Урок 37. Решение задач с помощью систем уравнений

Алгебра, 7 класс · §16 · ~45 минут

🎯 Что ты узнаешь

• Зачем для задачи вводить сразу две переменные
• Как из условия задачи вытащить два уравнения и собрать систему
• Как решать задачи на движение, на смеси и цифры, на работу
• Почему ответ задачи нужно проверять не только подстановкой, но и здравым смыслом

📖 Разбираемся в теме

Раньше в текстовых задачах ты вводил одну переменную x и мучительно выражал через неё всё остальное. Иногда получалось так накручено, что сам забывал, что обозначил.

Теперь у тебя новое супероружие — две переменные сразу. Не нужно ничего хитро выражать: есть два неизвестных — назови их x и y, и пусть каждое условие задачи превратится в своё уравнение. Два условия — две строчки системы. Красота и порядок!

📌 Правило (как решать задачу системой):

1. Обозначить два неизвестных буквами x и y (обязательно записать, что есть что!).
2. Перевести условия задачи на язык уравнений — получить два уравнения.
3. Собрать систему и решить (подстановкой или сложением).
4. Вернуться к вопросу задачи и записать ответ словами. Проверить по смыслу.

💡 Лайфхак: Самый важный шаг — первый. Чётко запиши: «Пусть x — ... , y — ...». Половина ошибок в задачах оттого, что человек забыл, что обозначил буквой.

⏱ Попробуй сам: «В классе 30 человек, девочек на 4 больше, чем мальчиков». Обозначь мальчиков x, девочек y и запиши два уравнения. (Подсказка: одно про сумму, другое про разность.)

Тип 1. Задачи на «сумму и разность» и на цифры

Самый простой тип. «Двух чисел сумма такая, разность сякая» — прямо просится система. Сюда же примыкают задачи про двузначные числа.

Тут полезно вспомнить хитрость: двузначное число с цифрой десятков a и цифрой единиц b равно 10a + b (а не a + b!). Например, число 53 — это 10·5 + 3.

⚠️ Частая ошибка: В задачах про цифры писать число как «ab» = a·b или a + b. Нет! Двузначное число = 10·(десятки) + (единицы).

Тип 2. Задачи на движение

Главная формула здесь: путь = скорость · время, то есть s = v·t.

В задачах часто две лодки, два пешехода, лодка по течению и против. И тут спасает приём:

• по течению лодка плывёт со скоростью (собственная + течение): v + u;
• против течения — (собственная − течение): v − u.

Обозначаем v и u двумя переменными — и составляем два уравнения по двум поездкам.

Тип 3. Задачи на смеси, сплавы, проценты

«Смешали столько-то одного и столько-то другого». Тут два уравнения обычно такие: одно про общее количество (массу, объём), другое — про содержимое (количество соли, чистого металла, денег).

Тип 4. Задачи на работу и на покупки

«Купили x булочек и y пирожков». Одно уравнение — про количество, второе — про общую стоимость. Очень похоже на задачи про смеси.

🤔 А знаешь ли ты? Текстовые задачи, которые решаются системами, встречаются в самых древних математических текстах. На вавилонских глиняных табличках возрастом около 4000 лет уже есть задачки вроде «длина и ширина поля...». Так что ты сейчас занимаешься делом, которому несколько тысячелетий!

✍️ Разбор примеров

Пример 1. Сумма двух чисел равна 25, а их разность равна 7. Найди числа.

Решение. Пусть x — большее число, y — меньшее. Сумма: x + y = 25. Разность: x − y = 7. { x + y = 25 { x − y = 7 Сложим: 2x = 32 → x = 16. Тогда 16 + y = 25 → y = 9. Проверка: 16 + 9 = 25 ✓; 16 − 9 = 7 ✓.

Ответ: числа 16 и 9.

Пример 2. За 3 тетради и 2 ручки заплатили 130 рублей, а за 1 тетрадь и 4 ручки — 110 рублей. Сколько стоит тетрадь и сколько ручка?

Решение. Пусть x — цена тетради, y — цена ручки (в рублях). { 3x + 2y = 130 { x + 4y = 110 Выразим x из второго: x = 110 − 4y. Подставим в первое: 3(110 − 4y) + 2y = 130 330 − 12y + 2y = 130 330 − 10y = 130 −10y = −200 y = 20. Тогда x = 110 − 4·20 = 30. Проверка: 3·30 + 2·20 = 90 + 40 = 130 ✓; 30 + 4·20 = 30 + 80 = 110 ✓.

Ответ: тетрадь 30 рублей, ручка 20 рублей.

Пример 3. Двузначное число. Сумма его цифр равна 11. Если поменять цифры местами, число увеличится на 27. Найди число.

