Урок 35. Решение систем способом подстановки

Алгебра, 7 класс · §16 · ~45 минут

🎯 Что ты узнаешь

• Почему графического способа недостаточно и зачем нужен точный метод
• Что такое способ подстановки и почему он почти всегда работает
• Алгоритм подстановки по шагам — как по рецепту
• Как не запутаться и обязательно проверить ответ
• Что значат «нет решений» и «бесконечно много» на языке подстановки

📖 Разбираемся в теме

На прошлом уроке мы решали системы графически. Способ красивый, но представь: ответ получился (1,7; 2,4). На клетчатой бумаге ты такое не разглядишь — глаз не алмаз. Нужен точный способ, который даёт ответ числами, а не на глазок.

Знакомься — способ подстановки. Идея гениально простая: давай из одного уравнения выразим одну переменную через другую, а потом подставим это выражение во второе уравнение. И — фокус! — во втором уравнении останется только одна переменная. А одно уравнение с одной переменной решать ты уже умеешь!

📌 Правило: Способ подстановки — это сведение системы из двух уравнений с двумя переменными к одному уравнению с одной переменной.

Разберём на примере

Решим систему:

{ y = 2x − 1 { 3x + y = 9

Смотри, как удобно: в первом уравнении y уже выражен через x. Это y = 2x − 1. Так давай вместо y во втором уравнении напишем (2x − 1):

3x + (2x − 1) = 9

Видишь? Игреков больше нет, только иксы! Решаем: 3x + 2x − 1 = 9 5x − 1 = 9 5x = 10 x = 2.

Нашли x = 2. Теперь возвращаемся к выражению y = 2x − 1 и подставляем x = 2: y = 2·2 − 1 = 3.

Готово: x = 2, y = 3, то есть пара (2; 3).

💡 Лайфхак: Нашёл x — сразу подставляй его в самое простое уравнение (обычно в то, где переменная уже выражена). Так быстрее и меньше шансов ошибиться.

Алгоритм способа подстановки

📌 Правило (алгоритм):

1. Выразить из любого уравнения одну переменную через другую (выбирай ту, что выражается легче — например, с коэффициентом 1).
2. Подставить это выражение в другое уравнение. Получится уравнение с одной переменной.
3. Решить его — найти первую переменную.
4. Подставить найденное число в выражение из шага 1 — найти вторую переменную.
5. Записать ответ парой (x; y) и проверить подстановкой в оба уравнения.

💡 Лайфхак: На шаге 1 ищи переменную, перед которой стоит коэффициент 1 или −1 — её выражать проще всего, не появятся дроби. Например, в уравнении x + 3y = 7 удобно выразить x = 7 − 3y.

⚠️ Частая ошибка: Подставлять выражение обратно в то же самое уравнение, из которого его взяли. Так ты получишь бессмыслицу вроде 9 = 9. Подставлять надо во второе уравнение!

⏱ Попробуй сам: В системе { x = y + 2; { 2x + y = 10 какая переменная уже выражена? Подставь её во второе уравнение и попробуй найти y.

А если не выражено заранее?

Часто система выглядит «обычно», и ничего не выражено:

{ x + y = 5 { 2x − y = 4

Не беда — выразим сами. Из первого уравнения легко достать y: y = 5 − x. И дальше по алгоритму.

🤔 А знаешь ли ты? Само слово «алгоритм» произошло от имени средневекового учёного аль-Хорезми, жившего в IX веке в Багдаде. Он написал книгу о правилах вычислений, и латинизированное звучание его имени — Algorithmi — стало означать «чёткий пошаговый рецепт». А ещё от названия его книги «аль-джабр» пошло слово «алгебра»!

Особые случаи

Что если при подстановке переменные сократятся обе?

• Получилось что-то всегда верное, вроде 0 = 0 → прямые совпадают → бесконечно много решений.
• Получилось что-то неверное, вроде 0 = 5 → прямые параллельны → решений нет.

✍️ Разбор примеров

Пример 1. Реши систему способом подстановки.

