4. x + (x + 4) = 28 → 2x = 24 → x = 12; девочек 16. Проверка: 12 + 16 = 28, 16 − 12 = 4. ✓
  9. ⭐ Брату 3 года, сестре 12 лет. Пусть брату x лет, сестре 4x. Через 6 лет: 4x + 6 = 2·(x + 6) → 4x + 6 = 2x + 12 → 2x = 6 → x = 3; сестре 4·3 = 12. Проверка: сейчас 12 = 4·3 ✓. Через 6 лет: сестре 18, брату 9; 18 = 2·9. ✓

Урок 9. Статистические характеристики

  1. 8. (5 + 9 + 13 + 5) ÷ 4 = 32 ÷ 4 = 8.
  2. 18. Наибольшее 21, наименьшее 3; 21 − 3 = 18.
  3. 4. Число 4 встречается три раза (1 — дважды, остальные по разу). Мода 4.
  4. 6. Упорядочим: 2, 5, 6, 8, 11. Пять чисел, посередине 6.
  5. 8. Упорядочим: 3, 4, 7, 9, 10, 12. Шесть чисел, два средних — 7 и 9; медиана (7 + 9) ÷ 2 = 16 ÷ 2 = 8.
  6. Среднее ≈ 4,17; мода 4. Сумма 4 + 5 + 3 + 4 + 4 + 5 = 25; среднее 25 ÷ 6 = 4,1(6) ≈ 4,17. Мода: 4 встречается три раза (чаще остальных) → мода 4.
  7. Среднее 20; размах 10. Сумма 18 + 22 + 20 + 25 + 15 = 100; 100 ÷ 5 = 20. Размах 25 − 15 = 10.
  8. Среднее 5; размах 7; моды 2 и 7; медиана 5. Сумма 7 + 2 + 7 + 9 + 2 + 3 = 30; 30 ÷ 6 = 5. Размах 9 − 2 = 7. Числа 2 и 7 встречаются по два раза (чаще остальных) → две моды: 2 и 7. Медиана: упорядочим 2, 2, 3, 7, 7, 9; два средних — 3 и 7; (3 + 7) ÷ 2 = 5.
  9. ⭐ x = 8. Среднее = (3 + 8 + x + 10 + 6) ÷ 5 = 7, значит сумма равна 7·5 = 35. Тогда 27 + x = 35 → x = 8. Проверка: (3 + 8 + 8 + 10 + 6) ÷ 5 = 35 ÷ 5 = 7. ✓

Урок 10. Что такое функция

  1. Аргумент — x, значение функции — y.
  2. Да, является: каждому месяцу соответствует ровно одно число дней.
  3. Нет: людей одного возраста много, имена у них разные (одному x — много y).
  4. y = 250x.
  5. Целые неотрицательные числа: 0, 1, 2, 3, …
  6. При x = 2: y = 3. При x = 4: y = 9.
  7. x — любое положительное число (x > 0).
  8. Например, «количество килограммов яблок → их стоимость»: каждому весу соответствует ровно одна цена. (Подойдёт любой разумный пример с одним выходом на каждый вход.)
  9. ⭐ Нет, не является функцией. При x = 4 подходят сразу два значения: y = 2 и y = −2 (ведь 2² = 4 и (−2)² = 4). Одному x — два y, а функция требует ровно один.

Урок 11. Вычисление значений функции

  1. f(5) = 4, f(0) = −6, f(−2) = −10.
  2. При x = 3: y = 5. При x = −5: y = 21.
  3. 3x + 2 = 20 → 3x = 18 → x = 6.
  4. 7 − 2x = 1 → −2x = −6 → x = 3.
x −2 −1 0 1 2
y −5 −3 −1 1 3
  1. x = 0.
  2. f(2) = 10/2 = 5; f(5) = 10/5 = 2. Найти f(0) нельзя — на ноль делить нельзя (x = 0 не входит в область определения).
  3. x + 8 = 8 → x = 0.
  4. ⭐ f(1) = 1 − 6 + 5 = 0 и f(5) = 25 − 30 + 5 = 0. Значит, x = 1 и x = 5.

Урок 12. График функции

  1. A(4; 1): вправо 4, вверх 1. B(−3; 2): влево 3, вверх 2. C(0; 5): по x не двигаемся, вверх 5 (точка на оси y).
  2. Точка (0; −4) лежит на оси y; точка (6; 0) — на оси x.
  3. Это разные точки: у (5; 2) x = 5, y = 2; у (2; 5) x = 2, y = 5. Координаты поменяны местами.
  4. Таблица: x = −1, 0, 1, 2, 3 → y = −3, −2, −1, 0, 1. График — прямая, пересекающая ось x в точке (2; 0).
  5. Таблица: x = −1, 0, 1, 2 → y = −3, 0, 3, 6. График — прямая через начало координат.
  6. При x = 3: y = 1.
  7. y = 0 при x = 2.
  8. Проверка: 2·2 + 1 = 5. Да, точка K принадлежит графику.
  9. ⭐ 4a − 2 = 10 → 4a = 12 → a = 3.

