Ответы к заданиям — Физика вокруг нас

Загляни сюда только после того, как сам(а) попробовал(а) решить!

Все ответы — по порядку величины: если ты получил число «в разы» близкое — это успех. В прикидочных задачах разумно отличаться в 1,5–2 раза.

Урок 1. Оценки Ферми

~4 × 10⁸ секунд (порядок 10⁸). 13 лет × 365 дней × 24 ч × 3600 с = 13 × 3,15×10⁷ ≈ 4,1 × 10⁸ с. Полезно запомнить: в году около 3,15 × 10⁷ секунд («π×10⁷» — почти точно!).
~3 × 10⁹ ударов (порядок 10⁹). 70 уд/мин × 60 × 24 × 365 × 80 = 70 × 5,25×10⁷ × 80 ≈ 2,9 × 10⁹. Почти три миллиарда ударов за жизнь.
~11 000 литров в сутки (порядок 10⁴). 0,5 л × 15 вд/мин × 60 × 24 = 0,5 × 15 × 1440 = 10 800 л. Больше десяти кубометров воздуха в день! (В покое; при нагрузке в разы больше.)
~4 × 10⁸ песчинок (порядок 10⁸). Объём песчинки-кубика 0,3 мм: (3×10⁻⁴ м)³ = 2,7×10⁻¹¹ м³. Ведро 10 л = 0,01 м³. Число ≈ 0,01/2,7×10⁻¹¹ ≈ 3,7 × 10⁸. С учётом того, что песчинки не заполняют объём плотно (пустоты ~35%), реально ~2,4×10⁸ — тот же порядок.
~10 000 тетрадей (порядок 10⁴). Древесины 0,3 м³ при плотности 1000 кг/м³ → 300 кг «бумаги». Один лист А5 ~2,5 г → листов 300/0,0025 = 1,2×10⁵. Тетрадь 12 листов → **10 000 тетрадей**. (Реально меньше — не вся древесина идёт в бумагу, но порядок верен.)
~7 × 10⁶ человеко-лет за сутки (порядок 10⁷). 8×10⁹ человек × 8 ч сна = 6,4×10¹⁰ человеко-часов в сутки. Переводим в человеко-годы: делим на 24×365 = 8760 ч → 6,4×10¹⁰ / 8760 ≈ 7,3 × 10⁶ человеко-лет. За одни сутки человечество суммарно проспало миллионы лет!
~1,4 × 10⁶ автомобилей (порядок 10⁶). Семей: 13×10⁶ / 3 ≈ 4,3×10⁶. Машина у каждой третьей → 4,3×10⁶ / 3 ≈ 1,4 × 10⁶ машин. Порядок — миллионы, что близко к реальности для Москвы.
~13 000 км (порядок 10⁴ км) — примерно треть экватора. Длина цепочки: 1,3 × 10⁷ человек × 1 м = 1,3 × 10⁷ м = 1,3 × 10⁴ км. Экватор ~40 000 км, значит цепочка из москвичей, взявшихся за руки, обернула бы Землю по экватору примерно на треть.

Урок 2. Размерность и единицы

Ватт, размерность M·L²/T³. Мощность = работа/время = (M·L²/T²)/T = M·L²/T³. Единица — ватт (Вт) = Дж/с = кг·м²/с³.
Совпадает, это ускорение. a = v²/r → (L/T)²/L = (L²/T²)/L = L/T² — размерность ускорения. Формула центростремительного ускорения корректна.
Это импульс, а не сила. m·v → M·(L/T) = M·L/T = кг·м/с. Это размерность импульса, а не силы (у силы M·L/T²). Формула «F = mv» физически неверна.
v ~ √(gh), точно v = √(2gh). Ищем v = g^a·h^b: (L/T) = (L/T²)^a·L^b. По T: −2a = −1 → a = ½. По L: a+b = 1 → b = ½. Значит v ~ √(gh) — структура совпадает с точной v = √(2gh); множитель 2 под корнем размерность не ловит.
T ∝ r^3/2 (третий закон Кеплера). Ищем T = r^a·M^b·G^c, G имеет L³/(M·T²). Приравниваем: T¹ = L^a · M^b · (L³ M⁻¹ T⁻²)^c. По M: b − c = 0. По L: a + 3c = 0. По T: −2c = 1 → c = −½. Тогда b = −½, a = −3c = 3/2. Итог: T ∝ r^3/2·(GM)^−1/2, то есть T² ∝ r³ — знаменитый третий закон Кеплера!
Получается паскаль (M/(L·T²)). ρgh → (M/L³)·(L/T²)·L = M/(L·T²) = кг/(м·с²) = Па. Формула корректна.
В 20 раз медленнее. v ∝ √h, значит отношение скоростей √(4000/10) = √400 = 20. Волна замедляется в 20 раз (с ~200 м/с до ~10 м/с) — поэтому у берега она «вырастает» и обрушивается.
I имеет размерность M·L² (кг·м²). E = ½Iω² → M·L²/T² = I·(1/T)² = I·T⁻². Значит I = M·L²/T² · T² = M·L². Это и есть размерность момента инерции — «масса, умноженная на квадрат расстояния».

