Ответы к заданиям — Астрономия

Загляни сюда только после того, как сам(а) попробовал(а) решить!

Многие задачи — «на оценку»: если у тебя получился тот же порядок величины и верный метод, ответ засчитан, даже если последняя цифра отличается.

Урок 1. Масштабы Вселенной

1. (а) 1,5·10⁸; (б) 7,2·10⁻⁶; (в) 3,84·10⁵; (г) 1,4·10⁹. Считаем нули: 150 000 000 — восемь нулей после 15, стандартный вид 1,5·10⁸. Для маленького числа показатель отрицательный: 0,0000072 = 7,2·10⁻⁶.

2. 8·10¹³; 2·10⁸; 9·10¹⁶. При умножении складываем показатели: 2·4=8 (числа), 5+8=13 (показатели). При делении вычитаем: 6/3=2, 12−4=8. Квадрат: (3·10⁸)² = 3²·10¹⁶ = 9·10¹⁶.

3. ≈ 63 000, то есть порядок 10⁴–10⁵. Делим: 9,5·10¹² / 1,5·10⁸ = (9,5/1,5)·10⁴ ≈ 6,3·10⁴ ≈ 63 000 а.е. в световом годе.

4. ≈ 4·10¹³ км ≈ 2,7·10⁵ а.е. Расстояние = 4,2 · 9,5·10¹² км ≈ 4·10¹³ км. В а.е.: 4·10¹³ / 1,5·10⁸ ≈ 2,7·10⁵ а.е. (около 270 000 — знакомое число!).

5. Нептун ≈ 32 м; звезда дальше Нептуна примерно в 9000 раз. Масштаб k = 1,4·10⁹ (диаметр Солнца 1,4·10⁹ см при модели 1 см). Нептун: 4,5·10⁹ км = 4,5·10¹⁴ см, делим на k → ≈ 3,2·10⁵ см = 3200 м?? Нет: проверим — 4,5·10¹⁴ / 1,4·10⁹ ≈ 3,2·10⁵ см = 3,2 км... Точный масштаб в уроке брался иначе; правильный расчёт: диаметр Солнца 1,4·10⁶ км = 1,4·10¹¹ см, k = 1,4·10¹¹. Тогда Нептун 4,5·10¹⁴ см / 1,4·10¹¹ ≈ 3,2·10³ см ≈ 32 м (совпадает с таблицей). Ближайшая звезда 4·10¹³ км = 4·10¹⁸ см / 1,4·10¹¹ ≈ 2,9·10⁷ см ≈ 290 км. Отношение 290 000 м / 32 м ≈ 9000 раз.

6. В метре ≈ 2·10³ песчинок, в километре ≈ 2·10⁶. Песчинка 0,5 мм = 5·10⁻⁴ м. В метре: 1 / 5·10⁻⁴ = 2·10³ штук. В километре в 1000 раз больше: 2·10⁶.

7. ≈ 10³⁷ раз, то есть 37 порядков. Делим: 10²⁷ / 10⁻¹⁰ = 10²⁷⁺¹⁰ = 10³⁷. Разница в 37 порядков — вот весь диапазон размеров в природе.

8. ≈ 13 минут. t = s/c = 2,3·10¹¹ м / 3·10⁸ м/с ≈ 767 с ≈ 12,8 мин (в одну сторону). Сигнал туда-обратно — около 26 минут, поэтому командой «поверни налево» в реальном времени управлять нельзя: марсоход должен действовать полуавтономно.

Урок 2. Эратосфен измеряет Землю

1. 1/50 круга; окружность в 50 раз больше расстояния между городами. 7,2° / 360° = 1/50. Значит вся окружность = 50 × (Александрия — Сиена).

2. Окружность ≈ 40 000 км, радиус ≈ 6400 км. L = 50 × 800 = 40 000 км. R = L / (2π) = 40 000 / 6,28 ≈ 6370 км. Точное попадание в реальный радиус Земли.

3. Потому что при параллельных лучах угол тени равен углу между городами из центра Земли (накрест лежащие углы при параллельных). Будь Солнце близко, лучи в двух городах шли бы под разными направлениями сами по себе, и разница теней смешивала бы два эффекта — «близость Солнца» и «кривизну Земли»; чистый вывод о радиусе не прошёл бы.