Урок 13. Прямая пропорциональность

  1. Прямые пропорциональности: y = 5x и y = −8x. (y = x − 1 — есть «−1»; y = x² — это не вида kx.)
  2. Прямая через (0; 0) и (1; 1), возрастает (I и III четверти).
  3. Прямая через (0; 0) и (1; −2), убывает (II и IV четверти).
  4. При x = 3: y = 18. При x = −2: y = −12.
  5. k = −5 < 0 → через II и IV четверти.
  6. 5·3 = 15. Да, принадлежит.
  7. 8 = k·4 → k = 2. Функция y = 2x.
  8. |1/3| ≈ 0,33, |2| = 2. Круче у y = 2x.
  9. ⭐ 9 = k·(−3) → k = −3. Функция y = −3x. Так как k < 0 — график проходит через II и IV четверти.

Урок 14. Линейная функция

  1. k = 6, b = 2.
  2. k = −1, b = −7.
  3. Точки (0; −3) и (3; 0). Прямая возрастает.
  4. Точки (0; 1) и (1; −1). Прямая убывает.
  5. При x = 0: y = −10. Точка (0; −10).
  6. 3x − 12 = 0 → x = 4. Точка (4; 0).
  7. 2·1 + 2 = 4. Да, принадлежит.
  8. y = 5x − 3.
  9. ⭐ С осью y (x = 0): y = 6, точка (0; 6). С осью x (y = 0): −2x + 6 = 0 → x = 3, точка (3; 0). Прямая убывает (k = −2 < 0), пересекает ось y высоко в (0; 6) и спускается к (3; 0).

Урок 15. Взаимное расположение графиков

  1. k равны (3 = 3), b разные (7 ≠ −2) → параллельны.
  2. k разные (2 ≠ −4) → пересекаются.
  3. k равны и b равны → совпадают.
  4. Упростим: 4(2x − 1) = 8x − 4. У первой y = 8x − 3, у второй y = 8x − 4. k равны, b разные (−3 ≠ −4) → параллельны.
  5. x + 2 = −x + 6 → 2x = 4 → x = 2; y = 2 + 2 = 4. Точка (2; 4).
  6. 2x − 1 = x + 3 → x = 4; y = 4 + 3 = 7. Точка (4; 7).
  7. k = 6 (равный угловой коэффициент; b у них разные, так что именно параллельны).
  8. k равны (3 = 3), b разные (4 ≠ −4) → не пересекаются, они параллельны.
  9. ⭐ Совпадает при k = 2 и b = −5 (обе формулы одинаковы). Параллелен при k = 2 и любом b ≠ −5 (наклон тот же, но прямая на другой высоте).

Урок 16. Определение степени

  1. 7³. Тройка множителей семёрки.
  2. Основание 12, показатель 6.
  3. 64. 2·2·2·2·2·2 = 64.
  4. 1000. Единица и три нуля.
  5. 81. Показатель чётный → плюс; 3⁴ = 81.
  6. −32. Показатель нечётный → минус; 2⁵ = 32.
  7. −4² = −16, а (−4)² = 16. Они не равны: в первом случае минус снаружи степени.
  8. 11. 3³ = 27, 2⁴ = 16, 27 − 16 = 11.
  9. −24. (−2)³ = −8, значит 5 · (−8) = −40; (−1)⁸ = 1, 4² = 16, значит 1 · 16 = 16; итог −40 + 16 = −24.

Урок 17. Умножение и деление степеней

  1. a⁸. 3 + 5 = 8.
  2. x⁸. x = x¹, значит 7 + 1 = 8.
  3. 5⁶. Основание 5, 4 + 2 = 6.
  4. b⁵. 9 − 4 = 5.
  5. 8. 8 − 5 = 3, значит 2³ = 8.
  6. c⁷. 6 + 3 = 9, затем 9 − 2 = 7.
  7. 2. (−6)⁰ = 1 и 3⁰ = 1, сумма 1 + 1 = 2.
  8. 1. 5 + 4 = 9, затем 9 − 9 = 0, и m⁰ = 1.
  9. 5. В скобке 4 + 3 = 7, затем 7 − 5 = 2, значит 2² = 4; плюс 7⁰ = 1; итог 4 + 1 = 5.

