Урок 2. Луч и угол

Геометрия, 7 класс · Гл. I, §2 учебника Атанасяна · ~45 минут

🎯 Что ты узнаешь

Что такое луч и почему у него есть начало, но нет конца.
Как из двух лучей рождается угол, где у него вершина и стороны.
Что такое внутренняя и внешняя области угла.
Как правильно обозначать углы — тремя буквами, одной или цифрой.

📖 Разбираемся в теме

Посмотри ночью на звёзды. Свет каждой звезды летит от неё во все стороны и не заканчивается — он просто уходит вдаль. Вот тебе живая картинка луча: есть начало (звезда), а конца нет.

В прошлом уроке у нас была бесконечная прямая. Если поставить на ней точку и «отрезать» всё с одной стороны — останется половинка прямой. Это и есть луч.

📐 Определение: Луч (или полупрямая) — это часть прямой, которая состоит из точки и всех точек, лежащих по одну сторону от неё. Эта точка называется началом луча.

Рис. 1. Луч OA с началом в точке O

Луч обозначают двумя буквами: первой ставят начало, второй — любую точку на луче. На рисунке 1 это луч OA. Иногда луч обозначают и одной маленькой буквой.

⚠️ Частая ошибка: Путать порядок букв. Луч OA и луч AO — это разные лучи! У первого начало в O, у второго — в A, и «смотрят» они в противоположные стороны.

💡 Лайфхак: Чтобы не забыть, где у луча начало, представь, что буквы — это стрелка из пращи: натягиваешь от первой буквы и стреляешь сквозь вторую и дальше в бесконечность.

Как рождается угол

А теперь возьмём не один луч, а два — и выпустим их из одной точки.

📐 Определение: Угол — это геометрическая фигура, состоящая из точки и двух лучей, исходящих из этой точки. Точка называется вершиной угла, а лучи — сторонами угла.

Рис. 2. Угол с вершиной O и сторонами — лучами OA и OB

Стороны угла на рисунке 2 — это лучи OA и OB, а вершина — точка O.

🤔 А знаешь ли ты? Если оба луча угла лежат на одной прямой и направлены в разные стороны, такой угол называют развёрнутым. Он «раскрыт» до предела — стороны образуют одну прямую.

Внутренняя область угла

Угол делит всю плоскость вокруг себя на две части. Та часть, что «зажата» между сторонами, — это внутренняя область, остальное — внешняя.

Рис. 3. Точка M лежит во внутренней области угла

⏱ Начерти угол сам и поставь одну точку внутри, а другую — снаружи. Подпиши их. Потом читай дальше.

Как обозначают углы

Тут целых три способа — выбирай удобный:

📌 Правило (обозначение углов):

Тремя буквами: ∠AOB, где средняя буква всегда вершина.

Одной буквой — по вершине: ∠O (если из этой вершины выходит только один угол).

Цифрой или маленькой буквой, написанной внутри угла: ∠1, ∠2.

⚠️ Частая ошибка: Писать вершину не в середине. Запись ∠OAB означает угол с вершиной в A, а не в O! Средняя буква — командир, она задаёт вершину.

💡 Лайфхак: Значок угла ∠ похож на сам угол — острый «клювик». Его легко рисовать перед буквами.

✍️ Разбор задач

Задача 1. На рисунке луч исходит из точки O и проходит через точку C. Как называется этот луч? Можно ли назвать его лучом CO?

Решение. Начало луча — точка O, поэтому первой пишем O: луч OC. Луч CO имел бы начало в C и шёл бы в противоположную сторону — это другой луч.

Ответ: луч OC; лучом CO назвать нельзя.

Задача 2. Назови вершину и стороны угла, изображённого как ∠KLM.

Решение. В записи из трёх букв вершина — средняя буква. Значит, вершина — L. Стороны — лучи LK и LM (выходят из вершины L).

Ответ: вершина L; стороны — лучи LK и LM.

Задача 3. Из точки O провели три разных луча: OA, OB, OC. Сколько углов образовалось? Назови их.

Решение. Угол задаётся парой лучей. Пары лучей: (OA, OB), (OB, OC), (OA, OC).

Рис. 4. Три луча из точки O образуют три угла

Ответ: 3 угла: ∠AOB, ∠BOC, ∠AOC.

Задача 4. Точка M лежит внутри угла AOB. Луч OM делит угол на сколько частей и какие?

Решение. Луч OM, проведённый из вершины внутрь угла, разбивает ∠AOB на два угла: ∠AOM и ∠MOB.

Ответ: на два угла — ∠AOM и ∠MOB.

💡 Запомни главное

Луч — часть прямой с началом, но без конца. В записи OA первая буква — начало.
Угол = вершина + два луча-стороны.
В записи ∠AOB средняя буква — вершина.
Угол делит плоскость на внутреннюю и внешнюю области.

📝 Домашнее задание

Начерти луч MN. Отметь на нём ещё одну точку P. Можно ли этот же луч назвать лучом MP?
Начерти угол с вершиной B и сторонами — лучами BA и BC. Запиши его тремя способами (если возможно).
Назови вершину и стороны угла ∠PQR.
Из точки S выходят два луча. Сколько углов они образуют? А если лучей будет четыре?
Начерти угол AOB, отметь точку внутри него и точку вне его. Подпиши, какая где.
Проведи из вершины угла AOB луч OC внутри угла. На какие два угла он разбил исходный?
Объясни, почему луч AB и луч BA — это разные лучи. Сделай чертёж.
⭐ Из одной точки провели 4 разных луча. Сколько всего углов образовалось? (Подсказка: считай пары лучей.)