Урок 3. Давление и закон Архимеда

29 400 Па без атмосферы; ≈ 129 400 Па с атмосферой. p = ρgh = 1000×9,8×3 = 29,4 кПа. С атмосферой добавляем 10⁵ Па → ~129 кПа (≈ 1,3 атм).
На глубине ~10 м. «Давление воды 2 атм» = 2×10⁵ Па. Из ρgh = 2×10⁵ → h = 2×10⁵/(1000×9,8) ≈ 20,4 м. Если же вопрос про полное давление 2 атм (атмосфера + вода = 2 атм, т.е. воды 1 атм), то h ≈ 10,2 м. (Оба варианта засчитываются, если указал, что считаешь.)
~24% под водой. Доля = ρ_пробки/ρ_воды = 240/1000 = 0,24. Под водой лишь четверть — пробка отличный поплавок.
500 кг/м³. Погружено половина объёма → ρ_тела/ρ_воды = 0,5 → ρ_тела = 500 кг/м³.
~300 м полной высоты. Над водой 30 м — это 10% высоты. Полная высота = 30/0,1 = 300 м. (Реальные айсберги-гиганты и правда бывают такой высоты по вертикали.)
~750 Н, разнять трудно из-за перепада давления. Снаружи давит атмосфера 1 атм, изнутри 0,5 атм. Нескомпенсированная разность 0,5 атм = 0,5×10⁵ Па. Сила = 0,5×10⁵ × 150×10⁻⁴ = 750 Н (как 75 кг), прижимающая ладони друг к другу. Это принцип «магдебургских полушарий».
T ≈ 66,6 Н. Вес шара: 7800 × 10⁻³ × 9,8 = 76,44 Н. Архимедова сила: 1000 × 10⁻³ × 9,8 = 9,8 Н. Натяжение нити = 76,44 − 9,8 ≈ 66,6 Н. В воде шар «весит» меньше на вес вытесненной воды.
Всплывает, потому что падает средняя плотность. Заполняя цистерны воздухом вместо воды, лодка сохраняет прежний объём (вытесняет столько же воды), но становится легче. Её средняя плотность падает ниже плотности воды → архимедова сила превышает вес → лодка всплывает. Наоборот, впуская воду, лодка тяжелеет и тонет.

Урок 4. Поверхностное натяжение

Шар меньше по площади примерно в 1,24 раза (Sшар/Sкуб ≈ 0,806). При равном объёме S_шар/S_куб = (36π)^1/3/6 ≈ 4,836/6 ≈ 0,806. То есть у куба площадь на ~24% больше. Шар — чемпион по минимуму поверхности, потому капли и стремятся к нему.
~4,6 × 10⁻³ Н. Периметр монеты d = 2 см: L = πd = 3,14×0,02 = 0,0628 м. F = σL = 0,073 × 0,0628 ≈ 4,6 × 10⁻³ Н.
Потому что так минимальна площадь поверхности и энергия. Масло не смешивается с водой; чтобы уменьшить площадь границы масло–вода (у неё тоже есть натяжение), капля стягивается в шар. Растёкшаяся плёнка имела бы огромную площадь границы и потому невыгодна энергетически.
Сила падает в ~2,9 раза; скрепка утонет. Отношение 0,073/0,025 ≈ 2,9. Новая максимальная сила: 0,025 × 0,06 = 1,5×10⁻³ Н. Вес скрепки (0,4 г) ≈ 3,9×10⁻³ Н — теперь больше удерживающей силы, поэтому скрепка тонет. Именно это и происходит, когда капнешь мыло.
Есть предельный размер; крупные животные проваливаются. Удерживающая сила ∝ периметру лапок ∝ L. Вес ∝ объёму ∝ L³. С ростом L вес (∝L³) растёт быстрее опоры (∝L), и при некотором размере вес превысит силу натяжения. Поэтому по воде бегают только лёгкие мелкие насекомые, а кошка или человек мгновенно проваливаются — их L слишком велик.
~2 × 10⁻³ Н. У мыльной плёнки две поверхности, поэтому сила на подвижную сторону F = σ·L·2 = 0,025 × 0,04 × 2 = 0,002 Н. Множитель 2 — ключ к задаче.
Тёплая вода имеет меньшее σ. С ростом температуры молекулы движутся энергичнее, притяжение в поверхностном слое ослабевает, σ падает (у кипятка примерно на 20% меньше, чем у холодной). Меньше σ — слабее плёнка — хуже держит скрепку.
Перчинки поедут от края к центру и вдоль по тарелке. Мыло у края резко снижает там σ; более сильное натяжение с противоположной стороны перетягивает плёнку прочь от места касания, то есть от края внутрь. Перчинки устремятся от «мыльного» края к остальной поверхности.