Урок 18. Возведение в степень произведения и степени

  1. 16x². 4² = 16, степень получают оба множителя.
  2. x²y²z². Каждый множитель в квадрат.
  3. a¹⁵. 3 · 5 = 15.
  4. 2⁸ (или 256). 4 · 2 = 8.
  5. 27a⁶. 3³ = 27, а (a²)³ = a⁶ (2 · 3 = 6).
  6. b¹¹. (b³)² = b⁶, затем b⁶ · b⁵ = b¹¹ (6 + 5).
  7. c⁵. (c⁴)³ = c¹², затем c¹² : c⁷ = c⁵ (12 − 7).
  8. 25x²y⁴. 5² = 25, x², а (y²)² = y⁴ (2 · 2 = 4).
  9. a¹. (a²)⁴ = a⁸, (a³)² = a⁶; a⁸ · a⁶ = a¹⁴; затем a¹⁴ : a¹³ = a¹ = a.

Урок 19. Одночлен и его стандартный вид

  1. Одночлены: 6ab и −5y³. В x + 2 есть сложение, в a/b — деление на переменную.
  2. 12x³. Числа 3 · 4 = 12, буквы x · x · x = x³.
  3. −7.
  4. 1. Перед буквами числа нет, значит коэффициент 1.
  5. 10a⁷. 5 · 2 = 10, a³ · a⁴ = a⁷.
  6. 12x³y³. 3 · 4 = 12, x² · x = x³, y · y² = y³.
  7. 8x¹². 2³ = 8, (x⁴)³ = x¹².
  8. 9a⁴. (−3)² = 9 (чётная степень — плюс), (a²)² = a⁴.
  9. −32x⁵y⁷. (−2)³ = −8, x³, (y²)³ = y⁶, значит (−2xy²)³ = −8x³y⁶; умножаем на 4x²y: −8 · 4 = −32, x³ · x² = x⁵, y⁶ · y = y⁷.

Урок 20. Функции y = x² и y = x³ и их графики

  1. y = 9, 1, 0, 1, 9 (для x = −3, −1, 0, 1, 3 соответственно).
  2. Да. (−4)² = 16 — совпадает.
  3. Нет. 2² = 4, а не 6.
  4. 64. 4³ = 4 · 4 · 4 = 64.
  5. −8. (−2)³ = −8 (нечётная степень сохраняет минус).
  6. x = 7 и x = −7. Оба дают квадрат 49.
  7. x = −3. (−3)³ = −27; для куба ответ единственный.
  8. b = 9. 3² = 9.
  9. Точки (6; 36) и (−6; 36). Их две, потому что парабола симметрична относительно оси y: 6² = 36 и (−6)² = 36 дают одно и то же значение y.

Урок 21. Многочлен и его стандартный вид

  1. Члены: 5a², −3a, 7.
  2. 11x. 4x + 9x − 2x = (4 + 9 − 2)x = 11x.
  3. 9m + 3n. С m: 6m + 3m = 9m. С n: −2n + 5n = 3n.
  4. 2x² + 7x. С x²: 3x² − x² = 2x². С x: 5x + 2x = 7x.
  5. 8ab. С ab: 7ab + 2ab − ab = 8ab. Числа: −4 + 4 = 0.
  6. 3. Наибольшая степень у члена 4x³.
  7. 5a²b − 4; степень 3. Подобные: 2a²b + 3a²b = 5a²b; числа −5 + 1 = −4. Степень a²b равна 2 + 1 = 3.
  8. 5xy. 3x·2y = 6xy; затем 6xy + 4xy − 5yx = (6 + 4 − 5)xy = 5xy.
  9. 7y² + 1; степень 2. С y³: 5y³ − 5y³ = 0. С y: 2y − 2y = 0. Остаётся 7y² + 1, степень 2.

Урок 22. Сложение и вычитание многочленов

  1. 5a + 5b. 4a + 7b + a − 2b; a-члены: 4a + a = 5a; b-члены: 7b − 2b = 5b.
  2. 13 − x. Минус меняет знаки: 8 − x + 5 = 13 − x.
  3. 5m − 5. 9m + 3 − 4m − 8; m: 9m − 4m = 5m; числа: 3 − 8 = −5.
  4. 4x + 4y. 6x − 5y − 2x + 9y; x: 6x − 2x = 4x; y: −5y + 9y = 4y.
  5. 2a² + 2a − 7. 5a² − 3a² + 2a − 7; a²: 5a² − 3a² = 2a².
  6. 4x² + 6. x²: 3x² + x² = 4x²; x: x − x = 0; числа: −4 + 10 = 6.
  7. 5n + 3. 7n − 2 − 3n + 6 + n − 1; n: 7n − 3n + n = 5n; числа: −2 + 6 − 1 = 3.
  8. −2b + 2c. a − b + c − a − b + c; a − a = 0; −b − b = −2b; c + c = 2c.
  9. x + 3. 2x² − x² + 3x − 5 − x² − 2x + 8; x²: 2x² − x² − x² = 0; x: 3x − 2x = x; числа: −5 + 8 = 3.

