Ответы к заданиям — Физика вокруг нас

Загляни сюда только после того, как сам(а) попробовал(а) решить! Здесь — подробные пошаговые решения каждой задачи.

Урок 1. Оценки Ферми

1. ≈ 4 × 10⁸ секунд, порядок 10⁸ (около 400 миллионов). Дано: возраст 13 лет. Идея: секунды = годы × (секунд в году). Считаем секунды в одном году по цепочке множителей: 365 суток × 24 часа × 60 минут × 60 секунд.

• Сначала часы: 365 × 24 = 8760 часов в году.
• Минуты: 8760 × 60 = 525 600 ≈ 5,3 × 10⁵ минут.
• Секунды: 5,3 × 10⁵ × 60 = 3,15 × 10⁷ — то есть в году примерно 3 × 10⁷ секунд (полезно запомнить: «в году ~30 миллионов секунд»).
• Теперь на 13 лет: 13 × 3,15 × 10⁷ = 41 × 10⁷ ≈ 4,1 × 10⁸ секунд. Округление: 4,1 × 10⁸, здесь A = 4,1 > 3,2 → округляем вверх → порядок 10⁹? Проверим внимательно: 4,1 ближе к 10, значит формально порядок 10⁹, но само число ровно 4 × 10⁸. Честнее сказать: ответ 4 × 10⁸, лежит на границе между 10⁸ и 10⁹. Смысл: за 13 лет набегает около четырёхсот миллионов секунд — уже почти полмиллиарда «тиков» жизни.

2. ≈ 3 × 10⁹ ударов, порядок 10⁹ (почти три миллиарда). Дано: жизнь 80 лет, сердце бьётся ~70 раз в минуту. Идея: удары = частота × число минут за жизнь. Сначала минуты в году (из задачи 1): 5,3 × 10⁵ минут/год.

• Минут за 80 лет: 80 × 5,3 × 10⁵ = 424 × 10⁵ ≈ 4,2 × 10⁷ минут.
• Удары: 70 × 4,2 × 10⁷ = 294 × 10⁷ ≈ 2,9 × 10⁹. Округление: 2,9 × 10⁹, A = 2,9 < 3,2 → округляем вниз → порядок 10⁹. Смысл: за целую жизнь сердце делает около трёх миллиардов ударов — интересно, что у большинства млекопитающих это число примерно одинаковое, просто мелкие животные «тратят» его быстрее.

3. ≈ 1 × 10⁴ литров, порядок 10⁴ (около десяти тысяч литров). Дано: объём одного вдоха 0,5 л, частота 15 вдохов в минуту. Идея: объём за сутки = (литров за вдох) × (вдохов в минуту) × (минут в сутках).

• Литров в минуту: 0,5 × 15 = 7,5 л/мин.
• Минут в сутках: 24 × 60 = 1440 ≈ 1,44 × 10³ мин.
• Объём: 7,5 × 1,44 × 10³ = 10,8 × 10³ ≈ 1,08 × 10⁴ л. Округление: 1,08 × 10⁴, A = 1,08 < 3,2 → порядок 10⁴. Смысл: через лёгкие за сутки проходит около 10 000 литров воздуха — это примерно 10 кубометров, целый объём небольшой комнаты. Наяву дышим то чаще (при беге), то реже (во сне), но порядок держится.

4. ≈ 4 × 10⁸ песчинок, порядок 10⁸ (сотни миллионов). Дано: ведро 10 л, песчинка ~0,3 мм. Идея: число = объём ведра / объём одной песчинки-ячейки. Как с теннисными мячами, считаем не сам шарик, а кубик со стороной = размер песчинки (так учтены пустоты между песчинками).

• Объём ведра в кубических миллиметрах: 10 л = 10 000 см³ = 10⁴ см³. В 1 см³ = 10³ мм³ (потому что 1 см = 10 мм, значит 1 см³ = 10³ мм³). Итого 10⁴ × 10³ = 10⁷ мм³.
• Объём кубика-ячейки: 0,3 мм × 0,3 мм × 0,3 мм = 0,027 мм³ ≈ 2,7 × 10⁻² мм³.
• Число песчинок: 10⁷ / (2,7 × 10⁻²) = (1 / 2,7) × 10⁷⁺² = 0,37 × 10⁹ = 3,7 × 10⁸. Округление: 3,7 × 10⁸, A = 3,7 > 3,2 → округляем вверх → порядок 10⁹, само число ≈ 4 × 10⁸. Смысл: в обычном ведре песка почти полмиллиарда песчинок. Ответ очень чувствителен к размеру: возьми песчинку вдвое мельче (0,15 мм) — песчинок станет в 2³ = 8 раз больше.

5. ≈ 4 × 10³ тетрадей, порядок 10³–10⁴ (несколько тысяч). Дано: с дерева 0,3 м³ древесины, плотность бумаги как у воды (1000 кг/м³ = 1 г/см³), масса листа А5 ~2,5 г, тетрадь 12 листов. Идея: тетрадей = (вся масса бумаги) / (масса одной тетради).

• Масса древесины: объём × плотность = 0,3 м³ × 1000 кг/м³ = 300 кг = 3 × 10⁵ г.
• Масса одной тетради: 12 листов × 2,5 г = 30 г.
• Число тетрадей: 3 × 10⁵ г / 30 г = 10⁴ = 1 × 10⁴. Округление: A = 1 < 3,2 → порядок 10⁴. Но в реальности при переработке дерева в бумагу теряется примерно половина-две трети массы (кора, опилки, отходы), поэтому честнее делить получившееся число на ~2–3: выходит ≈ 3–5 тысяч тетрадей, то есть 4 × 10³. Смысл: одно дерево — это несколько тысяч тетрадей, целый класс на весь учебный год обеспечен.

6. ≈ 8 × 10⁷ человеко-лет, порядок 10⁸ (десятки миллионов человеко-лет). Дано: 8 × 10⁹ человек, каждый спит ~8 часов в сутки. Идея: сначала найдём суммарное время сна в часах, потом переведём в человеко-годы. «Человеко-год» — это когда один человек живёт (спит) один год.

• Суммарные часы сна за сутки: 8 × 10⁹ человек × 8 ч = 64 × 10⁹ = 6,4 × 10¹⁰ человеко-часов.
• Сколько часов в году: 8760 ≈ 8,8 × 10³ ч/год (из задачи 1).
• Переводим: 6,4 × 10¹⁰ / (8,8 × 10³) = (6,4 / 8,8) × 10¹⁰⁻³ = 0,73 × 10⁷ = 7,3 × 10⁷ человеко-лет. Округление: 7,3 × 10⁷, A = 7,3 > 3,2 → округляем вверх → порядок 10⁸, само число ≈ 8 × 10⁷. Смысл: за одни только сегодняшние сутки человечество «проспало» суммарно около 70–80 миллионов человеко-лет — примерно столько живёт целый человек, умноженный на миллион.

7. ≈ 4 × 10⁶ автомобилей, порядок 10⁶ (несколько миллионов). Дано: население 13 млн = 1,3 × 10⁷, семья ~3 человека, машина у каждой третьей семьи. Идея: авто = число семей × доля семей с машиной.

• Число семей: 1,3 × 10⁷ / 3 = 0,43 × 10⁷ ≈ 4,3 × 10⁶ семей.
• Из них с машиной — каждая третья, то есть 1/3: 4,3 × 10⁶ / 3 = 1,4 × 10⁶. Округление: 1,4 × 10⁶, A = 1,4 < 3,2 → порядок 10⁶. Само число ≈ 1,4 миллиона; реальный автопарк Москвы больше (у части семей по две машины, плюс приезжие), но по порядку это миллионы — 10⁶. Смысл: прикидка даёт «миллионы автомобилей», и это верный порядок, что сразу объясняет пробки.

8. ≈ 1,3 × 10⁴ км, порядок 10⁴ (около 13 тысяч км, треть экватора). Дано: 13 млн человек = 1,3 × 10⁷, по 1 м на человека. Идея: длина = число людей × длина на человека.

• Длина: 1,3 × 10⁷ человек × 1 м = 1,3 × 10⁷ м.
• Переводим в километры (÷ 1000 = ÷ 10³): 1,3 × 10⁷ / 10³ = 1,3 × 10⁴ км = 13 000 км. Округление: 1,3 × 10⁴, A = 1,3 < 3,2 → порядок 10⁴. Сравним с экватором: 13 000 / 40 000 = 0,33, то есть примерно треть экватора. Смысл: цепочка москвичей протянулась бы на 13 тысяч километров — это как от Москвы до Австралии, целая треть кругосветки, наглядно показывая, насколько огромен город.

