Урок 5. Тождества и тождественные преобразования

Алгебра, 7 класс · §2 · ~45 минут

🎯 Что ты узнаешь

• Что такое тождество и тождественно равные выражения.
• Как приводить подобные слагаемые (собирать «своих к своим»).
• Как раскрывать скобки — и почему минус перед скобкой такой коварный.

📖 Разбираемся в теме

Бывает, два выражения выглядят совсем по-разному, а на деле — близнецы. Например, 2x + 3x и 5x. Подставь любое число вместо x — результат совпадёт. При x = 4: 2·4 + 3·4 = 20 и 5·4 = 20. При x = 10: 20 + 30 = 50 и 50. Всегда одно и то же!

📌 Правило: Два выражения называются тождественно равными, если при любых значениях переменных их значения совпадают. А равенство, верное при любых значениях, называется тождеством.

Превратить одно выражение в тождественно равное ему, но более простое — это и есть тождественное преобразование. Главное оружие здесь — законы из прошлого урока.

Приведение подобных слагаемых

Представь корзину, где перемешаны яблоки и груши. Логично разложить: яблоки к яблокам, груши к грушам. В алгебре то же самое.

Подобные слагаемые — это слагаемые с одинаковой буквенной частью. Например, 3x и 7x подобны (у обоих «x»), а 3x и 7y — нет (разные буквы).

📌 Правило: Чтобы привести подобные слагаемые, нужно сложить их числовые множители (коэффициенты), а буквенную часть оставить без изменений.

Например: 3x + 7x = (3 + 7)x = 10x. Это работает благодаря распределительному закону! А 8a − 5a = (8 − 5)a = 3a.

💡 Лайфхак: Число перед буквой называется коэффициентом. Если буква стоит без числа, коэффициент равен 1: x — это 1x, а −x — это −1x.

⏱ Попробуй сам, потом читай дальше: упрости 4y + 9y − 2y.

Все слагаемые с «y», складываем коэффициенты: (4 + 9 − 2)y = 11y. Готово!

⚠️ Частая ошибка: Нельзя складывать неподобные слагаемые! 3x + 5y так и остаётся 3x + 5y — это уже самый простой вид. «Яблоки с грушами не складывают.»

Раскрытие скобок

Иногда скобки мешают, и их нужно убрать. Тут два случая.

Плюс перед скобкой (или скобка просто стоит). Скобки убираем, всё внутри переписываем без изменений:

a + (b − c) = a + b − c

Минус перед скобкой — вот где все попадаются! При раскрытии каждый знак внутри скобки меняется на противоположный:

a − (b − c) = a − b + c

📌 Правило: Если перед скобкой стоит минус, то при раскрытии скобок знаки ВСЕХ слагаемых внутри меняются на противоположные. Если стоит плюс — знаки сохраняются.

Почему так? Потому что минус перед скобкой — это умножение на −1: −(3 + 2x) = (−1)·(3 + 2x) = −3 − 2x. Распределительный закон в действии!

🤔 А знаешь ли ты? Если перед скобкой стоит число, оно тоже «раздаётся» каждому слагаемому: 2·(x + 4) = 2x + 8. А если минус и число вместе: −3·(x − 2) = −3x + 6.

Полный план упрощения выражения: раскрой скобки → приведи подобные слагаемые. В таком порядке.

✍️ Разбор примеров

Пример 1. Приведи подобные слагаемые: 6a + 11a.

Решение. Буквенная часть одинаковая, складываем коэффициенты: (6 + 11)a = 17a.

Ответ: 17a.

Пример 2. Упрости выражение: 9x − 4x + x.

Решение. Помним, что x — это 1x. Складываем коэффициенты: (9 − 4 + 1)x = 6x.

Ответ: 6x.

Пример 3. Раскрой скобки: 7 + (a − 3).

Решение. Перед скобкой плюс — знаки внутри сохраняются: 7 + a − 3. Теперь приведём числа: 7 − 3 = 4, получаем a + 4.

Ответ: a + 4.

Пример 4. Раскрой скобки: 10 − (x + 6).

Решение. Перед скобкой минус — меняем знаки всех слагаемых внутри: 10 − x − 6. Приводим числа: 10 − 6 = 4, получаем 4 − x.

Ответ: 4 − x.

Пример 5. Упрости выражение: 3·(2x + 5) − 4x.

Решение. Сначала раскроем скобку, умножив 3 на каждое слагаемое: 3·2x + 3·5 = 6x + 15. Выражение стало 6x + 15 − 4x. Приведём подобные (6x и −4x): (6 − 4)x + 15 = 2x + 15.

Ответ: 2x + 15.

Пример 6. Упрости выражение: 5a − (2a − 7) + 3.

Решение. Раскрываем скобку с минусом, переворачивая знаки: 5a − 2a + 7 + 3. Приводим подобные: буквы (5a − 2a) = 3a, числа (7 + 3) = 10. Итого 3a + 10.

Ответ: 3a + 10.

💡 Запомни главное

• Тождество — равенство, верное при любых значениях переменных.
• Подобные слагаемые (одинаковая буквенная часть) складывают по коэффициентам, букву оставляют.
• Плюс перед скобкой — знаки сохраняются; минус — все знаки внутри меняются на противоположные.
• Порядок упрощения: сначала раскрой скобки, потом приведи подобные.

📝 Домашнее задание

1. Приведи подобные слагаемые: 5x + 8x.
2. Упрости: 12a − 7a + a.
3. Раскрой скобки и упрости: 9 + (b − 4).
4. Раскрой скобки и упрости: 15 − (y + 5).
5. Раскрой скобки и упрости: 8 − (3 − m).
6. Упрости: 4·(x + 2) + 3x.
7. Упрости: 2·(3a − 1) − 5a.
8. Упрости: 10y − (4y − 6) − 2.
9. ⭐ Упрости: 5·(2x − 3) − 2·(x − 4) + 1.