Урок 23. Умножение одночлена на многочлен

  1. 12a + 8. 4 · 3a + 4 · 2.
  2. 2x² + 10x. 2x · x + 2x · 5.
  3. −3a + 18. −3 · a − 3 · (−6) = −3a + 18.
  4. −8y³ + 6y² − 2y. −2y · 4y² = −8y³; −2y · (−3y) = +6y²; −2y · 1 = −2y.
  5. 8a + 7. 5a + 10 + 3a − 3; a: 5a + 3a = 8a; числа: 10 − 3 = 7.
  6. 2x² − 10x. 3x² − 6x − x² − 4x; x²: 3x² − x² = 2x²; x: −6x − 4x = −10x.
  7. x = 4. 2x + 6 = 14; 2x = 8; x = 4.
  8. x = 7. 5x − 10 = 3x + 4; 5x − 3x = 4 + 10; 2x = 14; x = 7.
  9. x = 2. 8x − 4 − 3x + 15 = 21; 5x + 11 = 21; 5x = 10; x = 2.

Урок 24. Вынесение общего множителя за скобки

  1. 4(x + y). НОД 4, буквы разные.
  2. 3(2a − 3). НОД(6, 9) = 3; 6a ÷ 3 = 2a, 9 ÷ 3 = 3.
  3. 2x(4x + 1). НОД(8, 2) = 2, буква x; 2x ÷ 2x = 1 — единица в скобке!
  4. 5a²(2a − 3). НОД(10, 15) = 5, наименьшая степень a²; 10a³ ÷ 5a² = 2a, 15a² ÷ 5a² = 3.
  5. 3(m + 1). 3m ÷ 3 = m, 3 ÷ 3 = 1.
  6. 7y(2y − 3). НОД(14, 21) = 7, буква y; 14y² ÷ 7y = 2y, 21y ÷ 7y = 3.
  7. 5ab(1 + 2a). НОД(5, 10) = 5, общие буквы a и b; 5ab ÷ 5ab = 1, 10a²b ÷ 5ab = 2a.
  8. 4xy(3x − 2y + 1). НОД(12, 8, 4) = 4, общие x и y; 12x²y ÷ 4xy = 3x, 8xy² ÷ 4xy = 2y, 4xy ÷ 4xy = 1.
  9. −3a(2a² + 3a − 1). НОД(6, 9, 3) = 3, буква a; вынесли −3a. Проверка: −3a · 2a² = −6a³, −3a · 3a = −9a², −3a · (−1) = +3a — получаем −6a³ − 9a² + 3a. ✓

Урок 25. Умножение многочлена на многочлен

  1. x² + 6x + 5. x² + 5x + x + 5; 5x + x = 6x.
  2. a² + 2a − 8. a² − 2a + 4a − 8; −2a + 4a = 2a.
  3. y² − 9y + 18. y² − 6y − 3y + 18; −6y − 3y = −9y.
  4. 2x² + 5x + 3. 2x² + 2x + 3x + 3; 2x + 3x = 5x.
  5. 6a² − 14a + 4. 6a² − 12a − 2a + 4; −12a − 2a = −14a.
  6. x² − 25. x² + 5x − 5x − 25; 5x − 5x = 0.
  7. a³ + 3a² − a − 3. a·(a²+2a−3) = a³+2a²−3a; 1·(a²+2a−3) = a²+2a−3; складываем: a³ + 3a² − a − 3.
  8. 5x + 12. (x²+8x+12) − (x²+3x) = 8x − 3x + 12 = 5x + 12.
  9. x² + 3x + 5. Первое: 2x²+6x−x−3 = 2x²+5x−3. Второе: (x+4)(x−2) = x²−2x+4x−8 = x²+2x−8. Разность (минус меняет знаки второго): 2x²+5x−3 − x²−2x+8 = x²+3x+5.