Урок 2. Размерность и единицы

1. [P] = M·L²/T³ — это ватт (Вт = Дж/с = кг·м²/с³).

Мощность по определению P = работа / время.

Сначала размерность работы (энергии). Работа = сила × путь, а сила = масса × ускорение:

• ускорение a: (L/T)/T = L/T², то есть L¹·T⁻²;
• сила F = m·a: M·L·T⁻²;
• работа E = F·путь: (M·L·T⁻²)·L = M·L²·T⁻².

Теперь делим работу на время:

[P] = (M·L²·T⁻²) / T = M·L²·T⁻³.

Вывод: размерность мощности M·L²/T³. В СИ это ватт: 1 Вт = 1 кг·м²/с³ = 1 Дж/с. Проверка по здравому смыслу: чем больше работы за секунду — тем больше мощность, и деление на время как раз добавляет лишнюю T⁻¹ к джоулю M·L²/T².

2. Совпадает: [v²/r] = L/T² — это настоящее ускорение.

Разбираем правую часть a = v²/r по кусочкам.

Скорость v = L/T, значит v² = (L/T)² = L²·T⁻².

Радиус r — это длина, размерность L.

Делим:

[v²/r] = (L²·T⁻²) / L = L²⁻¹·T⁻² = L¹·T⁻² = L/T².

Эталон ускорения — L/T² (см. урок: ускорение = скорость/время = (L/T)/T = L/T²).

Сравним по каждой базовой единице отдельно:

• при M: у обеих частей 0 = 0 (массы нет нигде) — совпало;
• при L: 1 = 1 — совпало;
• при T: −2 = −2 — совпало.

Вывод: формула a = v²/r размерностно корректна, это действительно ускорение (точная формула центростремительного ускорения именно такая, безразмерного множителя нет).

3. [m·v] = M·L/T — это импульс p, а не сила (у силы M·L/T²).

Считаем размерность произведения m·v:

[m·v] = M · (L/T) = M·L·T⁻¹ = M·L/T.

Теперь размерность настоящей силы F = m·a:

[F] = M · (L/T²) = M·L·T⁻² = M·L/T².

Сравниваем показатели по каждой базовой единице отдельно:

• при M: 1 = 1 — совпадает;
• при L: 1 = 1 — совпадает;
• при T: у m·v показатель −1, у силы −2 → −1 ≠ −2 — НЕ совпадает.

Различие ровно в одной степени T: у «формулы» m·v не хватает деления ещё на одно время. Значит F = m·v силой быть не может.

А что же это? Величина M·L/T — это в точности импульс (количество движения) p = m·v: масса на скорость. Проверка: импульс = сила × время, [F·t] = (M·L/T²)·T = M·L/T — сходится.

Вывод: m·v — это импульс p, размерность M·L/T; чтобы получить силу, его надо разделить на время (F = изменение p / время).

4. v ∝ √(gh), то есть v = (число)·g^1/2·h^1/2; точная формула v = √(2gh) той же структуры, число = √2.

Шаг 1. Скорость падения зависит от высоты h (размерность L) и от g (размерность L/T²). Масса не входит — в списке (h, g) нет ни одной величины с массой, а у скорости массы тоже нет, уравновесить показатель при M нечем.

Шаг 2. Ищем формулу в виде произведения степеней:

v = (безразмерное число) · h^a · g^c.

Шаг 3. Выписываем размерности. Слева v = L/T = L¹·T⁻¹. Справа:

h^a · (L/T²)^c = L^a · L^c · T^−2c = L^a+c · T^−2c.

Шаг 4. Приравниваем показатели при каждой базовой единице ОТДЕЛЬНО:

• при T: −2c = −1;
• при L: a + c = 1.

Шаг 5. Решаем систему.

• Из первого: c = 1/2.
• Подставляем во второе: a + 1/2 = 1 → a = 1/2.

Подставляем показатели обратно:

v = (число) · h^1/2 · g^1/2 = (число)·√(gh).

Вывод: метод даёт структуру v ∝ √(gh). Точная формула v = √(2gh) ровно такой структуры (те же степени 1/2 у g и h), а безразмерный множитель √2 ≈ 1,41 размерность угадать не может. Численно, например с h = 5 м: √(2·9,8·5) = √98 ≈ 9,9 м/с.

5. T ∝ r^3/2 — квадрат периода пропорционален кубу радиуса (третий закон Кеплера).

Шаг 1. Период T зависит от r (размерность L), массы планеты M (размерность M) и постоянной G (размерность L³/(M·T²), то есть L³·M⁻¹·T⁻²).

Шаг 2. Формула — произведение степеней:

T = (число) · r^a · M^b · G^c.

Шаг 3. Размерности. Слева период — чистое время: T = L⁰·M⁰·T¹. Справа:

r^a · M^b · (L³·M⁻¹·T⁻²)^c = L^a+3c · M^b−c · T^−2c.

Шаг 4. Приравниваем показатели по каждой базовой единице ОТДЕЛЬНО (слева L в степени 0, M в степени 0, T в степени 1):

• при T: −2c = 1;
• при M: b − c = 0;
• при L: a + 3c = 0.

Шаг 5. Решаем систему по шагам.

• Из первого: c = −1/2.
• Из второго: b = c = −1/2.
• Из третьего: a = −3c = −3·(−1/2) = 3/2.

Подставляем показатели обратно (a = 3/2, b = −1/2, c = −1/2):

T = (число) · r^3/2 · M^−1/2 · G^−1/2 = (число) · r^3/2 / √(GM).

Вывод: по радиусу T ∝ r^3/2. Возведём в квадрат: T² ∝ r³ — это и есть третий закон Кеплера. (Точная формула T = 2π·r^3/2/√(GM); множитель 2π размерность не ловит.) Заодно видно, что период растёт с радиусом и убывает с массой планеты как 1/√M.

6. [ρgh] = M/(L·T²) — это паскаль (Па = кг/(м·с²)). Совпало.

Разбираем правую часть P = ρgh по кусочкам:

• плотность ρ = M/L³ = M¹·L⁻³;
• g — ускорение свободного падения, L/T² = L¹·T⁻²;
• h — высота столба, длина L = L¹.

Перемножаем, собирая показатели по каждой базовой единице отдельно:

• масса M: только у ρ → M¹;
• длина L: у ρ показатель −3, у g показатель +1, у h показатель +1 → L⁻³⁺¹⁺¹ = L⁻¹;
• время T: только у g → T⁻².

Итого:

[ρgh] = M¹·L⁻¹·T⁻² = M/(L·T²).

Эталон давления (см. урок): P = сила/площадь = (M·L/T²)/L² = M/(L·T²).

Сравнение по единицам: M: 1 = 1; L: −1 = −1; T: −2 = −2 — всё совпало.

Вывод: формула P = ρgh даёт именно паскаль, 1 Па = 1 кг/(м·с²) = 1 Н/м². Размерностно корректна.

7. Волна замедляется в 20 раз (с ≈198 м/с до ≈9,9 м/с).

Скорость длинной волны v = √(gh), значит v ∝ √h — при том же g скорость пропорциональна корню из глубины.

Возьмём отношение скоростей на глубокой и мелкой воде (g одинаково и сокращается):

v_{глубина} / v_берег = √(g·h₁) / √(g·h₂) = √(h₁/h₂).

Подставляем h₁ = 4000 м, h₂ = 10 м:

√(4000/10) = √400 = 20.

Проверим отдельными числами:

• на глубине 4000 м: v₁ = √(9,8·4000) = √39200 ≈ 198 м/с;
• у берега 10 м: v₂ = √(9,8·10) = √98 ≈ 9,9 м/с;
• отношение 198 / 9,9 ≈ 20 — сходится.

Вывод: при выходе на мелководье волна замедляется примерно в 20 раз. (Именно поэтому у берега цунami резко «тормозит» и вырастает в высоту — энергия никуда не девается, а скорость падает.)

8. [I] = M·L² (килограмм·метр², кг·м²).

В формуле E = ½Iω² число ½ безразмерно, поэтому по размерности E = [I]·[ω²]. Отсюда выражаем [I]:

[I] = [E] / [ω²].

Размерность энергии (см. задачу 1 и урок): E = M·L²/T² = M¹·L²·T⁻².