Решение. Пусть x — цифра десятков, y — цифра единиц. Тогда само число равно 10x + y, а «перевёрнутое» — 10y + x. Сумма цифр: x + y = 11. Перевёрнутое больше на 27: (10y + x) − (10x + y) = 27 → 9y − 9x = 27 → y − x = 3. { x + y = 11 { y − x = 3 Сложим: 2y = 14 → y = 7. Тогда x = 11 − 7 = 4. Число: 10·4 + 7 = 47. Проверка: сумма цифр 4 + 7 = 11 ✓; перевёрнутое 74, и 74 − 47 = 27 ✓.

Ответ: число 47.

Пример 4. Лодка по течению реки за 1 час проходит 18 км, а против течения за 1 час — 12 км. Найди собственную скорость лодки и скорость течения.

Решение. Пусть v — собственная скорость лодки, u — скорость течения (км/ч). По течению: v + u = 18. Против течения: v − u = 12. { v + u = 18 { v − u = 12 Сложим: 2v = 30 → v = 15. Тогда 15 + u = 18 → u = 3. Проверка: 15 + 3 = 18 ✓; 15 − 3 = 12 ✓. По смыслу всё разумно (течение медленнее лодки).

Ответ: собственная скорость 15 км/ч, скорость течения 3 км/ч.

Пример 5. В двух ящиках вместе 50 кг яблок. Если из первого переложить во второй 5 кг, в ящиках станет поровну. Сколько яблок в каждом ящике?

Решение. Пусть x — масса в первом ящике, y — во втором (кг). Вместе: x + y = 50. После перекладывания: в первом стало (x − 5), во втором (y + 5), и они равны: x − 5 = y + 5 → x − y = 10. { x + y = 50 { x − y = 10 Сложим: 2x = 60 → x = 30. Тогда y = 50 − 30 = 20. Проверка: 30 + 20 = 50 ✓; после: 30 − 5 = 25 и 20 + 5 = 25 — поровну ✓.

Ответ: в первом 30 кг, во втором 20 кг.

Пример 6. Сплавили 4 кг одного металла и 6 кг другого, получили сплав. Стоимость 1 кг первого металла на 200 рублей больше, чем второго, а весь сплав стоит 4400 рублей. Найди цену 1 кг каждого металла.

Решение. Пусть x — цена 1 кг первого металла, y — цена 1 кг второго (рублей). Первый дороже на 200: x − y = 200. Стоимость сплава: 4x + 6y = 4400. { x − y = 200 { 4x + 6y = 4400 Из первого x = y + 200. Подставим во второе: 4(y + 200) + 6y = 4400 4y + 800 + 6y = 4400 10y = 3600 y = 360. Тогда x = 360 + 200 = 560. Проверка: 560 − 360 = 200 ✓; 4·560 + 6·360 = 2240 + 2160 = 4400 ✓.

Ответ: первый металл 560 руб/кг, второй 360 руб/кг.

💡 Запомни главное

• Два неизвестных → введи две переменные и обязательно запиши, что есть что.
• Два условия задачи → два уравнения → система.
• Двузначное число = 10·(десятки) + (единицы).
• Движение: путь = скорость · время; по течению v + u, против v − u.
• Смеси и покупки: одно уравнение — про количество, другое — про стоимость/содержимое.
• В конце вернись к вопросу, запиши ответ словами и проверь его по смыслу (не бывает −3 яблок).

📝 Домашнее задание

1. Сумма двух чисел 40, разность 8. Найди числа.
2. За 2 пирожных и 3 сока заплатили 240 рублей, а за 4 пирожных и 1 сок — 280 рублей. Найди цену пирожного и сока.
3. В двух коробках вместе 60 конфет. В первой на 12 конфет больше. Сколько конфет в каждой?
4. Двузначное число: сумма цифр 9, цифра десятков на 3 больше цифры единиц. Найди число.
5. Катер по течению за 1 час проходит 24 км, против течения — 16 км. Найди собственную скорость катера и скорость течения.
6. Билет для взрослого и для ребёнка вместе стоят 700 рублей. Взрослый дороже детского на 100 рублей. Сколько стоит каждый билет?
7. На ферме куры и кролики, всего 20 голов и 56 ног. Сколько кур и сколько кроликов? (Подсказка: у курицы 2 ноги, у кролика 4.)
8. За 5 кг яблок и 3 кг груш заплатили 510 рублей, а за 2 кг яблок и 4 кг груш — 400 рублей. Найди цену 1 кг яблок и 1 кг груш.
9. ⭐ Двузначное число в 4 раза больше суммы своих цифр. Если к нему прибавить 18, цифры поменяются местами. Найди число. (Подсказка: пусть десятки x, единицы y; число 10x + y.)