Урок 7. Линейное уравнение с одной переменной

Алгебра, 7 класс · §3 · ~45 минут

На прошлом уроке ты решал уравнения по чуть-чуть, на интуиции: перенёс, разделил, проверил. А что, если я скажу, что почти все уравнения, которые ты будешь решать в этом году, можно загнать в один-единственный шаблон? Один вид, один алгоритм — и ты решаешь их как орешки. Этот шаблон называется линейным уравнением. Поехали разбираться.

🎯 Что ты узнаешь

• Что такое линейное уравнение и почему оно записывается как ax = b.
• Алгоритм решения любого линейного уравнения.
• Три случая: уравнение имеет один корень, не имеет корней или имеет бесконечно много корней.
• Как не попасть в ловушку с делением на ноль.

📖 Разбираемся в теме

Линейное уравнение с одной переменной — это уравнение вида

ax = b,

где x — переменная, а a и b — числа (их называют коэффициентами).

Почему «линейное»? Потому что переменная x здесь стоит в первой степени — без квадратов, без кубов, без корней, не в знаменателе. Просто x. Позже ты узнаешь, что такому уравнению на координатной плоскости соответствует прямая линия — отсюда и название.

Многие уравнения сначала не похожи на ax = b, но после переноса слагаемых и приведения подобных они сводятся к этому виду. Например:

5x + 3 = 2x + 12 5x − 2x = 12 − 3 3x = 9 ← вот оно, ax = b, где a = 3, b = 9.

📌 Алгоритм решения линейного уравнения.

1. Раскрой скобки, если они есть.
2. Перенеси все слагаемые с переменной в одну часть, а числа — в другую (со сменой знаков).
3. Приведи подобные слагаемые → получишь вид ax = b.
4. Раздели обе части на a (если a ≠ 0). Получишь корень x = b/a.

Три случая

Вся хитрость — в последнем шаге. Что мы делим? Что получаем? Возможны три исхода.

Случай 1: a ≠ 0 — один корень. Тогда спокойно делим: x = b/a. Ровно один корень. Это самый частый случай. Пример: 3x = 9 → x = 9/3 = 3.

Случай 2: a = 0, но b ≠ 0 — корней нет. Получается 0·x = b, где b ≠ 0. Но 0·x при любом x равно 0, а не b. Равенство 0 = b неверно. Ни одно число не подходит. Пример: 0·x = 5 → корней нет.

Случай 3: a = 0 и b = 0 — бесконечно много корней. Получается 0·x = 0. Это верно при любом x: что ни подставь, слева 0 и справа 0. Пример: 0·x = 0 → корень — любое число.

💡 Лайфхак. Свёл уравнение к виду ax = b и видишь, что переменная вообще пропала (получилось что-то вроде 0 = 5 или 7 = 7)? Не пугайся — это не ошибка, это случай 2 или 3. Если осталось верное равенство (7 = 7) → корней бесконечно много; если неверное (0 = 5) → корней нет.

🤔 А знаешь ли ты? Случаи «нет корней» и «бесконечно много» поначалу кажутся странными — будто математика «сломалась». Но именно они спасают инженеров: если расчёт прочности моста сводится к 0 = 5, значит, в условие закралась ошибка. А если к 0 = 0 — значит, какой-то параметр можно выбрать свободно.

⚠️ Частая ошибка. Делить на a можно, только если a ≠ 0. Никогда не пиши «x = b/0». Если a получилось нулём — сразу смотри на b и определяй случай 2 или 3.

⏱ Попробуй сам. К какому виду ax = b сводится уравнение 4x + 1 = 4x + 1? Что это за случай? (Подсказка: перенеси всё с x влево.)

✍️ Разбор примеров

Пример 1. Реши уравнение 7x = 35.

Решение. Уже вид ax = b, a = 7 ≠ 0. Делим обе части на 7: x = 35 ÷ 7 = 5. Проверка: 7·5 = 35. ✓

Ответ: 5.

Пример 2. Реши уравнение 6x − 4 = 2x + 12.

Решение. Переносим: x — влево, числа — вправо. 6x − 2x = 12 + 4 4x = 16 x = 16 ÷ 4 = 4. Проверка: слева 6·4 − 4 = 20; справа 2·4 + 12 = 20. ✓

Ответ: 4.

Пример 3. Реши уравнение 3(x − 2) = x + 8.

Решение. Сначала раскроем скобки: 3x − 6 = x + 8 3x − x = 8 + 6 2x = 14 x = 7. Проверка: слева 3·(7 − 2) = 3·5 = 15; справа 7 + 8 = 15. ✓

Ответ: 7.

Пример 4. Реши уравнение 2x + 5 = 2x − 3.

Решение. Переносим x влево, числа вправо: 2x − 2x = −3 − 5 0·x = −8. Здесь a = 0, b = −8 ≠ 0. Это случай 2.

Ответ: корней нет.

Пример 5. Реши уравнение 5(x + 1) = 5x + 5.

Решение. Раскроем скобки: 5x + 5 = 5x + 5 5x − 5x = 5 − 5 0·x = 0. Здесь a = 0 и b = 0 — случай 3.

Ответ: x — любое число (корней бесконечно много).

Пример 6. Реши уравнение 10 − 2(x − 3) = 4x − 2.

Решение. Раскрываем скобки (внимательно со знаком минус перед скобкой): 10 − 2x + 6 = 4x − 2 16 − 2x = 4x − 2. Переносим: −2x − 4x = −2 − 16 −6x = −18 x = (−18) ÷ (−6) = 3. Проверка: слева 10 − 2·(3 − 3) = 10 − 0 = 10; справа 4·3 − 2 = 10. ✓

Ответ: 3.

💡 Запомни главное

• Линейное уравнение имеет вид ax = b (x в первой степени).
• Алгоритм: раскрыл скобки → собрал x в одну часть, числа в другую → привёл подобные → разделил на a.
• Три случая:
  • a ≠ 0 → один корень x = b/a;
  • a = 0, b ≠ 0 → корней нет;
  • a = 0, b = 0 → бесконечно много корней.
• На ноль делить нельзя — если a = 0, смотри на b.

📝 Домашнее задание

1. Реши уравнение: 4x = 28.
2. Реши уравнение: −3x = 21.
3. Реши уравнение: 5x + 2 = 17.
4. Реши уравнение: 8x − 1 = 3x + 14.
5. Реши уравнение: 2(x + 4) = 18.
6. Реши уравнение: 7x − 3 = 7x + 5.
7. Реши уравнение: 6(x − 1) = 6x − 6.
8. Реши уравнение: 4 − 3(x − 2) = x + 6.
9. ⭐ При каком значении a уравнение ax = 12 не имеет корней? А при каком имеет бесконечно много корней? (Подумай о значении b.)