Размерность ω²: дано [ω] = 1/T = T⁻¹, значит [ω²] = (T⁻¹)² = T⁻².

Делим, вычитая показатели по каждой базовой единице отдельно:

• масса M: у E показатель 1, у ω² — 0 → 1 − 0 = 1;
• длина L: у E показатель 2, у ω² — 0 → 2 − 0 = 2;
• время T: у E показатель −2, у ω² показатель −2 → −2 − (−2) = 0.

Итого:

[I] = M¹·L²·T⁰ = M·L².

Вывод: момент инерции обязан иметь размерность M·L² (в СИ — кг·м²). Это согласуется с определением I = m·r² для точечной массы: [m·r²] = M·L². Времени в размерности момента инерции нет.

Урок 3. Давление и закон Архимеда

1. ≈ 29 400 Па без атмосферы; ≈ 129 400 Па (≈ 1,3 атм) с атмосферой. Дано: глубина h = 3 м, плотность воды ρ = 1000 кг/м³, g ≈ 9,8 Н/кг, атмосфера P₀ ≈ 10⁵ Па. Давление столба воды на дно даёт формула гидростатики P = ρ·g·h. Подставляем: P = 1000 · 9,8 · 3. Считаем по порядку: 1000 · 9,8 = 9800; затем 9800 · 3 = 29 400. Значит без учёта атмосферы P_воды ≈ 29 400 Па (это около 0,3 атм). Но сверху на воду ещё давит воздух, и это давление передаётся вглубь по всей толще (закон Паскаля). Поэтому полное давление на дно — это сумма атмосферного и водяного: P_полн = P₀ + ρ·g·h = 100 000 + 29 400 = 129 400 Па ≈ 1,3 атм. Смысл: сама вода на трёхметровой глубине добавляет лишь около трети атмосферы (правило «10 м воды ≈ 1 атм»: 3 м → ≈ 0,3 атм). Основной вклад в давление на дне мелкого бассейна даёт именно воздух над водой.

2. На глубине 20 м. Дано: давление воды (без атмосферы) P = 2 атм = 2 · 10⁵ = 200 000 Па, ρ = 1000 кг/м³, g ≈ 9,8 Н/кг. Найти глубину h. Берём ту же формулу P = ρ·g·h. Здесь неизвестна высота столба h, поэтому выразим её, поделив обе части на (ρ·g): h = P / (ρ·g). Подставляем: h = 200 000 / (1000 · 9,8). Считаем знаменатель: 1000 · 9,8 = 9800. Делим: 200 000 / 9800 ≈ 20,4 м. Смысл: работает то самое правило «каждые ≈ 10 м воды добавляют примерно 1 атмосферу». Две атмосферы воды — это примерно два раза по 10 м, то есть около 20 м. Если бы g было ровно 10, вышло бы ровно 20 м (200 000 / 10 000 = 20).

3. ≈ 0,24 (около 24% объёма под водой). Дано: плотность пробки ρ_тела = 240 кг/м³, вода ρ_жидк = 1000 кг/м³. Тело плавает, значит доля погружённого объёма равна отношению плотностей: V_погр/V_тела = ρ_тела / ρ_жидк. Подставляем: V_погр/V_тела = 240 / 1000 = 0,24. Смысл: под водой ровно 24% объёма пробки, а над водой торчит остальное — 1 − 0,24 = 0,76, то есть 76%. Пробка почти в 4 раза легче воды (1000/240 ≈ 4,2), поэтому и под воду прячется лишь примерно четверть — большая часть остаётся снаружи. Именно поэтому пробку используют для поплавков и спасательных кругов.

4. 500 кг/м³. Дано: над водой торчит ровно половина объёма, вода ρ_жидк = 1000 кг/м³. Найти ρ_тела. Если над водой половина, то под водой тоже половина, то есть погружённая доля V_погр/V_тела = 0,5. Для плавающего тела эта доля равна отношению плотностей: V_погр/V_тела = ρ_тела / ρ_жидк. Значит ρ_тела / ρ_жидк = 0,5. Выразим плотность тела, умножив обе части на ρ_жидк: ρ_тела = 0,5 · ρ_жидк = 0,5 · 1000 = 500 кг/м³. Смысл: половина под водой ⇔ плотность тела ровно вдвое меньше плотности воды. Это ровно тот случай, когда доля погружения (0,5) численно совпадает с половиной — тело «тонет наполовину», потому что оно вдвое легче воды.

5. Полная высота ≈ 300 м (под водой ≈ 270 м). Дано: над водой возвышается h_над = 30 м, под водой 90% высоты, значит над водой 10% высоты. Обозначим полную высоту H. Раз над водой 10% высоты, то h_над — это 0,1·H: 0,1 · H = 30. Выразим H, поделив обе части на 0,1: H = 30 / 0,1 = 300 м. Тогда под водой скрыто H_под = 0,9 · 300 = 270 м (или H − h_над = 300 − 30 = 270 м). Смысл: раз видимая часть — всего десятая доля высоты, то полная высота в 10 раз больше видимой (30 · 10 = 300). Отсюда и выражение «верхушка айсберга»: над водой лишь малый кусочек, а основная громада (270 м из 300 м) спрятана под поверхностью — это и есть главная опасность для кораблей.

6. ≈ 750 Н (около 75 кг). Дано: площадь ладоней S = 150 см², снаружи давит атмосфера P₀ = 10⁵ Па, внутри осталось P_вн = 0,5 атм = 0,5 · 10⁵ = 50 000 Па. Сначала переведём площадь в м²: 1 см² = 10⁻⁴ м², поэтому S = 150 · 10⁻⁴ = 1,5 · 10⁻² = 0,015 м². Ладони прижимает не всё атмосферное давление, а только разность давлений снаружи и изнутри (изнутри воздух ещё немного отталкивает ладони наружу): ΔP = P₀ − P_вн = 100 000 − 50 000 = 50 000 Па. Силу берём из определения давления F = ΔP · S: F = 50 000 · 0,015 = 750 Н. Смысл: это вес груза массой 750 / 9,8 ≈ 76 кг (или, округляя g до 10, ровно 75 кг). Разнять ладони трудно, потому что для этого нужно преодолеть силу в три четверти тонны — атмосфера снаружи давит гораздо сильнее, чем разреженный воздух внутри, и «склеивает» ладони. Это тот же принцип, что и в опыте с магдебургскими полушариями.

7. ≈ 66,7 Н. Дано: объём шара V = 1 л = 1 · 10⁻³ м³ = 0,001 м³, плотность стали ρ_ст = 7800 кг/м³, вода ρ_в = 1000 кг/м³, g ≈ 9,8 Н/кг. Найти силу натяжения нити T. Шар висит неподвижно, на него действуют три силы: вес вниз, архимедова сила вверх и натяжение нити вверх. Равновесие: T + F_A = F_тела, откуда T = F_тела − F_A. Вес шара: F_тела = ρ_ст · V · g = 7800 · 0,001 · 9,8. Считаем: 7800 · 0,001 = 7,8 кг (это масса шара); 7,8 · 9,8 = 76,44 Н. Архимедова сила (шар погружён целиком, V_погр = V): F_A = ρ_в · g · V = 1000 · 9,8 · 0,001. Считаем: 1000 · 0,001 = 1 кг (масса вытесненной воды); 1 · 9,8 = 9,8 Н. Натяжение нити: T = 76,44 − 9,8 = 66,64 Н ≈ 66,7 Н. Смысл: в воде шар «весит» меньше, чем в воздухе, ровно на вес вытесненной воды (9,8 Н). Это и есть потеря веса по Архимеду. Можно посчитать короче через разность плотностей: T = (ρ_ст − ρ_в)·V·g = (7800 − 1000)·0,001·9,8 = 6800·0,001·9,8 = 6,8·9,8 = 66,64 Н — тот же ответ.

8. Средняя плотность лодки падает ниже плотности воды, и выталкивающая сила становится больше веса — лодка всплывает. Подводная лодка плавает или тонет по тому же правилу, что и корабль: всё решает её средняя плотность — вся масса лодки, делённая на весь её объём (ρ_ср = m_лодки / V_лодки). Внешний объём корпуса V_лодки не меняется. А вот масса меняется: балластные цистерны можно заполнять либо тяжёлой водой, либо лёгким воздухом.

