Урок 1. Числовые выражения

Алгебра, 7 класс · §1 · ~45 минут

🎯 Что ты узнаешь

• Что такое числовое выражение и что значит «найти его значение».
• В каком порядке выполнять действия, чтобы не запутаться.
• Почему некоторые выражения вообще не имеют смысла (привет, деление на ноль!).

📖 Разбираемся в теме

Представь: ты пришёл в кафе. Бургер стоит 250 рублей, картошка — 120, а кола — 90. Сколько ты отдашь на кассе? В голове ты уже пишешь:

250 + 120 + 90

Вот это и есть числовое выражение — запись из чисел, соединённых знаками действий (+, −, ·, ÷) и, может быть, скобками. А число, которое получится в конце (460 рублей), называется значением выражения.

📌 Правило: Числовое выражение — это запись из чисел и знаков действий. То число, которое получается после всех вычислений, называется значением этого выражения.

Звучит просто. Но вот загвоздка: в одном выражении часто стоит сразу несколько разных действий. И тут важно не торопиться. Смотри:

2 + 3 · 4

Кто-то сложит 2 + 3 = 5, потом умножит на 4 и получит 20. И ошибётся! Математика — строгая девушка, у неё есть чёткий порядок действий.

📌 Правило (порядок действий):

1. Сначала — действия в скобках.
2. Потом — умножение и деление (слева направо).
3. И только в конце — сложение и вычитание (слева направо).

Значит, 2 + 3 · 4 = 2 + 12 = 14. Умножение «сильнее» сложения, оно идёт первым.

💡 Лайфхак: Скобки — это «волшебная палочка». Если хочешь, чтобы сложение выполнилось раньше умножения, просто поставь скобки: (2 + 3) · 4 = 5 · 4 = 20.

⏱ Попробуй сам, потом читай дальше: чему равно 10 − 2 · 3? А (10 − 2) · 3?

Готов? Первое: 10 − 6 = 4. Второе: 8 · 3 = 24. Видишь, как скобки всё меняют?

Выражения, которые не имеют смысла

А теперь самое интересное. Бывают выражения, у которых нет значения вообще. Как так?

Возьмём деление. Делить — значит делить что-то на части. Раздели 12 конфет на 3 детей — каждому по 4. А раздели 12 конфет на… 0 детей. Что значит «раздать конфеты нулю детей»? Бессмыслица. Поэтому:

⚠️ Частая ошибка: На ноль делить НЕЛЬЗЯ. Запись вроде 7 ÷ 0 или 5/0 не имеет смысла — у такого выражения нет значения.

Если в выражении где-то прячется деление на ноль — всё выражение теряет смысл. Например, 8/(5 − 5) не имеет смысла, потому что 5 − 5 = 0, а делить на 0 запрещено.

🤔 А знаешь ли ты? А вот 0 ÷ 7 — это вполне законно и равно 0. «Ноль конфет разделить на 7 детей» — каждому достанется по нулю конфет. Запрещено именно делить НА ноль, а не сам ноль делить.

✍️ Разбор примеров

Пример 1. Найди значение выражения 6 + 4 · 5.

Решение. Сначала умножение (оно «сильнее»): 4 · 5 = 20. Потом сложение: 6 + 20 = 26.

Ответ: 26.

Пример 2. Найди значение выражения (6 + 4) · 5.

Решение. Сначала скобки: 6 + 4 = 10. Потом умножение: 10 · 5 = 50. Те же числа, а ответ другой — всё из-за скобок.

Ответ: 50.

Пример 3. Найди значение выражения 36 ÷ 6 + 2 · 4.

Решение. Деление и умножение — на одном уровне, делаем их раньше сложения. 36 ÷ 6 = 6, 2 · 4 = 8. Теперь складываем: 6 + 8 = 14.

Ответ: 14.

Пример 4. Найди значение выражения 48 ÷ (20 − 4 · 3).

Решение. Начинаем со скобок, но внутри них тоже есть порядок! Сначала умножение: 4 · 3 = 12. Потом вычитание: 20 − 12 = 8. Скобки посчитаны, осталось деление: 48 ÷ 8 = 6.

Ответ: 6.

Пример 5. Имеет ли смысл выражение 15 ÷ (8 − 8)?

Решение. Считаем скобку: 8 − 8 = 0. Получается 15 ÷ 0 — деление на ноль. Это запрещено.

Ответ: не имеет смысла.

Пример 6. Найди значение выражения 2 · (15 − 3 · 4) + 18 ÷ 9.

Решение. Скобка первая: внутри сначала умножение 3 · 4 = 12, затем 15 − 12 = 3. Теперь выражение: 2 · 3 + 18 ÷ 9. Умножение и деление: 2 · 3 = 6, 18 ÷ 9 = 2. Сложение: 6 + 2 = 8.

Ответ: 8.

💡 Запомни главное

• Числовое выражение — запись из чисел и знаков действий; результат вычисления — его значение.
• Порядок: скобки → умножение/деление → сложение/вычитание, внутри уровня — слева направо.
• Делить на ноль нельзя — такие выражения не имеют смысла.

📝 Домашнее задание

1. Найди значение выражения: 7 + 2 · 6.
2. Найди значение выражения: (7 + 2) · 6.
3. Найди значение выражения: 40 − 12 ÷ 4.
4. Найди значение выражения: 5 · 8 − 6 · 3.
5. Найди значение выражения: 54 ÷ (3 + 6).
6. Найди значение выражения: 100 − 2 · (10 + 5 · 4).
7. Имеет ли смысл выражение: 24 ÷ (7 − 7)?
8. Найди значение выражения: 3 · 4 + 48 ÷ (16 − 4 · 2).
9. ⭐ Найди значение выражения: (60 ÷ (2 + 3) − 4) · 5 + 21 ÷ 7.