Урок 8. Решение задач с помощью уравнений

Алгебра, 7 класс · §3 · ~45 минут

«В корзине яблоки и груши, всего 30 штук, груш в 2 раза меньше, чем яблок...» — и тут многие тяжело вздыхают. Текстовые задачи! Но у меня для тебя новость: ты уже умеешь решать уравнения. Осталось научиться превращать слова в уравнение — а это, оказывается, делается по чёткому плану. Освоишь его — и задачи из страшилок превратятся в приятную головоломку.

🎯 Что ты узнаешь

• Как обозначить неизвестное буквой и выразить через неё остальные величины.
• Как составить уравнение прямо по условию задачи.
• Чёткие этапы решения любой текстовой задачи.
• Разберёшь задачи трёх типов: на части/покупки, на движение и на возраст.

📖 Разбираемся в теме

Главная идея: в задаче есть что-то неизвестное. Мы обозначаем его буквой x, а потом переводим условие на язык математики — записываем равенство. Это равенство и есть уравнение. Решаем его — и получаем ответ.

📌 Этапы решения задачи с помощью уравнения.

1. Обозначь за x ту величину, которую ищут (или удобную для записи).
2. Вырази через x остальные величины из условия.
3. Составь уравнение — найди в условии равенство (что чему равно).
4. Реши уравнение.
5. Вернись к вопросу задачи и запиши ответ (часто нужно ещё что-то досчитать!).
6. Проверь: подходит ли ответ по смыслу условия.

Самый частый промах — на шаге 5: человек нашёл x и радостно пишет его в ответ, а спрашивали-то про другое. Поэтому всегда перечитывай вопрос.

💡 Лайфхак. За x удобно брать меньшую или самую простую величину — тогда остальные выражаются без дробей. «В 2 раза меньше» → если меньшее это x, то большее 2x (целое и красивое).

⚠️ Частая ошибка. Путают «больше на» и «больше в». «На 5 больше» → x + 5 (сложение). «В 5 раз больше» → 5x (умножение). Читай предлог!

Тип 1. Задачи на части и покупки

Здесь складывают количества или стоимости. Стоимость = цена · количество.

Пример рассуждения: «Купили 3 тетради и ручку. Тетрадь дороже ручки на 10 р., всё вместе 90 р.» Пусть ручка стоит x р. Тогда тетрадь — (x + 10) р. Три тетради — 3(x + 10). Всё вместе: x + 3(x + 10) = 90.

Тип 2. Задачи на движение

Главная формула: путь = скорость · время, то есть s = v · t. Отсюда t = s/v и v = s/t.

💡 Лайфхак. Если объекты движутся навстречу — их скорости складывают (сближаются быстро). Если в одну сторону, один догоняет другого — скорости вычитают (так находят скорость сближения/удаления).

Тип 3. Задачи на возраст

Тут ключ — в том, что за одно и то же число лет все стареют одинаково. Через n лет к каждому возрасту прибавляется n; n лет назад — у каждого вычитается n. Разница в возрасте между двумя людьми не меняется никогда.

🤔 А знаешь ли ты? Задачи на возраст обожали ещё в древности. Сохранилась эпитафия математику Диофанту (III век) — целая стихотворная задача про то, сколько он прожил. Решается она... обычным линейным уравнением. Так что ты сейчас занимаешься делом с историей в полторы тысячи лет.

⏱ Попробуй сам. Брату x лет, сестра старше на 3 года. Сколько лет сестре? А сколько им вместе? (Ответ: сестре x + 3; вместе x + (x + 3) = 2x + 3.)

✍️ Разбор примеров

Пример 1 (на части). В двух ящиках 50 кг яблок. В первом на 8 кг больше, чем во втором. Сколько яблок в каждом ящике?

Решение. Пусть во втором ящике x кг. Тогда в первом — (x + 8) кг. Вместе: x + (x + 8) = 50 2x + 8 = 50 2x = 42 x = 21. Значит, во втором 21 кг, в первом 21 + 8 = 29 кг. Проверка: 21 + 29 = 50, и 29 − 21 = 8. ✓

Ответ: 29 кг и 21 кг.

Пример 2 (на покупки). Купили 4 одинаковые ручки и альбом за 80 р. За всю покупку заплатили 200 р. Сколько стоит одна ручка?