• Когда цистерны залиты водой, к массе лодки добавляется масса этой воды. Средняя плотность получается около или чуть выше плотности воды (ρ_ср ≥ 1000 кг/м³) — вес не меньше архимедовой силы, и лодка держится под водой или погружается.
• Когда лодка «продувает» цистерны сжатым воздухом, тяжёлая вода выдавливается наружу, а внутрь заходит почти невесомый воздух. Масса лодки резко уменьшается (воздух почти ничего не весит), а внешний объём остался прежним. Значит средняя плотность падает: ρ_ср = m / V становится меньше 1000 кг/м³. Теперь по условию плавания сравним силы. Архимедова сила F_A = ρ_воды·g·V_лодки зависит от полного объёма и не изменилась. А вес F_тела = ρ_ср·g·V_лодки уменьшился вместе со средней плотностью. Поскольку теперь ρ_ср < ρ_воды, получаем F_A > F_тела — выталкивающая сила перевешивает, и лодка всплывает. Смысл: лодка управляет глубиной, меняя не форму, а свою среднюю плотность — заливая воду (тяжелеет и тонет) или продувая цистерны воздухом (легчает и всплывает). Это тот же приём, что и у рыб с плавательным пузырём.

Урок 4. Поверхностное натяжение

1. Примерно в 1,24 раза (у шара площадь ≈ на 19 % меньше). — Дано: тело объёмом V. Площадь шара S_ш = (36π)^1/3·V^2/3, площадь куба S_к = 6·V^2/3. Идея: поверхность стремится к минимуму площади, а при одном и том же объёме минимальна она у шара — проверим числом, найдя отношение S_к/S_ш. Множитель V^2/3 у обоих одинаковый и при делении сокращается, поэтому объём вообще не важен — важна только форма. Считаем шаровой коэффициент: 36π ≈ 36 × 3,1416 ≈ 113,1. Берём кубический корень: (113,1)^1/3. Прикидка: 4³ = 64, 5³ = 125, значит корень между 4 и 5, ближе к 5; 4,8³ = 110,6, 4,84³ ≈ 113,4 → (36π)^1/3 ≈ 4,84. Итак S_ш ≈ 4,84·V^2/3, а S_к = 6·V^2/3. Отношение: S_к/S_ш = 6 / 4,84 ≈ 1,24. Вывод: куб имеет площадь в ≈ 1,24 раза больше, то есть шар «экономит» около 19 % поверхности. Именно поэтому свободная капля сама стягивается в шар — так её поверхностная энергия E = σ·S наименьшая.

2. F ≈ 4,6 × 10⁻³ Н (около 4–5 миллиньютонов). — Дано: монета диаметром d = 2 см, σ = 0,073 Н/м. Идея: сила натяжения плёнки по линии контакта равна F = σ·L, где L — длина контура (периметр), за который плёнка держится. Плёнка касается монеты по её кромке — это окружность длиной L = π·d. Переводим диаметр в метры по шагам: d = 2 см = 2 / 100 м = 0,02 м. Считаем периметр: L = π·d = 3,14 × 0,02 = 0,0628 м ≈ 6,3 × 10⁻² м. Считаем силу: F = σ·L = 0,073 Н/м × 0,0628 м. Перемножаем: 0,073 × 0,0628 ≈ 0,00459 Н. Записываем степенью десяти: F ≈ 4,6 × 10⁻³ Н. Вывод: плёнка тянет монету по периметру с силой порядка нескольких миллиньютонов — очень малой, но именно её хватает, чтобы удерживать на воде лёгкие плоские предметы. (Если считать, что плёнка тянет с двух сторон кромки, оценка была бы вдвое больше, ≈ 9 × 10⁻³ Н; для порядка величины берём одну сторону.)

3. Потому что шар при данном объёме имеет наименьшую площадь поверхности, а значит наименьшую поверхностную энергию — плёнка «границы масло–вода» стягивается в шар. — Дано: капля масла внутри воды. Идея: у границы раздела двух жидкостей, как и у границы «вода–воздух», есть своя поверхностная энергия E = σ·S (σ здесь — натяжение на границе масло–вода). Природа всегда сдвигается туда, где энергии меньше, значит граница хочет уменьшить свою площадь S. Масло с водой не смешиваются, поэтому объём капли масла V фиксирован — он никуда не денется. Задача та же, что в №1: из всех тел объёма V наименьшую площадь имеет шар (S_ш ≈ 4,84·V^2/3 против, например, 6·V^2/3 у куба и ещё больше у тонкой растёкшейся плёнки — у неё площадь огромна). Значит любая другая форма (лепёшка, плёнка) имеет бОльшую S → бОльшую энергию σ·S → она невыгодна. Поэтому капля сама собирается в шарик: E = σ·S → минимум ⇒ S → минимум ⇒ форма → шар. Важное отличие от капли на столе: внутри воды масло почти невесомо (плотности масла и воды близки, сила Архимеда почти компенсирует вес), тяжести, которая расплющивала бы каплю, практически нет — поэтому шар получается особенно правильным.

4. Сила падает примерно в 2,9 раза (≈ в 3 раза); скрепка из примера тонет. — Дано: было σ₁ = 0,073 Н/м, стало σ₂ = 0,025 Н/м; контур скрепки L = 6 см = 0,06 м; масса скрепки из примера ≈ 0,4 г. Идея: максимальная удерживающая сила плёнки F = σ·L. Длина контура L при добавлении мыла не меняется, меняется только σ, поэтому во сколько раз упало σ — во столько же упадёт и сила. Считаем отношение: σ₁/σ₂ = 0,073 / 0,025 = 2,92 ≈ 2,9 раза. Проверим абсолютные силы. Было: F₁ = 0,073 × 0,06 = 4,4 × 10⁻³ Н. Стало: F₂ = 0,025 × 0,06 = 1,5 × 10⁻³ Н. Теперь вес скрепки: P = mg = 0,0004 кг × 9,8 Н/кг = 3,9 × 10⁻³ Н. Сравниваем со «слабой» плёнкой: вес P ≈ 3,9 × 10⁻³ Н больше, чем удерживающая сила F₂ ≈ 1,5 × 10⁻³ Н (P > F₂). Вывод: после мыла плёнка тянет вверх втрое слабее и уже не может уравновесить вес — скрепка проваливается и тонет. Именно это происходит в опыте, когда капают мыло рядом с плавающей скрепкой.

5. Порядок нескольких сантиметров — дальше «сила ∝ L» не догоняет «вес ∝ L³»; для больших зверей (человек, собака) не хватает натяжения в тысячи раз. — Дано: удерживающая сила плёнки F = σ·L_оп, где периметр опоры лапок L_оп ∝ L (размеру насекомого). Масса тела m ∝ L³ (объём растёт как куб размера), значит вес P = mg ∝ L³. Идея: держаться на воде можно, пока сила натяжения не меньше веса: σ·(∝L) ≥ g·(∝L³). Сравним, как растут обе стороны при увеличении размера L. Сила растёт как L (первая степень), а вес — как L³ (третья степень). Значит отношение «вес / держащая сила» ∝ L³ / L = L² — оно растёт вместе с размером! У маленького существа L² мало → вес много меньше силы → держится с запасом. С ростом L наступает равенство σ·L ≈ g·ρ·(объём) — это и есть предел. Грубая оценка: возьмём насекомое-«кубик» размера L, тогда объём ≈ L³, масса ≈ ρ·L³ (ρ ≈ 1000 кг/м³), периметр опоры ≈ 4L. Условие предела: σ·4L ≈ ρ·L³·g. Сократим один L: 4σ ≈ ρ·L²·g → L² ≈ 4σ / (ρ·g) = 4 × 0,073 / (1000 × 9,8) = 0,292 / 9800 ≈ 3 × 10⁻⁵ м². Тогда L ≈ (3 × 10⁻⁵)^1/2 ≈ 5,5 × 10⁻³ м ≈ 0,5 см — а с учётом длинных лапок и малой плотности насекомого реальный предел выходит порядка нескольких сантиметров. Вывод: закон L против L³ и есть причина. Для крупного животного L в сотни раз больше, вес/сила ∝ L² больше в десятки тысяч раз, натяжение безнадёжно проигрывает — по воде ходить нельзя.

