Урок 36. Решение систем способом сложения

Алгебра, 7 класс · §16 · ~45 минут

🎯 Что ты узнаешь

• Что такое способ сложения (его ещё зовут способом алгебраического сложения)
• Как «убить» одну переменную, сложив или вычтя уравнения
• Как уравнять коэффициенты, домножив уравнения на числа
• Алгоритм способа сложения по шагам
• Когда удобнее сложение, а когда подстановка

📖 Разбираемся в теме

Способ подстановки хорош, но иногда выражать переменную неудобно — появляются дроби, всё громоздко. Есть другой приём, часто куда более изящный — способ сложения.

Идея такая: что, если сложить два уравнения системы почленно — левую часть с левой, правую с правой? Если повезёт, одна из переменных при сложении исчезнет (взаимно уничтожится). И снова останется одно уравнение с одной переменной!

Когда складывать сразу

Посмотри на эту систему:

{ x + y = 9 { x − y = 3

Заметил? В первом уравнении +y, во втором −y. Если их сложить, игреки уничтожатся: +y + (−y) = 0!

Складываем почленно: (x + y) + (x − y) = 9 + 3 x + y + x − y = 12 2x = 12 x = 6.

Игрек испарился, осталось 2x = 12. Находим x = 6, а потом подставляем в любое уравнение: 6 + y = 9 → y = 3.

📌 Правило: Если у одной и той же переменной в уравнениях противоположные коэффициенты (например, +y и −y), уравнения складывают — и эта переменная исчезает.

Когда вычитать

А если коэффициенты не противоположные, а одинаковые? Например:

{ 3x + 2y = 16 { 3x − y = 7

Здесь у x в обоих уравнениях +3. Складывать бесполезно (получим 6x — x не уйдёт). А вот если вычесть одно из другого, тройки-иксы уничтожатся: (3x + 2y) − (3x − y) = 16 − 7 3x + 2y − 3x + y = 9 3y = 9 y = 3.

📌 Правило: Если у переменной одинаковые коэффициенты, уравнения вычитают одно из другого — и эта переменная исчезает.

⚠️ Частая ошибка: При вычитании забыть поменять знаки у всех слагаемых второго уравнения. Минус перед скобкой меняет знак КАЖДОГО члена: −(3x − y) = −3x + y.

Главный приём: уравнять коэффициенты

Чаще всего коэффициенты не равны и не противоположны — сами по себе ничего не уничтожается. Тогда мы их уравниваем: домножаем уравнения на подходящие числа.

Помни правило: уравнение можно умножить целиком на любое число (не ноль) — обе части. Равенство останется верным.

Возьмём систему:

{ 2x + 3y = 13 { 3x − y = 3

Хотим убрать y. У него коэффициенты 3 и −1. Чтобы они стали противоположными, домножим второе уравнение на 3: 3x − y = 3 | ·3 → 9x − 3y = 9.

Теперь система: { 2x + 3y = 13 { 9x − 3y = 9

Коэффициенты у y теперь +3 и −3 — противоположные! Складываем: 11x = 22 x = 2. Подставим в 3x − y = 3: 6 − y = 3 → y = 3.

💡 Лайфхак: Чтобы быстро уравнять коэффициенты, найди для них общее кратное. Для 2 и 3 это 6: первое умножь на 3, второе на 2. А если один коэффициент делится на другой (как 3 и 6), достаточно домножить только одно уравнение.

Алгоритм способа сложения

📌 Правило (алгоритм):

1. Выбрать переменную, которую будем убирать.
2. Домножить одно или оба уравнения так, чтобы коэффициенты у этой переменной стали одинаковыми или противоположными.
3. Сложить (если противоположные) или вычесть (если одинаковые) уравнения — переменная исчезнет.
4. Решить полученное уравнение с одной переменной.
5. Подставить найденное число в любое исходное уравнение — найти вторую переменную.
6. Записать ответ парой (x; y) и проверить в обоих уравнениях.

⏱ Попробуй сам: В системе { x + 2y = 8; { x − y = 2 у x одинаковые коэффициенты. Что сделать — сложить или вычесть? Попробуй довести до ответа.

🤔 А знаешь ли ты? Способ сложения лежит в основе метода, которым компьютеры решают системы из сотен и тысяч уравнений — например, при расчёте прочности мостов или прогнозе погоды. Этот метод носит имя великого Карла Гаусса, хотя похожие идеи, как мы видели, знали ещё в Древнем Китае.

✍️ Разбор примеров

Пример 1. Реши способом сложения.