Урок 26. Разложение многочлена на множители способом группировки

  1. (x + y)(a + 3). a(x+y) + 3(x+y).
  2. (b + c)(m + 1). m(b+c) + 1·(b+c).
  3. (y + 2)(x + 5). (xy+2x)+(5y+10) = x(y+2)+5(y+2).
  4. (a + b)(7 + x). 7(a+b) + x(a+b).
  5. (b − c)(a + 4). a(b−c) + 4(b−c).
  6. (x − y)(c + d). c(x−y) + d(x−y).
  7. (x − y)(6 − a). 6(x−y) − a(x−y); вторую группу вынесли с −a.
  8. (a + 1)(a² + 2). a²(a+1) + 2(a+1).
  9. (y − 3)(2x + 5). (2xy−6x)+(5y−15) = 2x(y−3)+5(y−3). Проверка: (y−3)(2x+5) = 2xy+5y−6x−15 = 2xy−6x+5y−15. ✓

Урок 27. Возведение в квадрат суммы и разности

  1. x² + 8x + 16. x²; 2·x·4 = 8x; 4² = 16.
  2. b² − 12b + 36. b²; −2·b·6 = −12b; 36.
  3. 4a² + 12a + 9. (2a)² = 4a²; 2·2a·3 = 12a; 9.
  4. 25 − 10x + x². 5² = 25; −2·5·x = −10x; x².
  5. 9m² − 24mn + 16n². (3m)² = 9m²; −2·3m·4n = −24mn; (4n)² = 16n².
  6. 1681. (40 + 1)² = 1600 + 80 + 1 = 1681.
  7. 9801. (100 − 1)² = 10000 − 200 + 1 = 9801.
  8. Ошибка: потерян средний член. Правильно: (x + 6)² = x² + 12x + 36.
  9. 2x² + 18. (x² + 6x + 9) + (x² − 6x + 9): члены 6x и −6x сокращаются, остаётся 2x² + 18.

Урок 28. Разложение на множители по формулам квадрата

  1. (x + 3)². x², 9 = 3², середина 2·x·3 = 6x.
  2. (y − 5)². y², 25 = 5², середина 2·y·5 = 10y, знак минус.
  3. (3a + 1)². (3a)² = 9a², 1 = 1², середина 2·3a·1 = 6a.
  4. (4 − b)². 16 = 4², b², середина 2·4·b = 8b, знак минус.
  5. (7x − 2)². (7x)² = 49x², 4 = 2², середина 2·7x·2 = 28x, минус.
  6. Нет. Крайние — квадраты x и 4, но 2·x·4 = 8x ≠ 9x. Не полный квадрат.
  7. 6400. (85 − 5)² = 80² = 6400.
  8. 14x. Удвоенное произведение 2·x·7 = 14x.
  9. (x + 1 − y)(x + 1 + y). Сначала x² + 2x + 1 = (x + 1)², получаем (x + 1)² − y² — это разность квадратов (см. следующие уроки) = (x + 1 − y)(x + 1 + y).

Урок 29. Умножение разности на сумму

  1. x² − 64. x² − 8².
  2. a² − 1. a² − 1².
  3. 25x² − 4. (5x)² − 2².
  4. 16a² − 9b². (4a)² − (3b)².
  5. 49 − 4y². 7² − (2y)².
  6. 1599. (40 − 1)(40 + 1) = 1600 − 1.
  7. 9975. (100 − 5)(100 + 5) = 10000 − 25.
  8. −25. (a² − 25) − a² = −25.
  9. x⁴ − 16. Сначала (x − 2)(x + 2) = x² − 4. Затем (x² − 4)(x² + 4) = (x²)² − 4² = x⁴ − 16.

Урок 30. Разложение разности квадратов на множители

  1. (x − 6)(x + 6). x² − 6².
  2. (9 − y)(9 + y). 9² − y².
  3. (2a − 1)(2a + 1). (2a)² − 1².
  4. (8x − 5)(8x + 5). (8x)² − 5².
  5. (3m − 7n)(3m + 7n). (3m)² − (7n)².
  6. 5(x − 3)(x + 3). Выносим 5: 5(x² − 9) = 5(x − 3)(x + 3).
  7. Нельзя. Это сумма квадратов, она на множители не раскладывается.
  8. 2600. (63 − 37)(63 + 37) = 26·100 = 2600.
  9. (x − 3)(x + 3)(x² + 9). Сначала x⁴ − 81 = (x²)² − 9² = (x² − 9)(x² + 9), затем x² − 9 = (x − 3)(x + 3). Множитель x² + 9 (сумма квадратов) дальше не раскладывается.