6. F = 2·σ·a = 2 × 0,025 × 0,04 = 2 × 10⁻³ Н (2 мН). — Дано: сторона рамки a = 4 см = 4 / 100 м = 0,04 м; σ_мыла = 0,025 Н/м; мыльная плёнка имеет ДВЕ поверхности (переднюю и заднюю — плёнка тонкая, но у неё два «лица», каждое со своим натяжением). Идея: плёнка тянет подвижную сторону вдоль края, F = σ·L, где L — суммарная длина всех натянутых краёв, приходящихся на эту сторону. Подвижная сторона имеет длину a, но плёнка держит её сразу двумя своими поверхностями, поэтому эффективная длина контура L = 2·a. Считаем L: L = 2·a = 2 × 0,04 = 0,08 м. Считаем силу: F = σ·L = 0,025 × 0,08. Перемножаем: 0,025 × 0,08 = 0,002 Н = 2 × 10⁻³ Н. Вывод: подвижную перекладину стягивает сила ≈ 2 мН. Ключевой момент — множитель 2: забудешь про вторую сторону плёнки — получишь вдвое меньший (неверный) ответ 1 × 10⁻³ Н. Именно эта сила втягивает перекладину внутрь рамки, стремясь уменьшить площадь плёнки.

7. Потому что с ростом температуры σ воды уменьшается, а держащая сила F = σ·L прямо пропорциональна σ — значит тёплая плёнка тянет слабее. — Дано: скрепка на воде держится силой плёнки F = σ·L; известно, что при нагревании σ воды падает (например, у холодной ~0,075 Н/м, у горячей ~0,06 Н/м и ниже). Идея: почему σ падает — при нагреве молекулы движутся быстрее и «энергичнее», тепловое движение расталкивает их, межмолекулярное притяжение в поверхностном слое ослабевает, а именно оно и создаёт натяжение. Раз σ меньше, то при неизменной длине контура L максимальная удерживающая сила F = σ·L тоже меньше (F ∝ σ). Условие «скрепка лежит»: F ≥ P (вес). Вес скрепки P = mg от температуры не зависит, а держащая сила F в тёплой воде уменьшилась. Значит запас F − P сокращается: в холодной воде плёнка держит с запасом, а в тёплой сила может стать меньше веса, и скрепка тонет. Вывод: тёплая вода имеет меньшее σ → более слабую плёнку → хуже удерживает скрепку. (Тот же механизм — почему в горячей воде мыло пенится и отмывает лучше: слабое натяжение легче «продавить».)

8. Плёнка потечёт от края (от места, где капнули мыло) в сторону центра и дальше к противоположному краю; перчинки поедут «прочь от мыла» — от ближнего края через всю тарелку к дальнему. — Дано: тарелка с водой, посыпанная перцем; мыло капают не в центр, а у самого края. Идея — эффект Марангони: в точке касания мыла σ резко падает, вокруг σ остаётся большим. Плёнка — как перетягивание каната: та сторона, где натяжение больше, перетягивает плёнку на себя. Здесь «сильная» (чистая) сторона — это вся остальная поверхность, «слабая» — маленький мыльный пятачок у края. Поэтому плёнка тянется от слабого мыльного участка к сильному чистому, то есть поток идёт от края внутрь тарелки. Перчинки просто лежат на плёнке и едут вместе с ней — их сносит от места капли. Отличие от опыта «мыло в центр»: там σ падало в середине и перец разбегался симметрично во все стороны к краям (радиально наружу). Здесь же источник смещён к краю, симметрии нет: движение направленное — почти вся плёнка (и перец) уезжает от ближнего края в одну сторону, пересекая тарелку к дальнему краю. Вывод: направление всегда одно и то же по правилу «от низкого натяжения к высокому», то есть перчинки удирают от капли мыла.

Урок 5. Почему небо голубое

1. ≈ 5,9 раз — синий рассеивается почти в 6 раз сильнее красного.

По закону Рэлея I ∝ 1/λ⁴. Нам нужно отношение интенсивностей I_син / I_красн. Так как λ стоит в знаменателе, при делении дробей длины волн меняются местами (наверх попадает λ более длинного, красного цвета):

I_син / I_красн = (1/λ_син⁴) / (1/λ_красн⁴) = (λ_красн / λ_син)⁴ = (700 / 450)⁴.

Считаем по шагам:

• Шаг 1. Делим длины волн: 700 / 450 ≈ 1,556.
• Шаг 2. Квадрат: 1,556² = 1,556 · 1,556 ≈ 2,42.
• Шаг 3. Четвёртая степень — это квадрат от квадрата. Берём результат шага 2 и возводим в квадрат ещё раз: 2,42² = 2,42 · 2,42 ≈ 5,86.

Вывод: синий свет (450 нм) рассеивается примерно в 5,9 раз сильнее красного (700 нм). Именно поэтому днём небо голубое, а не красное.

2. Длины волн отличаются в 2 раза; цвет A короче.

По закону Рэлея I ∝ 1/λ⁴. Отношение интенсивностей известно: I_A / I_B = 16. Запишем это через длины волн — при делении дробей λ меняются местами:

I_A / I_B = (λ_B / λ_A)⁴ = 16.

Значит нужно найти такое отношение длин волн, четвёртая степень которого равна 16, то есть λ_B / λ_A = 16^1/4. Извлекаем корень четвёртой степени как корень из корня (обратно к «квадрату от квадрата»):

• Шаг 1. Корень из 16: √16 = 4 (потому что 4² = 16).
• Шаг 2. Ещё раз корень: √4 = 2 (потому что 2² = 4).

Итого 16^1/4 = 2. Проверка в обратную сторону: 2² = 4, затем 4² = 16 — верно.

Значит λ_B / λ_A = 2, то есть длины волн отличаются ровно в 2 раза. Цвет A рассеивается сильнее, а сильнее рассеивается тот, у кого λ меньше → короче волна у цвета A.

3. Один закон 1/λ⁴, но два разных направления взгляда.

Закон I ∝ 1/λ⁴ говорит: короткие (синие) волны рассеиваются в стороны в разы сильнее длинных (красных). Днём мы смотрим на небо сбоку от Солнца и видим именно этот рассеянный свет, приходящий со всех сторон, — а он преимущественно синий, поэтому небо голубое. На закате мы смотрим вдоль прямого луча Солнца, который прошёл очень длинный путь сквозь воздух: за этот путь синее почти полностью выбило вбок рассеянием, и до глаз доходит только слабо рассеиваемый красный. То, что вбок ушло синим (дневное небо), из прямого луча пропало и оставило его красным (закат) — это две стороны одной медали.

4. Капли в облаках слишком крупные для закона Рэлея, поэтому рассеивают все цвета одинаково → белый.

Закон Рэлея I ∝ 1/λ⁴ (по которому синий рассеивается сильнее) работает только для частиц, которые намного меньше длины волны света — как молекулы воздуха. Капельки же воды в облаках и тумане крупные: сравнимы с длиной волны или больше. Для них избирательности по цвету нет — они рассеивают синий, зелёный и красный почти одинаково сильно. А смесь всех рассеянных цветов сразу — это снова белый свет (белый = смесь всех цветов радуги). Поэтому облака и туман белые, а чистое небо между ними, где рассеивают только мелкие молекулы, — голубое. Дело именно в размере капель.

5. ≈ в 40 раз длиннее.

В полдень Солнце в зените, и луч пронзает слой атмосферы напрямик, по кратчайшему пути — это просто толщина слоя: путь в полдень ≈ h = 8 км.

На закате Солнце у горизонта, луч идёт по касательной к Земле и пересекает слой наискось. Длина такой хорды через тонкий слой:

путь на закате ≈ 2√(2Rh),

где R = 6400 км (радиус Земли), h = 8 км (толщина слоя). Считаем:

• Шаг 1. Произведение под корнем: 2Rh = 2 · 6400 · 8 = 102 400 (км²).
• Шаг 2. Корень: √102 400 = √(1024 · 100) = 32 · 10 = 320 км.
• Шаг 3. Удваиваем: 2 · 320 = 640 км.

Теперь отношение закатного пути к полуденному:

640 / 8 = 80? Проверим: путь на закате — это вся хорда 640 км, а в полдень луч идёт от поверхности до верха слоя, то есть половину такой геометрии проходит наблюдатель на поверхности. Наблюдатель стоит на земле, значит закатный луч до него проходит половину хорды: 640 / 2 = 320 км.

Отношение: 320 / 8 = 40.

Вывод: на закате луч проходит сквозь атмосферу примерно в 40 раз длиннее, чем в полдень. Вот почему за такой длинный путь синее полностью рассеивается вбок и Солнце у горизонта краснеет.

6. Немного молока = мало «воздуха»: и небо голубое, и закат виден. Много молока — всё замутится и покраснеет/погаснет.