4. ≈ 10°. tan α = тень / высота = 0,35 / 2 = 0,175, откуда α ≈ 9,9° ≈ 10°.

5. R ≈ 6300 км. Важна разность углов: 15° − 5° = 10°. Дуга 1100 км соответствует 10°. Полная окружность L = 1100 × (360/10) = 39 600 км. R = 39 600 / 6,28 ≈ 6300 км.

6. ≈ 44 часа. Время = 40 000 / 900 ≈ 44,4 ч (почти двое суток непрерывного полёта).

7. ≈ 111 км. Одному градусу соответствует 1/360 окружности: 40 000 / 360 ≈ 111 км. (Отсюда, кстати, высота Полярной звезды над горизонтом равна широте места.)

8. Метод меряет дугу вдоль меридиана (север — юг), связанную с углом высоты Солнца. Если города разнесены по долготе (восток — запад), у них ещё и разное местное время полудня, и расстояние между ними не соответствует напрямую разнице полуденных высот Солнца. Нужны точки на одном меридиане.

Урок 3. Расстояние до Луны и её размер

1. 1° ≈ 0,0175 рад; 0,5° ≈ 0,0087 рад; 2° ≈ 0,035 рад. Умножаем градусы на π/180 ≈ 0,01745.

2. ≈ 60 радиусов Земли. 384 000 / 6400 = 60.

3. ≈ 1,3·10⁶ км ≈ 1,4·10⁶ км. d = θ·D = 0,0087 · 1,5·10⁸ ≈ 1,3·10⁶ км. Настоящий диаметр Солнца 1,4·10⁶ км — совпадает по порядку (округление угла до 0,5°).

4. ≈ 2500 км. Если тень ≈ диаметр Земли (12 800 км) и она в 2,6 раза шире Луны, то диаметр Луны ≈ 12 800 / 2,6 ≈ 4900 км, радиус ≈ 2500 км. Грубая оценка чуть завышена (настоящий радиус 1740 км), потому что тень на расстоянии Луны уже земного диаметра — но порядок верный, и вывод «Луна в несколько раз меньше Земли» правильный.

5. ≈ 1,3 с в одну сторону; ≈ 2,6 с туда-обратно. t = 3,84·10⁸ м / 3·10⁸ м/с ≈ 1,28 с. Обратно столько же — ≈ 2,6 с.

6. ≈ 2°, то есть примерно вчетверо крупнее Луны в нашем небе. Диаметр Земли вчетверо больше лунного, расстояние то же, значит угловой размер вчетверо больше: 4 × 0,5° = 2°. По площади Земля в небе Луны выглядит примерно в 16 раз «объёмнее».

7. ≈ 386 000 км. p = 0,95° = 0,0166 рад. D = b/p = 6400 / 0,0166 ≈ 386 000 км. Отлично согласуется с 384 000 км.

8. ≈ 0,014° — намного меньше Луны. θ = размер / расстояние = 100 м / 4·10⁵ м = 2,5·10⁻⁴ рад = 0,0143°. Это примерно в 35 раз меньше углового размера Луны (0,5°). Поэтому МКС видна как быстро летящая яркая точка, а не диск.

Урок 4. Расстояние до Солнца и до звёзд

1. 1 а.е. = 1,5·10¹¹ м; свет идёт ≈ 8,3 минуты. t = 1,5·10¹¹ / 3·10⁸ = 500 с ≈ 8,3 мин.

2. 4 пк ≈ 13 св. лет. D = 1/0,25 = 4 пк. В световых годах: 4 × 3,26 ≈ 13 св. лет.

3. p = 0,2″; ≈ 16 св. лет. p = 1/D = 1/5 = 0,2″. Расстояние 5 × 3,26 ≈ 16,3 св. года.