{ x + y = 10 { x − y = 4

Решение. У y коэффициенты +1 и −1 (противоположные) — складываем: 2x = 14 → x = 7. Подставим в x + y = 10: 7 + y = 10 → y = 3. Проверка: 7 + 3 = 10 ✓; 7 − 3 = 4 ✓.

Ответ: (7; 3).

Пример 2. Реши способом сложения.

{ 2x + y = 11 { 3x − y = 9

Решение. У y коэффициенты +1 и −1 — складываем: 5x = 20 → x = 4. Подставим в 2x + y = 11: 8 + y = 11 → y = 3. Проверка: 2·4 + 3 = 11 ✓; 3·4 − 3 = 12 − 3 = 9 ✓.

Ответ: (4; 3).

Пример 3. Реши способом сложения (с вычитанием).

{ 5x + 2y = 16 { 3x + 2y = 12

Решение. У y одинаковые коэффициенты (+2 и +2) — вычитаем из первого второе: (5x + 2y) − (3x + 2y) = 16 − 12 2x = 4 → x = 2. Подставим в 3x + 2y = 12: 6 + 2y = 12 → 2y = 6 → y = 3. Проверка: 5·2 + 2·3 = 10 + 6 = 16 ✓; 3·2 + 2·3 = 6 + 6 = 12 ✓.

Ответ: (2; 3).

Пример 4. Реши способом сложения (уравниваем коэффициенты).

{ 2x + 3y = 13 { 3x − y = 3

Решение. Уберём y. Домножим второе уравнение на 3: { 2x + 3y = 13 { 9x − 3y = 9 Складываем: 11x = 22 → x = 2. Подставим в 3x − y = 3: 6 − y = 3 → y = 3. Проверка: 2·2 + 3·3 = 4 + 9 = 13 ✓; 3·2 − 3 = 3 ✓.

Ответ: (2; 3).

Пример 5. Реши способом сложения (домножаем оба уравнения).

{ 3x + 4y = 11 { 2x + 3y = 8

Решение. Уберём x. Общее кратное 3 и 2 — это 6. Первое умножим на 2, второе на 3: { 6x + 8y = 22 { 6x + 9y = 24 У x одинаковые коэффициенты (+6) — вычитаем из второго первое: (6x + 9y) − (6x + 8y) = 24 − 22 y = 2. Подставим в 2x + 3y = 8: 2x + 6 = 8 → 2x = 2 → x = 1. Проверка: 3·1 + 4·2 = 3 + 8 = 11 ✓; 2·1 + 3·2 = 2 + 6 = 8 ✓.

Ответ: (1; 2).

Пример 6. Реши способом сложения.

{ 4x − 3y = 1 { 2x + 3y = 11

Решение. У y коэффициенты −3 и +3 (противоположные) — складываем: 6x = 12 → x = 2. Подставим в 2x + 3y = 11: 4 + 3y = 11 → 3y = 7 → y = 7/3. Хм, дробь. Перепроверим первое: 4·2 − 3y = 1 → 8 − 3y = 1 → 3y = 7 → y = 7/3. То же самое. Проверка: 4·2 − 3·(7/3) = 8 − 7 = 1 ✓; 2·2 + 3·(7/3) = 4 + 7 = 11 ✓.

Ответ: (2; 7/3). (Дробный ответ — тоже нормальный ответ; главное, что он проходит проверку.)

💡 Запомни главное

• Способ сложения: уравнять коэффициенты у одной переменной, потом сложить или вычесть уравнения, чтобы она исчезла.
• Коэффициенты противоположные (+y, −y) → складываем.
• Коэффициенты одинаковые (+2y, +2y) → вычитаем.
• Не равны и не противоположны → домножаем уравнения на числа (через общее кратное).
• При вычитании меняй знак у каждого члена второго уравнения.
• Нашёл одну переменную — подставь и найди вторую. Проверяй в обоих уравнениях.

📝 Домашнее задание

1. Реши способом сложения: { x + y = 8; { x − y = 2.
2. Реши: { 3x + y = 14; { 2x − y = 1.
3. Реши (вычитанием): { 4x + 3y = 10; { 4x − y = 2.
4. Реши: { 2x + 5y = 16; { 2x + 3y = 12.
5. Реши (уравняй коэффициенты): { x + 2y = 8; { 3x − y = 3.
6. Реши: { 3x − 2y = 5; { 2x + 5y = 16.
7. Реши: { 5x + 2y = 1; { 3x − 4y = 11.
8. Реши: { 4x + 3y = 10; { 6x − 5y = −4.
9. ⭐ Реши систему: { 7x + 3y = 27; { 5x − 2y = 11. (Подсказка: чтобы убрать y, домножь первое на 2, второе на 3.)