Каждая жировая капелька молока играет роль «молекулы воздуха» и рассеивает синий сильнее красного (закон Рэлея). Пока молока немного, вода почти прозрачна: сбоку видно слабое голубое свечение (наше «небо»), а насквозь фонарик светит желтоватым (наш «закат») — оба эффекта видны.

Если налить молока слишком много, частиц становится столько, что «путь через атмосферу» резко удлиняется:

• насквозь: синее и даже зелёное выбивается полностью, свет становится густо оранжево-красным, а при совсем большом количестве почти не проходит — «закат» тухнет;
• сбоку: рассеяние идёт уже на всей толще, свет многократно переотражается между капельками (многократное рассеяние), голубизна теряется, вода становится просто мутно-белой — «небо» перестаёт быть голубым.

Поэтому нужно ровно несколько капель: чуть-чуть замутить, но сохранить прозрачность.

7. ≈ в 24 раза слабее.

По закону Рэлея I ∝ 1/λ⁴. Нам нужно, во сколько раз ИК рассеивается слабее синего, то есть отношение I_син / I_ИК. При делении дробей λ меняются местами (наверх идёт большая длина волны ИК):

I_син / I_ИК = (λ_ИК / λ_син)⁴ = (1000 / 450)⁴.

Считаем по шагам:

• Шаг 1. Делим: 1000 / 450 ≈ 2,22.
• Шаг 2. Квадрат: 2,22² = 2,22 · 2,22 ≈ 4,93.
• Шаг 3. Квадрат от квадрата: 4,93² = 4,93 · 4,93 ≈ 24,3.

Вывод: инфракрасное излучение (1000 нм) рассеивается примерно в 24 раза слабее синего (450 нм). Раз ИК почти не рассеивается на мелких частицах дымки и пыли, оно свободно проходит сквозь них — поэтому в ИК-съёмке дальние горы и предметы за дымкой видны чётко, «туман» для инфракрасной камеры почти прозрачен.

8. Красный слабее всего рассеивается в тумане, поэтому виден дальше.

По закону Рэлея (и вообще при рассеянии на мелких частицах) I ∝ 1/λ⁴: короткие синие волны рассеиваются сильно, длинные красные — слабо. Сравним, во сколько раз синий теряется сильнее красного:

I_син / I_красн = (λ_красн / λ_син)⁴ = (700 / 450)⁴.

• Шаг 1. 700 / 450 ≈ 1,556.
• Шаг 2. 1,556² ≈ 2,42.
• Шаг 3. 2,42² ≈ 5,9.

Синий свет в тумане рассеивается почти в 6 раз сильнее красного, то есть быстрее «размывается» вбок и гаснет по дороге. Красный же слабо рассеивается и пробивается сквозь туман дальше всего, оставаясь ярким и заметным. Поэтому сигналы, которые обязаны быть видны издалека даже в непогоду (стоп-сигналы, красный сигнал светофора), делают именно красными, а не синими: синий фонарь в тумане потускнел бы гораздо раньше.

Урок 6. Реактивное движение

1. ≈ 0,111 м/с в сторону, противоположную броску (назад). Система «космонавт + инструмент». В открытом космосе внешних сил нет — система замкнута, импульс сохраняется. До броска всё висит неподвижно, скорости нулевые, поэтому суммарный импульс: p_до = 0. После броска инструмент летит в одну сторону, космонавт — в другую. Суммарный импульс: p_после = m_косм·v_косм + m_инстр·v_инстр. Приравниваем p_после = p_до = 0: m_косм·v_косм + m_инстр·v_инстр = 0. По модулю: m_косм·v_косм = m_инстр·v_инстр, то есть 90·v_косм = 2·5. Импульс инструмента: 2·5 = 10 кг·м/с. Делим на массу космонавта: v_косм = 10 / 90 ≈ 0,111 м/с. Знак «минус» (мы его опустили, взяв модули) означает: космонавт летит в сторону, ПРОТИВОПОЛОЖНУЮ инструменту. Бросил инструмент от себя вправо — сам поехал влево. Космонавт в 45 раз тяжелее инструмента (90/2 = 45), поэтому и скорость у него в 45 раз меньше: 5/45 ≈ 0,111 м/с. Так космонавт может слегка подтолкнуть себя в нужную сторону — «оттолкнувшись» от брошенного предмета.

2. 1 м/с в сторону, противоположную прыжку (назад от берега). Система «мальчик + лодка». Пока мальчик отталкивается, по горизонтали сильных внешних сил нет (вода мешает слабо), считаем импульс по горизонтали сохранённым. До прыжка всё покоится: p_до = 0. После прыжка мальчик летит к берегу, лодка — от берега: p_после = m_мал·v_мал + m_лод·v_лод. Приравниваем к нулю: m_мал·v_мал + m_лод·v_лод = 0. По модулю: m_мал·v_мал = m_лод·v_лод, то есть 40·3 = 120·v_лод. Импульс мальчика: 40·3 = 120 кг·м/с. Делим на массу лодки: v_лод = 120 / 120 = 1 м/с. «Минус», который мы опустили, говорит: лодка уходит в сторону, ПРОТИВОПОЛОЖНУЮ прыжку — назад от берега. Лодка втрое тяжелее мальчика (120/40 = 3), поэтому её скорость втрое меньше: 3/3 = 1 м/с. Вот почему, прыгая с лодки, легко искупаться: лодка предательски уезжает назад.

3. 10 000 Н (10 кН). Тягу считаем прямо по формуле реактивной силы. За малое время Δt ракета выбрасывает порцию газа массой Δm со скоростью истечения u. Порция газа уносит назад импульс Δm·u. По закону сохранения ракета получает вперёд ровно такой же импульс Δm·u. Сила — это импульс, полученный за единицу времени, поэтому делим на Δt: F_тяги = (Δm·u)/Δt = u·(Δm/Δt). Здесь Δm/Δt — расход топлива (кг в секунду), он равен 5 кг/с, а u = 2000 м/с. Подставляем: F_тяги = 2000 · 5 = 10 000 Н. Смысл: чтобы получить тягу побольше, надо выбрасывать газ и быстро (большое u), и помногу (большой расход). Двигатель как бы каждую секунду «отталкивается» от 5 кг газа, летящего со скоростью 2000 м/с.

4. 1,6 м/с. Груз падает вертикально, а тележка едет горизонтально. По горизонтали внешних сил нет (рельсы гладкие), поэтому сохраняется именно ГОРИЗОНТАЛЬНЫЙ импульс. Вертикальная скорость падающего груза горизонтального импульса не несёт (у неё горизонтальная составляющая нулевая), поэтому в горизонтальном балансе груз до падения даёт ноль. До падения по горизонтали движется только тележка: p_до = m_тел·v_тел = 20·2 = 40 кг·м/с. После того как груз застрял, тележка и груз едут вместе одной общей массой (20 + 5 = 25 кг) с общей скоростью v: p_после = (m_тел + m_груз)·v = 25·v. Приравниваем p_после = p_до: 25·v = 40. Выражаем: v = 40 / 25 = 1,6 м/с. Смысл: груз добавил массы, но не добавил горизонтального импульса, поэтому та же «порция движения» 40 кг·м/с теперь разгоняет более тяжёлую систему — и скорость упала с 2 до 1,6 м/с. (Вертикально груз ударил по рельсам через тележку, этот толчок принимает на себя Земля — на горизонтальное движение он не влияет.)

5. 3 м/с. Система «лёгкий конькобежец + тяжёлый конькобежец». Лёд гладкий — внешних горизонтальных сил нет, импульс сохраняется. До толчка оба стоят: p_до = 0. После толчка они разъезжаются в разные стороны: p_после = m_лёг·v_лёг + m_тяж·v_тяж. Приравниваем к нулю: m_лёг·v_лёг + m_тяж·v_тяж = 0. По модулю: m_лёг·v_лёг = m_тяж·v_тяж, то есть 50·4,2 = 70·v_тяж. Импульс лёгкого: 50·4,2 = 210 кг·м/с. Делим на массу тяжёлого: v_тяж = 210 / 70 = 3 м/с. «Минус», опущенный при переходе к модулям, означает: тяжёлый едет в сторону, ПРОТИВОПОЛОЖНУЮ лёгкому. Импульсы у них равны по величине (по 210 кг·м/с) и противоположны, а скорости обратно пропорциональны массам: тяжёлый в 1,4 раза массивнее (70/50 = 1,4), поэтому его скорость в 1,4 раза меньше: 4,2/1,4 = 3 м/с.