4. (а) ≈ 270 000 раз дальше Солнца; (б) ≈ 9000 раз дальше Нептуна. Расстояние 4,2 св. года ≈ 4·10¹³ км. (а) 4·10¹³ / 1,5·10⁸ ≈ 2,7·10⁵. (б) Нептун 30 а.е. = 4,5·10⁹ км; 4·10¹³ / 4,5·10⁹ ≈ 9·10³.

5. Чтобы параллакс был вообще заметен, нужна огромная база. Звёзды в сотни тысяч раз дальше Луны; при базе в тысячи км их смещение было бы неизмеримо малым. Диаметр орбиты Земли (2 а.е. ≈ 3·10⁸ км) даёт максимально большую доступную базу — но и тогда параллакс меньше секунды дуги.

6. ≈ 3,1·10¹³ км. D = (1 а.е.)/p = 1,5·10⁸ км / 4,85·10⁻⁶ ≈ 3,1·10¹³ км. (Это и есть 1 парсек ≈ 3,26 св. года.)

7. ≈ 50 000 пк. D = 1/p = 1/0,00002 = 50 000 пк. Это больше поперечника Галактики (≈ 30 000 пк), то есть Gaia в принципе достаёт параллаксом до дальнего края нашей Галактики.

8. ≈ 0,28 а.е. ≈ 4,2·10⁷ км ≈ 2,3 световой минуты. Минимальное расстояние = 1 − 0,72 = 0,28 а.е. = 0,28 · 1,5·10⁸ ≈ 4,2·10⁷ км. Время света: 4,2·10¹⁰ м / 3·10⁸ ≈ 140 с ≈ 2,3 мин.

Урок 5. Тяготение и орбиты

1. (а) в 4 раза меньше; (б) в 9 раз больше; (в) в 100 раз меньше. Сила ~ 1/r². Удвоил r → делим на 2² = 4. Уменьшил втрое → умножаем на 3² = 9. Увеличил в 10 → делим на 100.

2. В 4 раза. g ~ 1/r². На расстоянии 2R сила и ускорение в 2² = 4 раза меньше, чем на поверхности.

3. Марс ≈ 1,87 года; Нептун ≈ 164 года. T = √(a³). Марс: √(1,52³) = √3,51 ≈ 1,87 года. Нептун: √(30³) = √27 000 ≈ 164 года.

4. ≈ 16 а.е. a = ∛(T²) = ∛(64²) = ∛4096 = 16 а.е.

5. ≈ 1,7 км/с; в ≈ 4,7 раза меньше земной. v = √(gR) = √(1,6 · 1,74·10⁶) = √(2,78·10⁶) ≈ 1670 м/с ≈ 1,7 км/с. Отношение 7,9/1,7 ≈ 4,7.

6. ≈ 27 суток. Длина орбиты = 2πr = 6,28 · 3,84·10⁵ км ≈ 2,41·10⁶ км. Время = 2,41·10⁶ / 1 км/с = 2,41·10⁶ с ≈ 27,9 суток. Совпадает с настоящими 27,3 сут.

7. M ≈ 6·10²⁴ кг. Из g = GM/R² выражаем M = gR²/G = 9,8 · (6,4·10⁶)² / 6,67·10⁻¹¹ = 9,8 · 4,1·10¹³ / 6,67·10⁻¹¹ ≈ 4·10¹⁴ / 6,67·10⁻¹¹ ≈ 6·10²⁴ кг. Это и есть масса Земли!

8. Космонавты падают вместе со станцией с одинаковым ускорением. Тяготение там почти прежнее, но станция не «стоит» — она непрерывно падает по орбите, промахиваясь мимо Земли. И станция, и космонавт, и всё внутри падают синхронно, поэтому нет опоры и веса — это невесомость (свободное падение), а не отсутствие гравитации.

Урок 6. Свет и спектры

1. ≈ 2,5 млн св. лет ≈ 2,4·10¹⁹ км. Расстояние в св. годах равно времени полёта: 2,5·10⁶ св. лет. В км: 2,5·10⁶ · 9,5·10¹² ≈ 2,4·10¹⁹ км.

2. фиолетовый < зелёный < оранжевый < красный; самая длинная волна — у красного. По длине волны от короткой к длинной именно так; красный ≈ 700 нм, фиолетовый ≈ 400 нм.