{ y = 3x − 4 { x + y = 8

Решение. y уже выражен: y = 3x − 4. Подставляем во второе уравнение: x + (3x − 4) = 8 4x − 4 = 8 4x = 12 x = 3. Теперь y = 3·3 − 4 = 5. Проверка: y = 3x − 4 → 5 = 9 − 4 = 5 ✓; x + y = 8 → 3 + 5 = 8 ✓.

Ответ: (3; 5).

Пример 2. Реши систему.

{ x + y = 7 { 2x − y = 5

Решение. Выразим y из первого: y = 7 − x. Подставим во второе: 2x − (7 − x) = 5 2x − 7 + x = 5 3x − 7 = 5 3x = 12 x = 4. Тогда y = 7 − 4 = 3. Проверка: 4 + 3 = 7 ✓; 2·4 − 3 = 8 − 3 = 5 ✓.

Ответ: (4; 3).

Пример 3. Реши систему.

{ 3x + y = 1 { 5x + 2y = 4

Решение. Удобнее выразить y из первого (там коэффициент 1): y = 1 − 3x. Подставим во второе: 5x + 2(1 − 3x) = 4 5x + 2 − 6x = 4 −x + 2 = 4 −x = 2 x = −2. Тогда y = 1 − 3·(−2) = 1 + 6 = 7. Проверка: 3·(−2) + 7 = −6 + 7 = 1 ✓; 5·(−2) + 2·7 = −10 + 14 = 4 ✓.

Ответ: (−2; 7).

Пример 4. Реши систему.

{ x − 2y = 1 { 3x + 4y = 13

Решение. Выразим x из первого: x = 1 + 2y. Подставим во второе: 3(1 + 2y) + 4y = 13 3 + 6y + 4y = 13 3 + 10y = 13 10y = 10 y = 1. Тогда x = 1 + 2·1 = 3. Проверка: 3 − 2·1 = 3 − 2 = 1 ✓; 3·3 + 4·1 = 9 + 4 = 13 ✓.

Ответ: (3; 1).

Пример 5. Реши систему (особый случай).

{ y = 2x + 3 { 4x − 2y = 1

Решение. y = 2x + 3, подставляем во второе: 4x − 2(2x + 3) = 1 4x − 4x − 6 = 1 −6 = 1. Получили неверное равенство! Иксы сократились, осталась неправда.

Ответ: решений нет (прямые параллельны).

Пример 6. Реши систему.

{ 2x + 3y = 12 { x = 6 − 3y

Решение. x уже выражен: x = 6 − 3y. Подставим в первое: 2(6 − 3y) + 3y = 12 12 − 6y + 3y = 12 12 − 3y = 12 −3y = 0 y = 0. Тогда x = 6 − 3·0 = 6. Проверка: 2·6 + 3·0 = 12 ✓; 6 = 6 − 0 ✓.

Ответ: (6; 0).

💡 Запомни главное

• Способ подстановки: выразить одну переменную → подставить в другое уравнение → получить уравнение с одной переменной.
• Выражай ту переменную, у которой коэффициент 1 или −1 — будет проще.
• Подставляй выражение только во второе уравнение (не в то, откуда взял).
• Нашёл одну переменную — подставь её обратно и найди вторую.
• Всегда проверяй ответ в обоих уравнениях.
• 0 = 0 → решений бесконечно; неверное равенство (0 = 5) → решений нет.

📝 Домашнее задание

1. Реши способом подстановки: { y = x + 2; { 3x + y = 10.
2. Реши: { x = 2y − 1; { x + 3y = 9.
3. Реши: { x + y = 6; { 2x − y = 3.
4. Реши: { 2x + y = 7; { 3x − y = 8.
5. Реши: { x − 3y = 2; { 2x + y = 11.
6. Реши: { 4x + y = 9; { 2x + 3y = 7.
7. Реши и определи, сколько решений: { y = 3x − 1; { 6x − 2y = 2.
8. Реши: { 5x − 2y = 4; { x + 2y = 8.
9. ⭐ Реши систему: { (x + y)/2 = 4; { x − y = 2. (Подсказка: сначала умножь первое уравнение на 2.)