Урок 3. Сравнение значений выражений

Алгебра, 7 класс · §1 · ~45 минут

🎯 Что ты узнаешь

• Что означают знаки <, >, ≤, ≥, ≠ и как их не перепутать.
• Чем отличается верное неравенство от неверного.
• Как сравнивать значения двух выражений.

📖 Разбираемся в теме

«У меня больше подписчиков, чем у тебя!» — «А у меня лайков не меньше, чем у тебя!» Мы постоянно что-то сравниваем. В математике для этого есть специальные знаки — и они куда точнее слов.

Ты уже знаешь два главных:

• > — «больше». Запись 7 > 3 читается «семь больше трёх».
• < — «меньше». Запись 2 < 9 читается «два меньше девяти».

💡 Лайфхак: Знак — это голодный крокодил, который всегда разворачивает пасть к большему числу. 7 > 3: пасть открыта к семёрке, потому что она вкуснее (больше). Острый угол всегда смотрит на меньшее число.

А есть знаки посерьёзнее:

📌 Знаки сравнения:

• a < b — a меньше b
• a > b — a больше b
• a ≤ b — a меньше или равно b (то есть «не больше b»)
• a ≥ b — a больше или равно b (то есть «не меньше b»)
• a ≠ b — a не равно b

Знаки ≤ и ≥ хитрые: они «довольны» в двух случаях. Например, неравенство x ≤ 5 верно и при x = 3, и при x = 5. А вот x < 5 при x = 5 уже неверно — пятёрка не меньше пятёрки.

Верные и неверные неравенства

Неравенство — как утверждение. Оно может быть верным (правдой) или неверным (ложью).

• 8 > 5 — верно (восемь и правда больше пяти).
• 8 < 5 — неверно (это ложь).
• 5 ≤ 5 — верно (пять равно пяти, а «или равно» нас спасает).
• 5 < 5 — неверно.

⏱ Попробуй сам, потом читай дальше: верны ли неравенства 4 ≥ 4 и 3 ≠ 3?

Первое — верно (есть «или равно»). Второе — неверно, ведь 3 как раз равно 3, а значок ≠ требует, чтобы они различались.

Сравнение значений выражений

Часто надо сравнить не голые числа, а целые выражения. Алгоритм простой:

📌 Правило: Чтобы сравнить значения двух выражений:

1. Найди значение каждого выражения.
2. Сравни получившиеся числа и поставь нужный знак.

Например, сравним 3 · 4 и 5 + 6. Считаем: 3 · 4 = 12, 5 + 6 = 11. Так как 12 > 11, пишем: 3 · 4 > 5 + 6.

⚠️ Частая ошибка: Не сравнивай выражения «на глаз» по виду! 2 + 2 выглядит «меньше», чем 100 − 99, но это обман: 2 + 2 = 4, а 100 − 99 = 1, значит 2 + 2 > 100 − 99. Всегда сначала вычисляй.

🤔 А знаешь ли ты? Со знаками работают с древности, а вот привычные нам < и > придумал английский математик Томас Хэрриот ещё в начале XVII века. Значкам уже больше 400 лет!

✍️ Разбор примеров

Пример 1. Верно ли неравенство 12 < 9?

Решение. Двенадцать больше девяти, а не меньше. Значит запись ложная.

Ответ: неверно.

Пример 2. Сравни значения выражений 6 · 7 и 50 − 5.

Решение. 6 · 7 = 42, 50 − 5 = 45. Так как 42 < 45, то 6 · 7 < 50 − 5.

Ответ: 6 · 7 < 50 − 5.

Пример 3. Поставь нужный знак (<, > или =) между значениями 100 ÷ 4 и 5 · 5.

Решение. 100 ÷ 4 = 25 и 5 · 5 = 25. Числа равны!

Ответ: 100 ÷ 4 = 5 · 5.

Пример 4. Верно ли неравенство 7 ≤ 7?

Решение. Знак ≤ означает «меньше или равно». Семь равно семи — значит часть «или равно» выполнена. Утверждение истинно.

Ответ: верно.

Пример 5. Сравни значения выражений 3 + 2 · 5 и (3 + 2) · 5.

Решение. Первое: сначала умножение, 2 · 5 = 10, затем 3 + 10 = 13. Второе: скобка 3 + 2 = 5, затем 5 · 5 = 25. Так как 13 < 25, получаем 3 + 2 · 5 < (3 + 2) · 5.

Ответ: 3 + 2 · 5 < (3 + 2) · 5.

Пример 6. Сравни значения выражений 2a + 1 и a + 5 при a = 3.

Решение. Подставляем a = 3. Первое: 2·3 + 1 = 7. Второе: 3 + 5 = 8. Так как 7 < 8, то при a = 3 имеем 2a + 1 < a + 5.

Ответ: 2a + 1 < a + 5 (при a = 3).

💡 Запомни главное

• Острый угол знака < или > всегда смотрит на меньшее число.
• ≤ и ≥ верны и при равенстве; ≠ верно только когда числа разные.
• Чтобы сравнить выражения, сначала вычисли их значения, а потом ставь знак.

📝 Домашнее задание

1. Верно ли неравенство 15 > 11?
2. Верно ли неравенство 6 ≥ 9?
3. Поставь знак <, > или = между 8 · 3 и 5 · 5.
4. Сравни значения выражений 40 − 12 и 4 · 6.
5. Верно ли неравенство 10 ≤ 10?
6. Сравни значения выражений 18 ÷ 2 + 1 и 2 · (3 + 1).
7. Сравни значения выражений 4 + 6 · 2 и (4 + 6) · 2.
8. Сравни значения выражений 3x и x + 8 при x = 5.
9. ⭐ Сравни значения выражений a² и 2a + 3 при a = 4, а затем при a = 1.