Урок 31. Сумма и разность кубов

  1. (x + 1)(x² − x + 1). Сумма кубов, a = x, b = 1.
  2. (a − 2)(a² + 2a + 4). Разность кубов, b = 2: a² + 2a + 4.
  3. (y + 4)(y² − 4y + 16). 64 = 4³, сумма кубов.
  4. (3x − 1)(9x² + 3x + 1). 27x³ = (3x)³, разность кубов.
  5. (2 + b)(4 − 2b + b²). 8 = 2³, сумма кубов, a = 2, b = b: 2² − 2b + b² = 4 − 2b + b².
  6. (5a − 3)(25a² + 15a + 9). 125a³ = (5a)³, 27 = 3³, разность кубов.
  7. Ошибка в среднем члене: должно быть −2x, а не −4x. Правильно: (x + 2)(x² − 2x + 4). В неполном квадрате ab = x·2 = 2x, без двойки-удвоения.
  8. Верно. a·a² − a·a + a + a² − a + 1 = a³ − a² + a + a² − a + 1 = a³ + 1.
  9. (x − 1)(x² + x + 1)(x + 1)(x² − x + 1). Сначала x⁶ − 1 = (x³ − 1)(x³ + 1); затем x³ − 1 = (x − 1)(x² + x + 1) и x³ + 1 = (x + 1)(x² − x + 1).

Урок 32. Преобразование целых выражений. Все способы разложения

  1. 16a. (a² + 8a + 16) − (a² − 8a + 16) = 16a.
  2. 2x² + 10x. (x² − 25) + (x² + 10x + 25) = 2x² + 10x.
  3. 4(x − 2)(x + 2). Выносим 4: 4(x² − 4) = 4(x − 2)(x + 2).
  4. 3(a − 3)². Выносим 3: 3(a² − 6a + 9) = 3(a − 3)².
  5. (x + y)(b + 5). Группировка: b(x + y) + 5(x + y).
  6. x(x − 3)(x + 3). Выносим x: x(x² − 9) = x(x − 3)(x + 3).
  7. 2(x + 1)(x² − x + 1). Выносим 2: 2(x³ + 1), затем сумма кубов x³ + 1 = (x + 1)(x² − x + 1).
  8. 0. (x² + 2x + 1) − (x² − 2x + 1) − 4x = 4x − 4x = 0.
  9. (a + b)(a − b − 1). a² − b² = (a − b)(a + b); затем −a − b = −(a + b). Получаем (a + b)(a − b) − (a + b) = (a + b)(a − b − 1).

Урок 33. Линейное уравнение с двумя переменными

  1. Да: 2·4 − 3·1 = 8 − 3 = 5. Верно.
  2. Да: −2 + 3 = 1 — верно. Пара (−2; 3) является решением. (Будь внимателен со знаками: −2 + 3 = 1, а не −5.)
  3. y = 8 − 5x.
  4. x = 10 + 4y.
  5. Например: при x = 0 → y = −6, пара (0; −6); при x = 2 → y = 0, пара (2; 0); при x = 3 → y = 3, пара (3; 3). (Подойдут любые верные пары.)
  6. При x = 0: 5y = 10, y = 2 → (0; 2). При y = 0: 2x = 10, x = 5 → (5; 0).
  7. Точки (0; 5) и (5; 0); через них проводим прямую.
  8. 4·1 + b·2 = 10 → 4 + 2b = 10 → 2b = 6 → b = 3.
  9. ⭐ Например, x + y = 7 (3 + 4 = 7) или x − y = −1 (3 − 4 = −1) или 4x + 3y = 24 (4·3 + 3·4 = 24). Любое уравнение, в которое (3; 4) подставляется верно.

Урок 34. Системы линейных уравнений с двумя переменными

  1. Да: 2 + 3 = 5 — верно; 2 − 3 = −1 — верно. Подходит обоим.
  2. Нет. Первое: 2·4 + 1 = 9 — верно. Но второе: 4 − 1 = 3, а нужно 2; 3 ≠ 2. Раз второму уравнению пара не подходит — это не решение системы.
  3. Точка пересечения (4; 2). Проверка: 4 + 2 = 6 — верно; 4 − 2 = 2 — верно.
  4. Точка пересечения (2; 2). Проверка: 2 = 2 — верно; 2 = −2 + 4 = 2 — верно.
  5. Наклоны равны (5 и 5), свободные члены разные (2 и −7) → прямые параллельны → решений нет.
  6. Раздели второе на 3: y = 4x − 1. Совпадает с первым → прямые совпадают → бесконечно много решений.
  7. Наклоны разные (2 и −1) → прямые пересекаются (одна общая точка).
  8. Например, { x + y = 3; { y − x = 1 (1 + 2 = 3 и 2 − 1 = 1). Подойдёт любая система, верная для (1; 2).
  9. ⭐ Параллельны, когда наклоны равны: k = 3. (При k = 3 свободные члены 1 и −2 разные, значит, прямые именно параллельны, а не совпадают.)