Урок 5. Почему небо голубое

~5,9 раза. (700/450)⁴ = (1,556)⁴ ≈ 5,9. Синий рассеивается почти в шесть раз сильнее красного. (Если брать красный 650 нм — получится ~4,3; всё зависит от выбранных длин волн, порядок один.)
Длины волн отличаются в 2 раза; сильнее рассеивается более короткая (A). Раз I ∝ 1/λ⁴ и отношение интенсивностей 16, то (λ_B/λ_A)⁴ = 16 → λ_B/λ_A = 16^1/4 = 2. Волна A вдвое короче волны B.
Один закон, два ракурса. Синие (короткие) волны рассеиваются в разы сильнее красных. Днём мы смотрим на небо сбоку от прямого луча и видим этот рассеянный синий свет — небо голубое. На закате луч идёт сквозь толщу атмосферы по касательной, синее почти полностью выбивается рассеянием в стороны, и до нас доходит остаток — красный. То есть голубое небо и красный закат — две стороны одного рэлеевского рассеяния.
Капли крупные — рассеивают все цвета одинаково. В облаках капельки воды сравнимы с длиной волны или крупнее, для них закон Рэлея не действует. Все цвета рассеиваются почти поровну, их смесь даёт белый. Поэтому облака белые, а разрежённый воздух (мелкие молекулы) даёт голубое.
Примерно в 80 раз. Путь по касательной через слой толщиной h ≈ хорда = 2√(2Rh) = 2√(2×6,4×10⁶×8×10³) = 2√(1,024×10¹¹) = 2×3,2×10⁵ = 6,4×10⁵ м = 640 км. Отношение к полуденным 8 км: 640/8 = 80. (Грубая оценка «плоского слоя»; реально из-за кривизны и рефракции цифра иная, но порядок «в десятки раз» верен — оттого закат так и краснеет.)
Молока нужно мало, иначе эффект пропадает. При малой концентрации свет рассеивается редко (по одному разу) — работает чистый Рэлей, видно и голубое, и красное. Если налить много молока, свет рассеивается многократно на всех частицах, цвета перемешиваются, и жидкость становится просто мутно-белой — ни «неба», ни «заката» не разглядеть.
Слабее примерно в 24 раза. (1000/450)⁴ = (2,22)⁴ ≈ 24. Инфракрасное почти не рассеивается дымкой, поэтому в ИК-диапазоне снимают сквозь туман и дымку — длинные волны проходят, не рассеиваясь.
Красный меньше рассеивается — виден издалека сквозь туман. По закону 1/λ⁴ красный свет рассеивается в дымке и тумане слабее любого другого видимого цвета, значит проходит дальше без потерь и лучше виден на расстоянии. Поэтому стоп-сигналы, маяки и запрещающие огни делают красными — их не «съедает» туман.