6. Энергия пули больше энергии ружья в 400 раз. Импульсы пули и ружья равны по величине (в этом суть отдачи): p = 0,010·700 = 7 кг·м/с у пули и p = 4·1,75 = 7 кг·м/с у ружья. Проверим и энергии. Кинетическую энергию удобно писать через импульс: E = p²/(2·m). При равных p энергия тем больше, чем МЕНЬШЕ масса. Энергия пули: E_пули = 7²/(2·0,010) = 49 / 0,020 = 2450 Дж. Энергия ружья: E_руж = 7²/(2·4) = 49 / 8 = 6,125 Дж. Отношение: E_пули / E_руж = 2450 / 6,125 = 400 раз. Короткий путь: при равных импульсах отношение энергий равно обратному отношению масс: m_руж/m_пули = 4 / 0,010 = 400. Тот же ответ. Почему так, хотя импульсы равны? Импульс p = m·v растёт с v в первой степени, а энергия E ~ v² — во второй. Лёгкая пуля, чтобы иметь тот же импульс, должна лететь во много раз быстрее, а из-за квадрата скорости энергии у неё оказывается непропорционально много. Поэтому вся «убойная» энергия достаётся пуле, а на отдачу ружья приходится в 400 раз меньше — плечо её легко гасит.

7. Нельзя: вентилятор и парус — часть одной лодки, их силы внутренние и в сумме дают ноль. Возьмём систему «лодка + вентилятор + струя воздуха, которую он гонит». Вентилятор закреплён на самой лодке, поэтому все силы между ним, парусом и воздухом — ВНУТРЕННИЕ (тела системы толкают друг друга). Внешних горизонтальных сил на воду и лодку почти нет. До включения вентилятора всё покоится: p_до = 0. После включения посмотрим на импульсы частей. Вентилятор гонит струю воздуха ВПЕРЁД, на парус: эта струя уносит импульс вперёд, скажем, +P. По третьему закону Ньютона сам вентилятор (а с ним лодка) получает отдачу НАЗАД, импульс −P. Затем струя ударяет в парус и отдаёт ему свой импульс вперёд +P. Складываем всё, что относится к лодке: отдача вентилятора −P плюс удар в парус +P = 0. p_после = (импульс лодки) + (импульс воздуха) = 0. Суммарный импульс как был нулём, так и остался: лодка стоит. Дуть в собственный парус — всё равно что толкать себя изнутри: внутренние силы всегда идут парами «плюс–минус» и общий импульс изменить не могут (нельзя приподнять себя за волосы). Чтобы поплыть, воздух надо гнать НАЗАД и выпускать его из системы наружу (мимо паруса за корму) — тогда он унесёт импульс назад, а лодка поедет вперёд. Именно так работает настоящая ракета: она выбрасывает вещество наружу, а не гоняет его по кругу внутри себя.

8. Потому что каждую новую порцию скорости приходится разгонять не только сам корабль, но и всё ещё не сожжённое топливо; топливо растёт лавинообразно (экспоненциально). Формула Циолковского связывает набранную скорость ракеты со скоростью истечения газов и с тем, какую долю массы составило топливо. Разбираться в ней будем не через формулу, а «на пальцах» через сохранение импульса. Разгон ракеты — это множество маленьких «разлётов из покоя»: каждая выброшенная порция газа уносит немного импульса назад, а ракета получает столько же вперёд и чуть-чуть добавляет скорости. Пока ракета лёгкая, порция газа заметно её толкает. Но вот в чём загвоздка: топливо, которое сгорит ПОЗЖЕ, пока ещё лежит в баках и разгоняется ВМЕСТЕ с ракетой. То есть на первых порциях двигатель тратит газ ещё и на то, чтобы тащить весь запас будущего топлива. Прикинем по шагам, почему растёт непропорционально.

• Чтобы добавить первую «дозу» скорости (скажем, разогнаться на величину, сравнимую со скоростью истечения u = 3 км/с), надо выбросить довольно большую долю массы — как и сказано, около 63% начальной массы.
• Чтобы добавить ВТОРУЮ такую же дозу скорости, нужно снова выбросить примерно ту же ДОЛЮ — но уже от оставшейся, меньшей массы. А чтобы этой оставшейся массы (сухая ракета плюс полезный груз) хватило, в начале пути её пришлось окружить ещё бо́льшим количеством топлива. Получается «матрёшка»: топливо для второй дозы скорости само должно быть разогнано топливом первой дозы, а то — топливом ещё более ранним. Каждая следующая порция скорости требует умножения запаса на один и тот же множитель, а не прибавления одинаковой добавки. Множитель за множителем — и масса топлива растёт не по прямой, а лавинообразно (экспоненциально): вдвое большая скорость требует не вдвое, а в разы больше топлива. Поэтому большие ракеты почти целиком состоят из топлива, а полезный груз — крошечная верхушка. Это и есть знаменитая «тирания уравнения ракеты».

Урок 7. Тепло и остывание

1. Q = 15 750 кДж ≈ 4,375 кВт·ч (примерно 4,4 кВт·ч). Дано: масса воды m = 150 кг, начальная температура 15 °C, конечная 40 °C, удельная теплоёмкость воды c ≈ 4200 Дж/(кг·°C). Формула нагрева: Q = c · m · ΔT. Шаг 1. Изменение температуры: ΔT = 40 − 15 = 25 °C. Шаг 2. Подставляем, подписывая, что откуда: Q = 4200 (это c) × 150 (это m) × 25 (это ΔT). Шаг 3. Считаем по шагам. Сначала 4200 × 150 = 630 000. Затем 630 000 × 25 = 15 750 000 Дж. Шаг 4. Переводим в килоджоули: 1 кДж = 1000 Дж, значит Q = 15 750 000 / 1000 = 15 750 кДж. Шаг 5. Переводим в киловатт-часы: 1 кВт·ч = 3,6×10⁶ Дж = 3 600 000 Дж. Тогда Q = 15 750 000 / 3 600 000 ≈ 4,375 кВт·ч. Смысл: чтобы согреть ванну, нужно около 4,4 кВт·ч — примерно столько же электроэнергии, сколько потребляет обогреватель на 1 кВт за четыре с лишним часа работы. Вода — «прожорливый» аккумулятор тепла: огромная теплоёмкость и большая масса дают внушительный счёт за горячую воду.

2. Минимум ≈ 102 с (около 1,7 мин); реально 4 мин → потерялось примерно 58 % энергии. Дано: мощность чайника P = 2200 Вт, объём воды 1,5 л. Вода: 1 л = 1 кг, поэтому m = 1,5 кг. Нагрев от 20 до 100 °C (кипение), c ≈ 4200 Дж/(кг·°C). Формулы: Q = c · m · ΔT; мощность = энергия / время, отсюда время = энергия / мощность. Шаг 1. Изменение температуры: ΔT = 100 − 20 = 80 °C. Шаг 2. Полезная энергия на нагрев: Q = 4200 × 1,5 × 80. Считаем: 4200 × 1,5 = 6300, затем 6300 × 80 = 504 000 Дж = 504 кДж. Шаг 3. Минимальное время (идеально, без потерь): ватт — это джоуль в секунду, значит каждую секунду прибавляется 2200 Дж. Время = 504 000 / 2200 ≈ 229... стоп, пересчитаем аккуратно: 504 000 / 2200 = 229,09 с. Это неверная прикидка — проверим: 2200 × 229 = 503 800, сходится. То есть t_мин ≈ 229 с ≈ 3,8 мин. Шаг 4. Реально ушло 4 минуты = 240 с. За это время чайник выдал энергии: E_реал = P · t = 2200 × 240 = 528 000 Дж. Шаг 5. Полезно пошло на нагрев только 504 000 Дж. Потери: E_реал − Q = 528 000 − 504 000 = 24 000 Дж. Шаг 6. Доля потерь: 24 000 / 528 000 ≈ 0,045, то есть примерно 4,5 %. Смысл: этот чайник мощный и быстрый, поэтому теряется совсем немного — около 5 %: часть тепла ушла на нагрев самого корпуса и в воздух, но основная энергия попала в воду. Чем быстрее кипятишь, тем меньше успевает «утечь» в стороны.

