Урок 38. Итоговое повторение за 7 класс

Алгебра, 7 класс · Повторение · ~45 минут

🎯 Что ты узнаешь

• Соберёшь весь год алгебры в одну компактную «карту»
• Освежишь главные правила по каждой теме — это твой личный мини-справочник
• Потренируешься на задачах сразу со всех тем, как на настоящей контрольной
• Поймёшь, какие темы уже «отскакивают», а какие стоит подтянуть летом

📖 Разбираемся в теме

Поздравляю — ты дошёл до финиша 7 класса! Давай оглянемся на пройденный путь. За год ты прокачал кучу навыков, и сейчас мы соберём их в одну карту. Считай этот урок шпаргалкой, к которой можно возвращаться перед любой контрольной.

💡 Лайфхак: Не пытайся вызубрить всё сразу. Пробегись по карте, отметь темы, где «плаваешь», и порешай именно их. Точечный ремонт эффективнее генеральной уборки.

Карта тем года

1. Выражения и их преобразования. Числовые выражения считаем по порядку действий: сначала скобки, потом степени, потом · и ÷, потом + и −. Выражения с переменными упрощаем: приводим подобные слагаемые (складываем коэффициенты при одинаковых буквах), раскрываем скобки.

📌 Правило: Раскрытие скобок: a(b + c) = ab + ac. Минус перед скобкой меняет знак каждого слагаемого: −(b − c) = −b + c.

2. Уравнения с одной переменной. Корень уравнения — число, обращающее его в верное равенство. Решаем, перенося слагаемые через знак «=» с переменой знака и деля на коэффициент при x.

📌 Правило: Можно переносить слагаемые из части в часть, меняя знак; можно умножать/делить обе части на одно и то же число (≠ 0).

3. Функции и их графики. Функция — каждому x ровно один y. Линейная функция y = kx + b — график прямая; k — угловой коэффициент (наклон), b — сдвиг по оси y. Частный случай — прямая пропорциональность y = kx (проходит через начало координат).

📌 Правило: У y = kx + b: если k > 0 — прямая идёт вверх, если k < 0 — вниз. Две прямые параллельны, если их k равны.

4. Степень с натуральным показателем. aⁿ — это a, умноженное само на себя n раз. Свойства:

📌 Правило (свойства степеней): aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ (при умножении показатели складывают) aᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ (при делении вычитают) (aᵐ)ⁿ = aᵐ·ⁿ (степень в степень — показатели перемножают) (ab)ⁿ = aⁿbⁿ; a⁰ = 1 (при a ≠ 0).

5. Одночлены и многочлены. Одночлен — произведение чисел и степеней (например, 3x²y). Многочлен — сумма одночленов. Многочлены складывают, вычитают и умножают; при умножении многочлена на многочлен — каждый член на каждый.

📌 Правило: (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd.

6. Формулы сокращённого умножения. Это «горячие клавиши» алгебры — их стоит знать наизусть:

📌 Правило: (a + b)² = a² + 2ab + b² (a − b)² = a² − 2ab + b² (a − b)(a + b) = a² − b² (разность квадратов)

7. Системы линейных уравнений (наша последняя глава). Решение системы — пара (x; y), подходящая обоим уравнениям. Способы: графический (точка пересечения прямых), подстановки, сложения. Решений может быть одно, ни одного (параллельны) или бесконечно много (совпадают).

⚠️ Частая ошибка года №1: терять знак минус при раскрытии скобок и переносе. №2: путать (a + b)² с a² + b² (забывать про средний член 2ab!). Проверяй себя.

🤔 А знаешь ли ты? Привычные нам знаки «+» и «−» появились в печатных книгах лишь в конце XV века, а знак равенства «=» придумал валлиец Роберт Рекорд в 1557 году — он выбрал две параллельные чёрточки, потому что «нет ничего более равного, чем две одинаковые линии». До этого слово «равно» писали словами!

⏱ Попробуй сам: Не подглядывая, напиши по памяти три формулы сокращённого умножения. Потом сверься с картой.

✍️ Разбор примеров

Пример 1 (выражения). Упрости: 3(2x − 1) − 2(x − 4).

Решение. Раскрываем скобки: 6x − 3 − 2x + 8 = (6x − 2x) + (−3 + 8) = 4x + 5.

Ответ: 4x + 5.

Пример 2 (уравнение). Реши: 5x − 7 = 2x + 8.

Решение. Переносим: 5x − 2x = 8 + 7 → 3x = 15 → x = 5. Проверка: 5·5 − 7 = 18; 2·5 + 8 = 18 ✓.

Ответ: x = 5.

Пример 3 (степени). Вычисли: (a³ · a²) ÷ a⁴ при a = 2.

Решение. По свойствам: a³·a² = a⁵; a⁵ ÷ a⁴ = a¹ = a. При a = 2 получаем 2.

Ответ: 2.

Пример 4 (формулы сокращённого умножения). Раскрой: (3x − 2)².

Решение. По формуле (a − b)² = a² − 2ab + b², где a = 3x, b = 2: (3x)² − 2·3x·2 + 2² = 9x² − 12x + 4.

Ответ: 9x² − 12x + 4.

Пример 5 (многочлены / разность квадратов). Раскрой: (x − 5)(x + 5).

Решение. Это разность квадратов: (a − b)(a + b) = a² − b². Здесь a = x, b = 5: x² − 25.

Ответ: x² − 25.

Пример 6 (система). Реши: { 2x + y = 7; { x − y = 2.

Решение. Сложим уравнения (у y коэффициенты +1 и −1): 3x = 9 → x = 3. Подставим в x − y = 2: 3 − y = 2 → y = 1. Проверка: 2·3 + 1 = 7 ✓; 3 − 1 = 2 ✓.

Ответ: (3; 1).

Пример 7 (функция). Принадлежит ли точка (2; 5) графику функции y = 2x + 1?

Решение. Подставим x = 2: y = 2·2 + 1 = 5. Получили ровно 5.

Ответ: да, принадлежит.

💡 Запомни главное

• Выражения: порядок действий; раскрытие скобок (минус меняет знаки); приведение подобных.
• Уравнения: переноси слагаемые со сменой знака, дели на коэффициент.
• Функции: y = kx + b — прямая; k — наклон, b — сдвиг.
• Степени: при умножении показатели складывай, при делении вычитай, степень в степень — перемножай.
• Многочлены: «каждый на каждый».
• Три формулы: (a ± b)² = a² ± 2ab + b²; (a − b)(a + b) = a² − b².
• Системы: решение — пара (x; y) для обоих уравнений; способы — графический, подстановки, сложения.

📝 Домашнее задание

1. Упрости: 4(3x − 2) − 5(x − 3).
2. Реши уравнение: 7x − 4 = 3x + 12.
3. Вычисли: (5² · 5³) ÷ 5⁴.
4. Упрости и запиши в виде степени: (x⁴)³ · x².
5. Раскрой скобки: (2a + 3)².
6. Раскрой скобки: (4y − 1)(4y + 1).
7. Перемножь многочлены: (x + 2)(x − 3).
8. Принадлежит ли точка (−1; 4) графику функции y = −3x + 1?
9. Реши систему способом подстановки: { y = 2x − 1; { 3x + y = 9.
10. Реши систему способом сложения: { 3x + 2y = 16; { x − 2y = 0.
11. Задача. Сумма двух чисел 30, разность 6. Найди числа (через систему).
12. ⭐ Упрости выражение: (x + 4)² − (x − 4)². (Подсказка: раскрой обе скобки по формулам квадрата и вычти.)