Урок 4. Свойства действий над числами

Алгебра, 7 класс · §2 · ~45 минут

🎯 Что ты узнаешь

• Три главных закона арифметики: переместительный, сочетательный, распределительный.
• Как считать в уме быстро и без калькулятора.
• Где эти законы прячутся в обычных вычислениях.

📖 Разбираемся в теме

Спорим, ты умеешь считать быстрее, чем думаешь? Сколько будет 25 · 4 · 7? Если в лоб — придётся помучиться. А вот фокус: 25 · 4 = 100, и тогда 100 · 7 = 700. Раз — и готово!

Этот фокус работает благодаря законам (свойствам) действий. Их три, и они твои лучшие друзья в устном счёте.

1. Переместительный закон

📌 Переместительный закон: От перестановки слагаемых сумма не меняется, и от перестановки множителей произведение не меняется. a + b = b + a a · b = b · a

Проще говоря: складывать и умножать можно в любом порядке. 3 + 8 = 8 + 3, и 5 · 9 = 9 · 5. Логично: купишь ли ты сначала 3 яблока, потом 8, или наоборот — всё равно у тебя 11 яблок.

⚠️ Частая ошибка: Этот закон НЕ работает для вычитания и деления! 10 − 3 ≠ 3 − 10, и 8 ÷ 2 ≠ 2 ÷ 8. Переставлять можно только при сложении и умножении.

2. Сочетательный закон

📌 Сочетательный закон: Соседние слагаемые можно заменять их суммой, а соседние множители — их произведением. Проще: скобки можно ставить как удобно. (a + b) + c = a + (b + c) (a · b) · c = a · (b · c)

Вот тут и спрятался наш фокус с 25 · 4 · 7. Мы сгруппировали так, как удобнее: (25 · 4) · 7.

💡 Лайфхак: Ищи «дружные» числа, которые дают круглый результат: 25 и 4 (→100), 2 и 5 (→10), 20 и 5 (→100), 8 и 125 (→1000). Ставь их рядом и считай первыми.

⏱ Попробуй сам, потом читай дальше: посчитай удобным способом 2 · 17 · 5.

Группируем дружные 2 и 5: (2 · 5) · 17 = 10 · 17 = 170. Красиво!

3. Распределительный закон

Самый мощный из трёх. Он связывает умножение и сложение.

📌 Распределительный закон: Чтобы умножить число на сумму, можно умножить его на каждое слагаемое и результаты сложить. a · (b + c) = a · b + a · c

Звучит сложно? А на деле ты так считаешь в магазине. Сколько стоят 6 шоколадок по 23 рубля? Считаем хитро: 6 · 23 = 6 · (20 + 3) = 6 · 20 + 6 · 3 = 120 + 18 = 138.

Распределительный закон работает и наоборот — это называется вынесение общего множителя: a · b + a · c = a · (b + c). Например, 7 · 13 + 7 · 87 = 7 · (13 + 87) = 7 · 100 = 700. Заметил общий множитель 7? Вынес — и считать стало в разы легче.

🤔 А знаешь ли ты? Распределительный закон работает и с вычитанием: a · (b − c) = a · b − a · c. Например, 8 · 99 = 8 · (100 − 1) = 800 − 8 = 792.

✍️ Разбор примеров

Пример 1. Вычисли удобным способом: 4 · 18 · 25.

Решение. Переставим множители (переместительный закон) и сгруппируем дружные 4 и 25: (4 · 25) · 18 = 100 · 18 = 1800.

Ответ: 1800.

Пример 2. Вычисли удобным способом: 36 + 58 + 64 + 42.

Решение. Подберём пары, дающие круглые числа: (36 + 64) + (58 + 42) = 100 + 100 = 200.

Ответ: 200.

Пример 3. Вычисли, используя распределительный закон: 7 · 102.

Решение. Представим 102 как сумму: 7 · (100 + 2) = 7 · 100 + 7 · 2 = 700 + 14 = 714.

Ответ: 714.

Пример 4. Вычисли, используя распределительный закон: 6 · 98.

Решение. Удобнее через разность: 6 · (100 − 2) = 6 · 100 − 6 · 2 = 600 − 12 = 588.

Ответ: 588.

Пример 5. Вычисли, вынося общий множитель: 23 · 15 + 23 · 85.

Решение. В обоих слагаемых есть множитель 23 — вынесем его: 23 · (15 + 85) = 23 · 100 = 2300.

Ответ: 2300.

Пример 6. Вычисли удобным способом: 8 · 125 · 13 − 999 · 0.

Решение. Дружные 8 и 125 дают 1000: (8 · 125) · 13 = 1000 · 13 = 13000. А 999 · 0 = 0 (умножение на ноль). Значит 13000 − 0 = 13000.

Ответ: 13000.

💡 Запомни главное

• Переместительный: a + b = b + a, a · b = b · a (только сложение и умножение!).
• Сочетательный: скобки в сумме/произведении можно расставлять как удобно.
• Распределительный: a · (b + c) = a · b + a · c; обратно — вынесение общего множителя.
• Ищи «дружные» числа и круглые суммы — это путь к быстрому счёту.

📝 Домашнее задание

1. Вычисли удобным способом: 2 · 37 · 5.
2. Вычисли удобным способом: 25 · 16.
3. Вычисли удобным способом: 47 + 89 + 53 + 11.
4. Вычисли, используя распределительный закон: 9 · 103.
5. Вычисли, используя распределительный закон: 7 · 99.
6. Вычисли, вынося общий множитель: 18 · 24 + 18 · 76.
7. Вычисли удобным способом: 4 · 27 · 25.
8. Вычисли удобным способом: 125 · 8 · 64.
9. ⭐ Вычисли удобным способом: 36 · 17 + 36 · 23 − 36 · 40.