Решение. Пусть ручка стоит x р. Тогда 4 ручки стоят 4x р., а вместе с альбомом: 4x + 80 = 200 4x = 200 − 80 4x = 120 x = 30. Проверка: 4·30 + 80 = 120 + 80 = 200 р. ✓

Ответ: ручка стоит 30 р.

Пример 3 (на части). Ленту длиной 84 см разрезали на две части так, что одна в 3 раза длиннее другой. Найди длину каждой части.

Решение. Пусть короткая часть x см. Тогда длинная — 3x см. Вместе: x + 3x = 84 4x = 84 x = 21. Короткая 21 см, длинная 3·21 = 63 см. Проверка: 21 + 63 = 84, и 63 = 3·21. ✓

Ответ: 21 см и 63 см.

Пример 4 (на движение). Из города выехал велосипедист со скоростью 15 км/ч. Через 2 часа за ним вслед выехал мотоциклист со скоростью 45 км/ч. Через сколько часов после своего выезда мотоциклист догонит велосипедиста?

Решение. Пусть мотоциклист едет x часов до встречи. Тогда велосипедист к моменту встречи едет (x + 2) часа. В момент встречи они проехали одинаковый путь от города: путь велосипедиста = путь мотоциклиста 15·(x + 2) = 45·x 15x + 30 = 45x 30 = 30x x = 1. Проверка: велосипедист за 3 часа: 15·3 = 45 км; мотоциклист за 1 час: 45·1 = 45 км. Сошлось! ✓

Ответ: через 1 час.

Пример 5 (на движение навстречу). Из двух городов, расстояние между которыми 300 км, навстречу друг другу одновременно выехали два автомобиля. Скорость первого 70 км/ч, второго — 80 км/ч. Через сколько часов они встретятся?

Решение. Пусть они едут x часов до встречи. Навстречу — скорости складываем: за час сближаются на 70 + 80 = 150 км. Весь путь между ними они закрывают вместе: (70 + 80)·x = 300 150x = 300 x = 2. Проверка: первый проехал 70·2 = 140 км, второй 80·2 = 160 км; 140 + 160 = 300 км. ✓

Ответ: через 2 часа.

Пример 6 (на возраст). Сейчас отцу 40 лет, а сыну 10 лет. Через сколько лет отец будет ровно в 3 раза старше сына?

Решение. Пусть пройдёт x лет. Тогда отцу будет (40 + x) лет, сыну (10 + x) лет. По условию отец втрое старше: 40 + x = 3·(10 + x) 40 + x = 30 + 3x 40 − 30 = 3x − x 10 = 2x x = 5. Проверка: через 5 лет отцу 45, сыну 15; 45 = 3·15. ✓

Ответ: через 5 лет.

💡 Запомни главное

• Обозначь неизвестное буквой (удобнее — меньшую величину).
• Вырази через неё остальные величины.
• Найди в условии равенство и запиши уравнение.
• Реши уравнение — и вернись к вопросу задачи.
• Формула движения: s = v·t. Навстречу — скорости складывают, вдогонку — вычитают.
• Возраст: за одинаковое время все стареют одинаково, разница в возрасте постоянна.
• Всегда проверяй ответ по смыслу.

📝 Домашнее задание

1. Задумали число. Если к нему прибавить 17, получится 42. Какое число задумали?
2. В двух коробках 64 карандаша. В первой на 12 больше, чем во второй. Сколько карандашей в каждой коробке?
3. Веревку длиной 96 см разрезали на две части так, что одна в 5 раз длиннее другой. Найди длины частей.
4. За 3 одинаковых блокнота и линейку за 30 р. заплатили 120 р. Сколько стоит один блокнот?
5. Из города выехал автобус со скоростью 60 км/ч. Через 1 час вслед за ним выехал автомобиль со скоростью 90 км/ч. Через сколько часов после своего выезда автомобиль догонит автобус?
6. Из двух пунктов, расстояние между которыми 240 км, навстречу выехали два поезда. Скорости 50 км/ч и 70 км/ч. Через сколько часов они встретятся?
7. Маме сейчас 36 лет, дочери 8 лет. Через сколько лет мама будет в 3 раза старше дочери?
8. В классе 28 учеников. Девочек на 4 больше, чем мальчиков. Сколько мальчиков и сколько девочек?
9. ⭐ Сестре сейчас в 4 раза больше лет, чем брату. Через 6 лет ей будет в 2 раза больше, чем брату. Сколько лет каждому сейчас?