Урок 35. Решение систем способом подстановки

  1. (2; 4). Проверка: 4 = 2 + 2 ✓; 3·2 + 4 = 10 ✓.
  2. (3; 2). Из x = 2y − 1: (2y−1) + 3y = 9 → 5y − 1 = 9 → y = 2, x = 3. Проверка: 3 = 4 − 1 ✓; 3 + 6 = 9 ✓.
  3. (3; 3). y = 6 − x → 2x − (6 − x) = 3 → 3x − 6 = 3 → x = 3, y = 3. Проверка: 3 + 3 = 6 ✓; 6 − 3 = 3 ✓.
  4. (3; 1). y = 7 − 2x → 3x − (7 − 2x) = 8 → 5x − 7 = 8 → x = 3, y = 1. Проверка: 6 + 1 = 7 ✓; 9 − 1 = 8 ✓.
  5. (5; 1). x = 2 + 3y → 2(2 + 3y) + y = 11 → 4 + 7y = 11 → y = 1, x = 5. Проверка: 5 − 3 = 2 ✓; 10 + 1 = 11 ✓.
  6. (2; 1). y = 9 − 4x → 2x + 3(9 − 4x) = 7 → 2x + 27 − 12x = 7 → −10x = −20 → x = 2, y = 1. Проверка: 8 + 1 = 9 ✓; 4 + 3 = 7 ✓.
  7. Подставляем y = 3x − 1: 6x − 2(3x − 1) = 2 → 6x − 6x + 2 = 2 → 2 = 2 (верно всегда). Бесконечно много решений (прямые совпадают).
  8. (2; 3). Из x = 8 − 2y: 5(8 − 2y) − 2y = 4 → 40 − 12y = 4 → y = 3, x = 2. Проверка: 10 − 6 = 4 ✓; 2 + 6 = 8 ✓.
  9. ⭐ (5; 3). Умножим первое на 2: x + y = 8. Система { x + y = 8; { x − y = 2. Выразим x = y + 2: (y + 2) + y = 8 → 2y = 6 → y = 3, x = 5. Проверка: (5+3)/2 = 4 ✓; 5 − 3 = 2 ✓.

Урок 36. Решение систем способом сложения

  1. (5; 3). Сложением: 2x = 10 → x = 5; 5 + y = 8 → y = 3. Проверка: 5 + 3 = 8 ✓; 5 − 3 = 2 ✓.
  2. (3; 5). Сложением: 5x = 15 → x = 3; 9 + y = 14 → y = 5. Проверка: 9 + 5 = 14 ✓; 6 − 5 = 1 ✓.
  3. (1; 2). Вычтем из первого второе: (4x + 3y) − (4x − y) = 10 − 2 → 4y = 8 → y = 2; 4x − 2 = 2 → 4x = 4 → x = 1. Проверка: 4·1 + 3·2 = 4 + 6 = 10 ✓; 4·1 − 2 = 2 ✓.
  4. (3; 2). Вычитанием (из первого второе): 2y = 4 → y = 2; 2x + 6 = 12 → x = 3. Проверка: 6 + 10 = 16 ✓; 6 + 6 = 12 ✓.
  5. (2; 3). Домножим второе на 2: 6x − 2y = 6; сложим с первым (x + 2y = 8): 7x = 14 → x = 2; 2 + 2y = 8 → y = 3. Проверка: 2 + 6 = 8 ✓; 6 − 3 = 3 ✓.
  6. (3; 2). Домножим первое на 5, второе на 2: 15x − 10y = 25 и 4x + 10y = 32; сложим: 19x = 57 → x = 3; 2·3 + 5y = 16 → 5y = 10 → y = 2. Проверка: 9 − 4 = 5 ✓; 6 + 10 = 16 ✓.
  7. (1; −2). Домножим первое на 2: 10x + 4y = 2; сложим с (3x − 4y = 11): 13x = 13 → x = 1; 5 + 2y = 1 → 2y = −4 → y = −2. Проверка: 5 − 4 = 1 ✓; 3 + 8 = 11 ✓.
  8. (1; 2). Домножим первое на 5, второе на 3: 20x + 15y = 50 и 18x − 15y = −12; сложим: 38x = 38 → x = 1; 4 + 3y = 10 → y = 2. Проверка: 4 + 6 = 10 ✓; 6 − 10 = −4 ✓.
  9. ⭐ (3; 2). Домножим первое на 2 (14x + 6y = 54), второе на 3 (15x − 6y = 33); сложим: 29x = 87 → x = 3. Подставим в первое: 21 + 3y = 27 → 3y = 6 → y = 2. Проверка: 7·3 + 3·2 = 21 + 6 = 27 ✓; 5·3 − 2·2 = 15 − 4 = 11 ✓.