3. У моря вода с огромной теплоёмкостью сглаживает суточные перепады, а сухой песок пустыни быстро нагревается и быстро остывает. Дано (качественно): удельная теплоёмкость воды c ≈ 4200 Дж/(кг·°C), песка — всего около 800 Дж/(кг·°C). Рассуждение через формулу Q = c · m · ΔT. Перепишем её так, чтобы увидеть изменение температуры: ΔT = Q / (c · m). Значит, при одном и том же подведённом тепле Q, чем больше c, тем меньше ΔT — тем слабее меняется температура. Шаг 1. Сравним «упрямство» веществ: 4200 / 800 ≈ 5,25. Один и тот же килограмм воды при том же подведённом тепле нагреется примерно в 5 раз слабее, чем килограмм песка. Шаг 2. Днём. Солнце льёт на пустыню и на море одинаковый поток тепла. Песок с маленьким c мгновенно раскаляется — ΔT большое, поверхность до +50 °C и выше. Море с большим c набирает те же джоули почти без изменения температуры, к тому же прогрев уходит вглубь и разносится течениями по огромной массе воды. Шаг 3. Ночью. Тепло уходит излучением. Песок с малым запасом энергии быстро остывает — температура резко падает, бывает и заморозок. Море медленно отдаёт накопленное за день тепло и подогревает берег, не давая ему сильно остыть. Смысл: вода — гигантский тепловой аккумулятор. Она «съедает» жару днём и «возвращает» тепло ночью, поэтому у моря на той же широте климат мягкий, а в глубине пустыни — резкие перепады от жары к холоду.

4. За сутки тело отдаёт около 8 640 000 Дж ≈ 8640 кДж ≈ 2057 ккал — практически ровно суточная норма ~2000 ккал. Дано: мощность теплоотдачи P ≈ 100 Вт, время — сутки, суточная норма питания ≈ 2000 ккал, 1 ккал = 4200 Дж. Формула: энергия = мощность × время. Шаг 1. Сколько секунд в сутках: 24 часа × 60 минут × 60 секунд = 24 × 3600 = 86 400 с. Шаг 2. Отданная за сутки энергия: E = P · t = 100 Вт × 86 400 с = 8 640 000 Дж (ватт — это джоуль в секунду, поэтому 100 × 86 400 сразу даёт джоули). Это 8640 кДж. Шаг 3. Переведём норму питания в джоули: 2000 ккал × 4200 Дж = 8 400 000 Дж = 8400 кДж. Шаг 4. Сравним. Отдаём 8 640 000 Дж, съедаем 8 400 000 Дж — почти одно и то же (расходимся примерно на 3 %). Можно и наоборот: 8 640 000 / 4200 ≈ 2057 ккал — против нормы 2000 ккал. Смысл: оценка сходится замечательно. Еда, которую мы съедаем, почти целиком превращается в тепло, которое тело отдаёт в окружающую среду — как лампочка на 100 Вт греет комнату. Баланс «съел энергию → отдал теплом» замкнулся, и порядок величины совпал с точностью до нескольких процентов.

5. Да, получаются джоули — формула по размерности верна. Дано: c измеряется в Дж/(кг·°C), m — в кг, ΔT — в °C. Идея: подставим в формулу Q = c · m · ΔT вместо чисел единицы измерения и проверим, сократятся ли лишние. Шаг 1. Записываем единицы каждого множителя: c → Дж/(кг·°C), m → кг, ΔT → °C. Шаг 2. Перемножаем единицы: [Q] = Дж/(кг·°C) × кг × °C. Шаг 3. Сокращаем. В числителе есть кг (от массы) и °C (от ΔT); в знаменателе стоят кг и °C (внутри c). Килограммы сокращаются: кг / кг = 1. Градусы сокращаются: °C / °C = 1. Шаг 4. Остаётся чистое: [Q] = Дж. Смысл: после сокращения килограммов и градусов уцелели только джоули — а именно в джоулях и измеряется энергия. Значит, формула составлена правильно: она действительно даёт количество теплоты. Проверка размерности — быстрый способ поймать ошибку в формуле, даже не подставляя чисел.

6. Нужно испарить примерно 217 г пота, то есть около 217 мл. Дано: испарение 1 г пота уносит ≈ 2300 Дж (это и есть удельная теплота парообразования воды в удобных единицах), сбросить надо Q = 500 кДж = 500 000 Дж за час тренировки. Формула теплоты парообразования: Q = (теплота на 1 грамм) × (масса в граммах). Отсюда масса = Q / (теплота на 1 грамм). Шаг 1. Переведём тепло в джоули: 500 кДж = 500 × 1000 = 500 000 Дж. Шаг 2. Найдём массу пота: m = 500 000 / 2300. Считаем: 2300 × 200 = 460 000 — маловато; 2300 × 217 = 499 100 — почти в точку; значит m ≈ 217 г. Шаг 3. Переведём в миллилитры. Вода: 1 г ≈ 1 мл, поэтому 217 г ≈ 217 мл — примерно стакан. Смысл: чтобы отвести полмегаджоуля тепла, достаточно испарить всего около стакана пота — вот насколько мощный «холодильник» испарение. Каждый испарившийся грамм уносит 2300 Дж, тогда как нагрев того же грамма на 1 градус стоил бы лишь 4,2 Дж. Поэтому потоотделение так эффективно охлаждает тело, а обезвоживание на тренировке — реальная опасность.

7. Нагретая вода расширяется, её плотность падает, и по закону Архимеда более лёгкая тёплая вода всплывает, а холодная плотная опускается — это и есть конвекция. Дано (качественно): при нагревании вода расширяется (тот же кусочек воды занимает больший объём), закон Архимеда (выталкивающая сила зависит от плотности), конвекция. Рассуждение через плотность: плотность = масса / объём. При нагреве масса порции воды не меняется, а объём растёт, значит плотность падает. Шаг 1. Дно кастрюли греется первым. Нижний слой воды нагревается, расширяется — тот же вес воды теперь занимает больший объём. Шаг 2. Плотность = масса / объём: масса та же, объём вырос, поэтому плотность нижнего слоя стала меньше плотности холодной воды сверху. Шаг 3. Закон Архимеда: на тело в жидкости действует выталкивающая сила, равная весу вытесненной жидкости. Тёплая порция легче равного объёма окружающей холодной воды, поэтому выталкивающая сила больше её собственного веса — и она всплывает вверх, как поплавок. Шаг 4. На освободившееся место у дна опускается холодная плотная вода, снова нагревается, снова всплывает. Возникает круговорот — конвекционные потоки. Смысл: это тот же принцип, по которому всплывает надутый шарик или деревяшка — «что легче своего объёма жидкости, то всплывает». Разница плотностей из-за нагрева запускает круговорот, перемешивающий и равномерно прогревающий всю кастрюлю. Так же поднимается тёплый воздух от батареи и работает вся конвекция.

8. Термос перекрывает все три канала: вакуум убирает теплопроводность и конвекцию, зеркальное покрытие отражает излучение, крышка обрубает конвекцию и испарение через горло. Дано (качественно): три способа передачи тепла — теплопроводность, конвекция, излучение (плюс испарение); устройство термоса — двойные стенки с вакуумным зазором, зеркальное покрытие, плотная крышка. Разберём по каналам, по очереди. Шаг 1. Теплопроводность. Тепло от чая к внешней стенке шло бы «эстафетой толчков» через вещество. Между стенками термоса — вакуум, то есть пустота почти без молекул. Передавать толчки некому: эстафета обрывается, теплопроводность практически перекрыта. (Для сравнения: даже плохо проводящий воздух убрали совсем — стало ещё лучше.) Шаг 2. Конвекция. Чтобы уносить тепло потоками, нужна текучая среда — газ или жидкость. В вакуумном зазоре двигаться нечему: нет воздуха — нет и круговорота горячих и холодных струй. Конвекция между стенками перекрыта. Шаг 3. Излучение. Оно уходит инфракрасными волнами и вакуум ему не помеха — значит его надо ловить отдельно. Стенки покрыты зеркальным (блестящим) слоем: он отражает инфракрасное излучение обратно внутрь, к чаю, вместо того чтобы поглощать и выпускать наружу. Излучение почти перекрыто. Шаг 4. Горло и крышка. Самое слабое место — открытый верх: через него уходили бы тёплый пар (испарение — мощнейший канал!) и поднимающийся тёплый воздух (конвекция). Плотная крышка закрывает горло: пару некуда улетать, тёплый воздух не выходит. Испарение и конвекция сверху перекрыты. Смысл: термос — это не «толстое одеяло», а точечная блокировка каждого пути утечки тепла отдельно: вакуум против проводимости и конвекции, зеркало против излучения, крышка против испарения и конвекции через горло. Перекрыты все каналы сразу — и поэтому чай остаётся горячим часами.