Урок 2. Выражения с переменными

Алгебра, 7 класс · §1 · ~45 минут

🎯 Что ты узнаешь

• Что такое переменная и зачем буквы пробрались в математику.
• Как найти значение выражения при разных значениях переменной.
• Что такое допустимые значения переменной и какие значения «запрещены».

📖 Разбираемся в теме

Вчера ты считал чек в кафе: 250 + 120 + 90. Но представь, что цены меняются каждый день — то акция, то подорожание. Каждый раз переписывать всё заново? Скучно.

Математики ленивы (в хорошем смысле!) и придумали хитрость: вместо конкретного числа писать букву. Например, цена бургера сегодня неизвестна — обозначим её буквой a. Тогда стоимость двух бургеров — это 2·a. Подставишь вместо a любую цену — получишь ответ.

📌 Правило: Буква, вместо которой можно подставлять разные числа, называется переменной. А запись с буквами и знаками действий — выражение с переменной.

Самое классное: одно выражение работает сразу для миллиона случаев. Возьмём 2·a:

• если a = 250, то 2·250 = 500;
• если a = 300, то 2·300 = 600;
• если a = 99, то 2·99 = 198.

💡 Лайфхак: Между буквой и числом или между двумя буквами знак умножения обычно не пишут: 2·a записывают как 2a, а a·b как ab. Так короче и красивее. А вот 2·3 так писать нельзя — получится «23», совсем другое число!

⏱ Попробуй сам, потом читай дальше: чему равно выражение 3x + 1 при x = 4?

Подставляем: 3·4 + 1 = 12 + 1 = 13. Главное — не забыть про порядок действий из прошлого урока!

Как аккуратно подставлять значения

⚠️ Частая ошибка: При подстановке отрицательного числа обязательно бери его в скобки! Например, в выражении 5 − 2x при x = −3 пиши 5 − 2·(−3) = 5 + 6 = 11. Без скобок легко запутаться в знаках.

Допустимые значения переменной

А теперь вспомни вчерашний запрет: на ноль делить нельзя. Эта же история продолжается и с буквами.

Возьмём выражение 10/x. Можно подставить x = 2 (получим 5), x = 5 (получим 2), x = −10 (получим −1). А вот x = 0 подставить нельзя — получится 10/0, бессмыслица!

📌 Правило: Значения переменной, при которых выражение имеет смысл, называются допустимыми значениями переменной.

Для выражения 10/x допустимы все числа, кроме нуля. А для выражения 3x + 7 (там нет деления) допустимо вообще любое число — никаких запретов.

🤔 А знаешь ли ты? Чтобы найти «запрещённые» значения, ищи в выражении дроби (деление на букву) и спроси: «При каком значении знаменатель станет нулём?» Вот это значение и запрещено.

✍️ Разбор примеров

Пример 1. Найди значение выражения 4x − 5 при x = 3.

Решение. Подставляем 3 вместо x: 4·3 − 5. Сначала умножение: 12 − 5 = 7.

Ответ: 7.

Пример 2. Найди значение выражения 2a + 3b при a = 5 и b = 4.

Решение. Подставляем оба числа: 2·5 + 3·4 = 10 + 12 = 22.

Ответ: 22.

Пример 3. Найди значение выражения 10 − 3y при y = −2.

Решение. Подставляем −2 в скобках: 10 − 3·(−2). Умножение: 3·(−2) = −6. Значит 10 − (−6) = 10 + 6 = 16.

Ответ: 16.

Пример 4. Найди значение выражения x² + 1 при x = 5 и при x = −5.

Решение. При x = 5: 5² + 1 = 25 + 1 = 26. При x = −5: (−5)² + 1 = 25 + 1 = 26. Минус «исчезает» при возведении в квадрат, ведь (−5)·(−5) = 25.

Ответ: 26 в обоих случаях.

Пример 5. При каких значениях x не имеет смысла выражение 8/(x − 3)?

Решение. Деление на ноль запрещено, значит знаменатель не должен равняться нулю. Найдём, когда x − 3 = 0: это при x = 3. Именно это значение недопустимо.

Ответ: при x = 3.

Пример 6. Найди значение выражения (12 + a) / (a − 2) при a = 6.

Решение. Сначала проверим, допустимо ли a = 6: знаменатель 6 − 2 = 4, не ноль — отлично. Числитель: 12 + 6 = 18. Делим: 18 / 4 = 4,5.

Ответ: 4,5.

💡 Запомни главное

• Переменная — буква, вместо которой подставляют числа.
• Чтобы найти значение, подставь число вместо буквы (отрицательное — в скобках!) и считай по порядку действий.
• Допустимые значения — те, при которых выражение имеет смысл. Запрещены значения, при которых знаменатель равен нулю.

📝 Домашнее задание

1. Найди значение выражения 5x + 2 при x = 4.
2. Найди значение выражения 20 − 6a при a = 3.
3. Найди значение выражения 3m + 2n при m = 5, n = 7.
4. Найди значение выражения 7 − 4x при x = −2.
5. Найди значение выражения x² − 10 при x = 4.
6. При каком значении x не имеет смысла выражение 15/x?
7. При каком значении a не имеет смысла выражение 9/(a − 5)?
8. Найди значение выражения (a + b) / (a − b) при a = 7, b = 3.
9. ⭐ Найди значение выражения 2x² − 3x + 1 при x = −3.