Урок 37. Решение задач с помощью систем уравнений

  1. Числа 24 и 16. { x + y = 40; { x − y = 8 → 2x = 48, x = 24, y = 16. Проверка: 24 + 16 = 40 ✓; 24 − 16 = 8 ✓.
  2. Пирожное 60 руб, сок 40 руб. { 2x + 3y = 240; { 4x + y = 280. Из второго y = 280 − 4x: 2x + 3(280 − 4x) = 240 → 2x + 840 − 12x = 240 → −10x = −600 → x = 60, y = 40. Проверка: 120 + 120 = 240 ✓; 240 + 40 = 280 ✓.
  3. В первой 36, во второй 24. { x + y = 60; { x − y = 12 → 2x = 72, x = 36, y = 24. Проверка: 36 + 24 = 60 ✓; 36 − 24 = 12 ✓.
  4. Число 63. { x + y = 9; { x − y = 3 → x = 6, y = 3; число 10·6 + 3 = 63. Проверка: 6 + 3 = 9 ✓; 6 − 3 = 3 ✓.
  5. Собственная скорость 20 км/ч, течение 4 км/ч. { v + u = 24; { v − u = 16 → 2v = 40, v = 20, u = 4. Проверка: 20 + 4 = 24 ✓; 20 − 4 = 16 ✓.
  6. Взрослый 400 руб, детский 300 руб. { x + y = 700; { x − y = 100 → 2x = 800, x = 400, y = 300. Проверка: 400 + 300 = 700 ✓; 400 − 300 = 100 ✓.
  7. Кур 12, кроликов 8. { x + y = 20; { 2x + 4y = 56 (x — куры, y — кролики). Из первого x = 20 − y: 2(20 − y) + 4y = 56 → 40 + 2y = 56 → y = 8, x = 12. Проверка: 12 + 8 = 20 голов ✓; 24 + 32 = 56 ног ✓.
  8. Яблоки 75 руб/кг, груши 45 руб/кг. { 5x + 3y = 510; { 2x + 4y = 400. Упростим второе (÷2): x + 2y = 200 → x = 200 − 2y; 5(200 − 2y) + 3y = 510 → 1000 − 7y = 510 → 7y = 490 → y = 70... проверим: тогда x = 200 − 140 = 60. Проверка: 5·60 + 3·70 = 300 + 210 = 510 ✓; 2·60 + 4·70 = 120 + 280 = 400 ✓. Значит, яблоки 60 руб/кг, груши 70 руб/кг.
  9. ⭐ Число 24. Пусть десятки x, единицы y. «В 4 раза больше суммы цифр»: 10x + y = 4(x + y) → 6x = 3y → y = 2x. «Прибавить 18 — цифры меняются местами»: (10x + y) + 18 = 10y + x → 9y − 9x = 18 → y − x = 2. Подставим y = 2x: 2x − x = 2 → x = 2, y = 4; число 24. Проверка: 24 = 4·(2 + 4) = 24 ✓; 24 + 18 = 42 — цифры переставлены ✓.

Урок 38. Итоговое повторение за 7 класс

  1. 4(3x − 2) − 5(x − 3) = 12x − 8 − 5x + 15 = 7x + 7.
  2. 7x − 3x = 12 + 4 → 4x = 16 → x = 4. Проверка: 28 − 4 = 24; 12 + 12 = 24 ✓.
  3. 5²·5³ = 5⁵; 5⁵ ÷ 5⁴ = 5¹ = 5.
  4. (x⁴)³ = x¹²; x¹² · x² = x¹⁴.
  5. (2a + 3)² = (2a)² + 2·2a·3 + 3² = 4a² + 12a + 9.
  6. (4y − 1)(4y + 1) = (4y)² − 1² = 16y² − 1.
  7. (x + 2)(x − 3) = x² − 3x + 2x − 6 = x² − x − 6.
  8. y = −3·(−1) + 1 = 3 + 1 = 4. Да, точка (−1; 4) принадлежит графику.
  9. (2; 3). Подставим y = 2x − 1 в 3x + y = 9: 3x + 2x − 1 = 9 → 5x = 10 → x = 2, y = 3. Проверка: 3 = 2·2 − 1 ✓; 3·2 + 3 = 9 ✓.
  10. (4; 2). Сложим уравнения (у y коэффициенты +2 и −2): 4x = 16 → x = 4; подставим в x − 2y = 0: 4 − 2y = 0 → y = 2. Проверка: 3·4 + 2·2 = 12 + 4 = 16 ✓; 4 − 2·2 = 0 ✓.
  11. Числа 18 и 12. { x + y = 30; { x − y = 6 → 2x = 36, x = 18, y = 12. Проверка: 18 + 12 = 30 ✓; 18 − 12 = 6 ✓.
  12. ⭐ (x + 4)² − (x − 4)² = (x² + 8x + 16) − (x² − 8x + 16) = x² + 8x + 16 − x² + 8x − 16 = 16x.