Урок 7. Среднее арифметическое числового набора

Вероятность и статистика, 7 класс · Описательная статистика · ~45 минут

🎯 Что ты узнаешь

• Что такое среднее арифметическое и зачем оно нужно
• Формулу среднего и её смысл — «поделить поровну»
• Как быстро считать среднюю оценку, среднюю температуру, средний рост
• Где среднее может тебя обмануть (мини-предупреждение перед уроком 10)

📖 Разбираемся в теме

Тебе сказали: «У тебя в четверти получилось 4, 5, 3, 4 и 4 по математике». А в дневник пойдёт одна оценка. Какая? Учитель не выбирает любимую — он берёт среднее арифметическое. И ты, кстати, можешь посчитать его сам и заранее знать, что выйдет.

Среднее арифметическое — это попытка ответить на вопрос: «а если бы все значения были одинаковыми, то какими?»

Главная идея: «поделить поровну»

Представь, что у тебя и трёх друзей вместе 12 конфет, но разделены они нечестно: у тебя 6, у Маши 4, у Пети 2, у Кати 0. Вы решили поделить поровну. Складываете все конфеты (6 + 4 + 2 + 0 = 12) и делите на четверых: 12 : 4 = 3. Каждому достанется по 3 конфеты.

Вот эта «честная порция при делении поровну» и есть среднее арифметическое.

Красная пунктирная линия — это и есть среднее. Заметь: у кого-то столбик выше линии, у кого-то ниже. Среднее как бы «срезает горки и засыпает ямы», выравнивая всё до одного уровня.

Формула

📌 Запомни: Среднее арифметическое = (сумма всех значений) ÷ (количество значений).

Часто среднее обозначают чертой над буквой, например x̄ («икс с чертой»). Если значений n штук, то:

x̄ = (x₁ + x₂ + … + xₙ) / n

Два действия, всего-то:

1. Сложи все числа.
2. Раздели сумму на их количество.

💡 Лайфхак: среднее всегда оказывается между самым маленьким и самым большим значением набора. Если у тебя получилось среднее меньше минимума или больше максимума — где-то ошибка в счёте!

⏱ Попробуй сам: найди среднее чисел 10, 20, 30. (Сложи, раздели на 3.)

Где это в жизни

• Средняя оценка за четверть — складываем все оценки, делим на количество.
• Средняя температура за неделю — складываем температуры всех дней, делим на 7.
• Средний рост в классе, средний расход воды, средняя скорость.

⚠️ Частая ошибка: делить не на то количество. Если чисел пять — делим на 5, а не на 4 и не на «сколько-то». Сначала пересчитай, сколько у тебя значений!

🤔 А знаешь ли ты? Среднее не обязано быть «красивым» или даже встречаться в наборе. Средний размер семьи может получиться 2,4 человека — хотя живых «0,4 человека» не бывает. Это нормально: среднее — это расчётная величина, а не реальный объект.

✍️ Разбор примеров

Пример 1. Средняя оценка. Оценки по математике: 4, 5, 3, 4, 4. Найди среднюю. Решение:

1. Сумма: 4 + 5 + 3 + 4 + 4 = 20.
2. Количество: 5 оценок.
3. Среднее: 20 : 5 = 4. В дневник пойдёт «4».

Пример 2. Среднее с десятичным ответом. Числа: 2, 3, 4, 6. Найди среднее. Решение: сумма 2 + 3 + 4 + 6 = 15; количество 4; среднее 15 : 4 = 3,75. Проверка: 3,75 между 2 и 6 — порядок ✓.

Пример 3. Средняя температура. Температура в полдень за 5 дней: 18°, 20°, 17°, 21°, 19°. Найди среднюю. Решение: сумма 18 + 20 + 17 + 21 + 19 = 95; дней 5; среднее 95 : 5 = 19°.

Пример 4. С отрицательными числами. Утренняя температура за 4 дня: −2°, 0°, 3°, −1°. Средняя? Решение: сумма (−2) + 0 + 3 + (−1) = 0; дней 4; среднее 0 : 4 = 0°.

Пример 5. Обратная задача — найди пропущенное. Среднее четырёх чисел равно 10. Три из них: 8, 12, 9. Найди четвёртое. Решение: раз среднее 10, то сумма всех четырёх = 10 · 4 = 40. Известные три дают 8 + 12 + 9 = 29. Значит, четвёртое = 40 − 29 = 11.

Пример 6. Сравнение двух наборов. У Ани оценки 5, 4, 5, 4 (среднее?), у Бори 3, 5, 5, 5 (среднее?). У кого выше? Решение: Аня: (5+4+5+4)/4 = 18/4 = 4,5. Боря: (3+5+5+5)/4 = 18/4 = 4,5. Суммы равны → средние одинаковы, по 4,5.

💡 Запомни главное

• x̄ = (x₁ + x₂ + … + xₙ) / n — сумму всех значений делим на их количество n.
• Смысл: «если поделить всё поровну, сколько достанется каждому».
• Среднее всегда лежит между минимумом и максимумом набора.
• Сумма = среднее · количество — пригодится в обратных задачах (найти пропущенное число).

📝 Домашнее задание

1. Найди среднее арифметическое чисел: 7, 7, 7, 7.
2. Найди среднее: 12, 15, 18, 11, 14.
3. За неделю (7 дней) школьник прочитал по страницам: 20, 25, 0, 30, 15, 40, 10. Сколько страниц в среднем в день?
4. Температура за 6 дней: −3°, −1°, 0°, 2°, −2°, 4°. Найди среднюю температуру.
5. Среднее пяти чисел равно 6. Четыре из них: 5, 7, 6, 8. Найди пятое.
6. У команды результаты прыжков (см): 120, 135, 130, 145, 120. Найди средний результат.
7. В семье четыре человека ростом 180, 165, 150 и 145 см. Найди средний рост.
8. Среднее трёх чисел равно 100. Два из них равны 90 и 90. Найди третье.
9. ⭐ В группе 10 человек средний возраст 12 лет. Пришёл тренер 32 лет и стал одиннадцатым. Каким стал средний возраст группы теперь? (Подсказка: сначала найди общую сумму возрастов десяти человек.)