Урок 6. Реактивное движение

~0,11 м/с в сторону, противоположную броску. m_к·v_к = m_инстр·v_инстр → 90·v = 2·5 = 10 → v = 0,111 м/с. Космонавт медленно поплывёт назад — единственный способ «двигаться» в пустоте.
1 м/с назад. 120·v = 40·3 = 120 → v = 1 м/с. Лодка откатится со скоростью 1 м/с в сторону, противоположную прыжку.
10 000 Н. F = u·(Δm/Δt) = 2000 × 5 = 10 000 Н тяги.
1,6 м/с. Горизонтальный импульс сохраняется (у падающего груза его нет): 20×2 = (20+5)·v → v = 40/25 = 1,6 м/с. Груз добавил массу, но не горизонтальный импульс, поэтому скорость упала.
3,0 м/с. m₁v₁ = m₂v₂ → 50×4,2 = 70×v → v = 210/70 = 3,0 м/с. Тяжёлый едет медленнее лёгкого во столько раз, во сколько тяжелее.
Энергия пули в 400 раз больше. При равных импульсах E = p²/(2m), значит E_пули/E_ружья = m_ружья/m_пули = 4/0,010 = 400. Проверка: E_пули = ½×0,01×700² = 2450 Дж; E_ружья = ½×4×1,75² = 6,1 Дж; отношение 400. Импульсы равны, а энергия достаётся в основном лёгкому и быстрому телу — потому пуля разрушительна, а отдача терпима.
Сдвинуть нельзя — суммарный импульс системы не меняется. Вентилятор гонит воздух вперёд (в парус), получая отдачу назад; парус ловит эту струю и толкается вперёд. Внутренние силы взаимно компенсируются, суммарный импульс системы «лодка + вентилятор + воздух» остаётся нулём. Чтобы плыть, надо выбрасывать воздух за пределы лодки (тогда уносимый импульс не возвращается) — например, направить вентилятор назад, минуя парус.
Топливо разгоняет и ещё не сожжённое топливо — отсюда экспонента. Выбрасывая газ, ракета толкает себя вперёд. Но пока бак полон, двигатель разгоняет и корпус, и всё оставшееся топливо — тяжёлый груз. Каждая новая порция скорости требует разгонять всё меньшую массу, но чтобы «долить» скорости, приходится жечь топливо, которое само весит и которое тоже надо было разгонять. Поэтому масса топлива растёт не линейно, а экспоненциально со скоростью (формула Циолковского): чтобы удвоить скорость, нужно не вдвое, а во много раз больше топлива.

Урок 7. Тепло и остывание

15 750 кДж ≈ 4,4 кВт·ч. Q = cmΔT = 4200 × 150 × 25 = 1,575×10⁷ Дж = 15 750 кДж. В кВт·ч: 1,575×10⁷ / 3,6×10⁶ ≈ 4,4 кВт·ч. Вот почему нагрев ванны заметен в счёте за электричество.
Идеально ~229 с (≈ 3,8 мин); потерялось ~5%. Q = 4200 × 1,5 × 80 = 504 000 Дж. Идеальное время: 504000/2200 ≈ 229 с ≈ 3,8 мин. Раз реально ушло 240 с, полезно пошло 229/240 ≈ 95%, то есть потерялось ~5% (мощный чайник закипает быстро, потери малы). Если бы кипятили дольше или меньше воды, доля потерь выросла бы.
Вода сглаживает перепады из-за большой теплоёмкости. У воды c = 4200 — огромная. Море медленно нагревается днём и медленно отдаёт тепло ночью, удерживая температуру ровной. Песок и камень в пустыне имеют вчетверо-впятеро меньшую теплоёмкость, быстро раскаляются днём и быстро остывают ночью — отсюда резкий суточный перепад.
Сходится по порядку. 100 Вт × 24 ч = 100 × 86400 = 8,64×10⁶ Дж ≈ 8,6 МДж в сутки отдаётся. Норма питания 2000 ккал = 2000 × 4200 = 8,4×10⁶ Дж ≈ 8,4 МДж. Практически совпадает! Почти вся съеденная энергия в итоге уходит из тела как тепло — человек и правда греет комнату, как лампочка ~100 Вт.
Да, получаются джоули. Q = c·m·ΔT → [Дж/(кг·°C)] × [кг] × [°C] = Дж. Килограммы и градусы сокращаются, остаётся джоуль. Размерность подтверждает формулу.
~217 г пота (≈ 217 мл). m = 500 000 Дж / 2300 Дж/г ≈ 217 г. Около стакана пота за час — вот сколько воды теряешь на тренировке, и именно испарение уносит тепло.
Нагретая вода легче, всплывает по Архимеду — это конвекция. При нагревании вода расширяется, её плотность падает. Более лёгкая тёплая вода выталкивается вверх архимедовой силой, а холодная (плотная) опускается вниз. Возникает круговорот — конвекция, которая прогревает всю кастрюлю снизу доверху.
Термос блокирует все три канала. (1) Теплопроводность и конвекция убраны вакуумным зазором между двойными стенками — в пустоте нет молекул, чтобы переносить тепло, и нет воздуха для конвекции. (2) Излучение отражается зеркальным (посеребрённым) покрытием стенок обратно внутрь. (3) Испарение и конвекцию через горло перекрывает плотная крышка-пробка. Так последовательно закрыты все пути утечки тепла, и чай остаётся горячим часами.