3. Приближается. Синее смещение = волны «поджаты» = источник движется к нам вдоль луча зрения.

4. ≈ 30 км/с. v = c·(Δλ/λ) = 3·10⁵ км/с · (0,05/500) = 3·10⁵ · 10⁻⁴ = 30 км/с.

5. ≈ 43 Мпк. D = v/H₀ = 3000 / 70 ≈ 43 Мпк.

6. Спектральные линии — «штрихкод» элементов. Каждый элемент поглощает/излучает свет на своих длинах волн. Свет звезды доходит до нас с этими метками, по ним читают состав, не улетая к звезде.

7. ≈ 1,4·10¹⁰ св. лет ≈ 1,3·10²³ км. Путь ≈ 13,8 млрд ≈ 1,4·10¹⁰ св. лет. В км: 1,4·10¹⁰ · 9,5·10¹² ≈ 1,3·10²³ км.

8. A–B выросло вдвое, A–C — тоже вдвое, но на большее число; C «убежала» быстрее. Пусть исходно A–B = d, A–C = 2d. После надувания: A–B = 2d (приросло на d), A–C = 4d (приросло на 2d). За то же время дальняя точка C удалилась на вдвое большее расстояние — значит, её скорость удаления вдвое больше. Это и есть закон Хаббла: дальше объект → быстрее убегает, причём с любой точки картина одинаковая (центра нет).

Урок 7. Солнечная система и поиск экзопланет

1. Земная группа: Меркурий, Венера, Земля, Марс. Гиганты: Юпитер, Сатурн, Уран, Нептун. Отличия: земные — маленькие / каменистые / плотные / близко к Солнцу / мало спутников; гиганты — огромные / газово-ледяные / далеко / много спутников и кольца.

2. Сатурн ≈ 29,6 года; Нептун ≈ 165 лет. T = √(a³). Сатурн: √(9,58³) = √879 ≈ 29,6 года. Нептун: √(30,1³) = √27 271 ≈ 165 лет. Совпадает с таблицей.

3. ≈ 0,008% (около 8·10⁻³ %). ΔL/L = (0,009)² = 8,1·10⁻⁵ ≈ 0,008%. Провал в тысячные доли процента — поэтому нужны сверхточные космические телескопы вне мерцающей атмосферы.

4. ≈ 2 радиуса Юпитера. R_пл/R_зв = √0,04 = 0,2, то есть 0,2 R☉. В радиусах Юпитера: 0,2 / 0,1 = 2 R_Юп.

5. ≈ 0,045 а.е.; намного ближе Меркурия. T = 3,5 сут = 3,5/365 ≈ 0,0096 года. a = ∛(T²) = ∛(9,2·10⁻⁵) ≈ 0,045 а.е. Это в ≈ 9 раз ближе к звезде, чем Меркурий к Солнцу (0,39 а.е.) — типичный «горячий юпитер».

6. Покачивание звезды меняет её скорость вдоль луча зрения, а Доплер превращает скорость в сдвиг линий. В спектре периодически «дрожат» спектральные линии: то к синему (звезда идёт к нам), то к красному (от нас). Период дрожания = период обращения планеты, амплитуда связана с массой планеты.

7. Порядок: R_Земли (≈10⁷ м) < до Луны (≈4·10⁸ м) < до Солнца (≈1,5·10¹¹ м) < до ближайшей звезды (≈4·10¹⁶ м) < поперечник Галактики (≈10²¹ м). Методы: радиус Земли — тени/Эратосфен (урок 2); до Луны — затмения и параллакс (урок 3); до Солнца — транзиты/а.е. (урок 4); до звезды — годичный параллакс (урок 4); размер Галактики — параллаксы + другие «ступени лестницы расстояний».

8. Плотность меньше, чем у Юпитера → планета «раздутая», газовая. Масса как у Юпитера, а радиус в 1,2 раза больше, значит объём в 1,2³ ≈ 1,7 раза больше. Плотность = масса/объём меньше юпитерианской примерно в 1,7 раза. Такая низкая плотность означает газовый состав (водород/гелий), а не камень — это «раздутый горячий юпитер».