Урок 6. Уравнение и его корни

Алгебра, 7 класс · §3 · ~45 минут

Представь весы. На одной чаше — мешочек, в котором спрятано какое-то число (назовём его x), да ещё пара гирек. На другой — известный вес. Весы в равновесии. Вопрос: сколько весит мешочек? Чтобы это узнать, тебе не нужно его открывать — достаточно аккуратно снимать и добавлять гирьки одинаково с обеих сторон, пока мешочек не останется один. Вот это и есть решение уравнения. И сегодня ты научишься делать это по-настоящему грамотно.

🎯 Что ты узнаешь

• Что такое уравнение, корень уравнения и что значит «решить уравнение».
• Какие уравнения называют равносильными.
• Два главных свойства уравнений, на которых держится вообще всё решение.
• Как проверить, что ты нашёл корень правильно (и почему это стоит делать всегда).

📖 Разбираемся в теме

Уравнение — это равенство, в котором есть буква (переменная), и нужно найти, при каком её значении равенство верно.

Например:

x + 4 = 9

Слева и справа стоят выражения, между ними знак «=». Слева есть неизвестное x. Это уравнение.

📌 Правило. Уравнение — это равенство, содержащее переменную, значение которой надо найти.

Корень уравнения — это такое значение переменной, при котором уравнение превращается в верное числовое равенство.

Проверим x = 5 в уравнении x + 4 = 9:

5 + 4 = 9 — верно. Значит, 5 — корень.

А x = 3? 3 + 4 = 9 → 7 = 9 — неверно. Значит, 3 корнем не является.

💡 Лайфхак. Корень всегда можно проверить: подставь найденное число вместо буквы и посчитай. Если левая часть равна правой — корень верный. Это твой бесплатный «детектор ошибок».

Решить уравнение — значит найти все его корни или доказать, что корней нет.

«Все» — слово важное. У уравнения может быть:

• один корень (как у x + 4 = 9);
• несколько корней;
• ни одного корня (например, x = x + 1 — ни одно число не равно самому себе плюс единица);
• бесконечно много корней (например, x + 0 = x — подходит любое число).

🤔 А знаешь ли ты? Слово «уравнение» (и «равенство») происходит от слова «равный». А математики Древнего Востока решали уравнения ещё 4000 лет назад — правда, без буквы x: они записывали условия словами, целыми абзацами. Букву для неизвестного начали использовать гораздо позже. Цени, как тебе повезло — у тебя есть x.

Равносильные уравнения

Два уравнения называют равносильными, если у них одни и те же корни (или у обоих корней нет).

Например, x − 2 = 3 и x = 5 — равносильные: у обоих единственный корень 5.

Зачем это нужно? А вот зачем: решая уравнение, мы шаг за шагом заменяем его более простым, но равносильным. И так до тех пор, пока не получим самое простое — вида x = число. Главное — на каждом шаге не «потерять» и не «приобрести» корни. Для этого есть всего два надёжных приёма.

📌 Свойство 1. Любое слагаемое можно перенести из одной части уравнения в другую, изменив его знак на противоположный. Получится уравнение, равносильное данному.

Почему так? Перенести слагаемое — это то же самое, что прибавить (или вычесть) одно и то же число к обеим частям. Вернёмся к весам: если снять одинаковую гирьку с обеих чаш, равновесие сохранится.

x + 4 = 9 x = 9 − 4 (перенесли +4 вправо, оно стало −4) x = 5

⚠️ Частая ошибка. Переносят слагаемое и забывают поменять знак: пишут x = 9 + 4 = 13. Проверь: 13 + 4 = 17 ≠ 9. Знак менять обязательно!

📌 Свойство 2. Обе части уравнения можно умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю. Получится уравнение, равносильное данному.

Снова весы: если содержимое обеих чаш увеличить, скажем, в 3 раза, равновесие останется.

3x = 12 3x ÷ 3 = 12 ÷ 3 (разделили обе части на 3) x = 4

⚠️ Частая ошибка. Делить на ноль нельзя! Поэтому в свойстве 2 чётко сказано: число должно быть не равно нулю. Об этом ещё вспомним на следующем уроке.

⏱ Попробуй сам. Является ли число 2 корнем уравнения 5x − 3 = 7? Подставь и проверь. (Ответ: 5·2 − 3 = 10 − 3 = 7 — верно, да, корень.)

✍️ Разбор примеров

Пример 1. Является ли число −3 корнем уравнения 2x + 10 = 4?

Решение. Подставим x = −3 в левую часть: 2·(−3) + 10 = −6 + 10 = 4. Правая часть тоже 4. Левая равна правой.

Ответ: да, −3 — корень.

Пример 2. Реши уравнение x + 7 = 12.

Решение. Перенесём 7 вправо со сменой знака: x = 12 − 7 x = 5. Проверка: 5 + 7 = 12 — верно.

Ответ: 5.

Пример 3. Реши уравнение 6x = 42.

Решение. Разделим обе части на 6 (свойство 2): 6x ÷ 6 = 42 ÷ 6 x = 7. Проверка: 6·7 = 42 — верно.

Ответ: 7.

Пример 4. Реши уравнение 4x − 5 = 11.

Решение. Сначала перенесём −5 вправо (станет +5): 4x = 11 + 5 4x = 16. Теперь разделим обе части на 4: x = 16 ÷ 4 = 4. Проверка: 4·4 − 5 = 16 − 5 = 11 — верно.

Ответ: 4.

Пример 5. Реши уравнение 7x − 2 = 3x + 10.

Решение. Переменные соберём слева, числа — справа. Перенесём 3x влево (станет −3x), а −2 вправо (станет +2): 7x − 3x = 10 + 2 4x = 12 x = 3. Проверка: слева 7·3 − 2 = 19; справа 3·3 + 10 = 19. Равны — верно.

Ответ: 3.

Пример 6. Равносильны ли уравнения 2x = 8 и x − 1 = 3?

Решение. Решим каждое. Первое: x = 8 ÷ 2 = 4. Второе: x = 3 + 1 = 4. У обоих один и тот же корень — 4.

Ответ: да, равносильны.

💡 Запомни главное

• Уравнение — равенство с переменной, которую надо найти.
• Корень — значение переменной, при котором равенство верно.
• Решить — значит найти все корни (или доказать, что их нет).
• Равносильные уравнения имеют одинаковые корни.
• Свойство 1: слагаемое переносят в другую часть, меняя знак.
• Свойство 2: обе части можно умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю.
• Нашёл корень — проверь подстановкой.

📝 Домашнее задание

1. Является ли число 6 корнем уравнения x − 2 = 4?
2. Является ли число −2 корнем уравнения 3x + 8 = 2?
3. Реши уравнение: x + 9 = 15.
4. Реши уравнение: x − 11 = −4.
5. Реши уравнение: 8x = 56.
6. Реши уравнение: 5x + 3 = 23.
7. Реши уравнение: 9x − 4 = 4x + 16.
8. Равносильны ли уравнения 3x = 15 и x + 2 = 8?
9. ⭐ Подбери число a так, чтобы корнем уравнения 2x + a = 10 было число 3.