Урок 3. Сравнение отрезков и углов

Геометрия, 7 класс · Гл. I, §3 учебника Атанасяна · ~45 минут

🎯 Что ты узнаешь

Как сравнить две фигуры с помощью наложения и какие фигуры называют равными.
Как сравнивать отрезки и углы между собой.
Что такое середина отрезка и как её найти.
Что такое биссектриса угла и почему это «делитель пополам».

📖 Разбираемся в теме

Представь: у тебя два карандаша, и надо понять, какой длиннее. Линейки под рукой нет. Что делать? Приложить их друг к другу, совместив тупые концы! Тот, чей грифель торчит дальше, — длиннее. Это и есть главный приём геометрии — наложение.

📐 Определение: Две фигуры называются равными, если их можно совместить наложением (одну положить на другую так, что они полностью совпадут).

Рис. 1. Равные отрезки AB и CD (штрихи означают равенство)

💡 Лайфхак: Равные отрезки на чертеже помечают одинаковыми штрихами (чёрточками поперёк), а равные углы — одинаковыми дугами. Это секретный язык геометров: посмотрел на штрихи — сразу видно, что равно.

Сравнение отрезков

Чтобы сравнить два отрезка, накладываем их так, чтобы один конец совпал, и смотрим на второй.

📌 Правило: Если при наложении (с совмещением одного конца и направления) концы отрезков совпали — отрезки равны (AB = CD). Если один конец второго отрезка оказался внутри первого — этот отрезок меньше.

Сравнение углов

С углами то же самое, только совмещаем не концы, а вершины и одну сторону.

📌 Правило: Накладываем один угол на другой так, чтобы вершина совпала с вершиной, а одна сторона — со стороной (и углы легли по одну сторону). Если вторые стороны совпали — углы равны. Если одна сторона оказалась внутри другого угла — этот угол меньше.

Рис. 2. Равные углы помечены одинаковыми дугами

🤔 А знаешь ли ты? Размер угла НЕ зависит от длины его сторон! Можно нарисовать угол с коротенькими сторонами и угол с длинными — а равны они или нет, решает только «раствор», ширина между сторонами.

Середина отрезка

Теперь — деление пополам. Самое честное место отрезка — его середина.

📐 Определение: Серединой отрезка называется точка, которая делит его на два равных отрезка.

Рис. 3. M — середина отрезка AB, AM = MB

Если M — середина AB, то AM = MB. Штрихи на рисунке 3 подтверждают: половинки равны.

⏱ Начерти отрезок AB и на глаз поставь его середину M. Потом проверь линейкой, угадал ли ты. Затем читай дальше.

Биссектриса угла

А что для угла играет роль «середины»? Луч, который делит угол на два равных. У него красивое имя — биссектриса.

📐 Определение: Биссектриса угла — это луч, исходящий из вершины угла и делящий его на два равных угла.

Рис. 4. Луч OC — биссектриса угла AOB, ∠AOC = ∠COB

Если OC — биссектриса ∠AOB, то ∠AOC = ∠COB.

💡 Лайфхак: Слово «биссектриса» от латинского bis — «дважды» и seco — «рассекаю». То есть «рассекающая надвое». Запомни через «рассекает угол пополам».

⚠️ Частая ошибка: Считать любой луч внутри угла биссектрисой. Нет! Биссектриса — только тот, что делит угол на равные части. Чуть в сторону — уже не биссектриса.

✍️ Разбор задач

Задача 1. Точка C — середина отрезка AB. Известно, что AC = 6 см. Чему равен AB?

Дано: C — середина AB, AC = 6 см. Найти: AB.

Решение. Раз C — середина, то AC = CB = 6 см. Весь отрезок AB = AC + CB = 6 + 6 = 12 см.

Ответ: AB = 12 см.

Задача 2. Луч OM — биссектриса угла AOB. ∠AOM = 35°. Чему равен ∠AOB?

Дано: OM — биссектриса ∠AOB, ∠AOM = 35°. Найти: ∠AOB.

Решение. Биссектриса делит угол на два равных: ∠AOM = ∠MOB = 35°. Весь угол ∠AOB = ∠AOM + ∠MOB = 35° + 35° = 70°.

Ответ: ∠AOB = 70°.

Задача 3. Отрезок AB = 14 см, точка M — его середина, точка N — середина отрезка AM. Найди AN.

Дано: AB = 14 см, M — середина AB, N — середина AM. Найти: AN.

Решение. M — середина AB: AM = 14 ÷ 2 = 7 см. N — середина AM: AN = 7 ÷ 2 = 3,5 см.

Ответ: AN = 3,5 см.

Задача 4. Угол AOB равен 80°. Луч OC — его биссектриса, луч OD — биссектриса угла AOC. Найди ∠AOD.

Дано: ∠AOB = 80°, OC — биссектриса ∠AOB, OD — биссектриса ∠AOC. Найти: ∠AOD.

Решение. OC — биссектриса: ∠AOC = 80° ÷ 2 = 40°. OD — биссектриса ∠AOC: ∠AOD = 40° ÷ 2 = 20°.

Ответ: ∠AOD = 20°.

Задача 5. Точка K лежит на отрезке PQ, причём PK = 5 см, KQ = 5 см. Является ли K серединой отрезка PQ?

Решение. Точка делит отрезок на PK и KQ. Так как PK = KQ = 5 см, точка K делит отрезок на два равных — значит, она середина.

Ответ: да, K — середина PQ.

💡 Запомни главное

Фигуры равны, если совмещаются наложением.
Равные отрезки — одинаковые штрихи; равные углы — одинаковые дуги.
Середина отрезка делит его на два равных отрезка.
Биссектриса угла делит его на два равных угла.
Размер угла не зависит от длины сторон.

📝 Домашнее задание

Начерти два отрезка и сравни их наложением. Какой больше? Помечать равные не нужно — здесь они разные.
Точка M — середина отрезка CD, CM = 9 см. Найди CD.
OK — биссектриса угла MON, ∠KON = 28°. Найди ∠MON.
Начерти угол и проведи его биссектрису «на глаз», затем подпиши равные углы одинаковыми дугами.
Отрезок EF = 20 см, P — его середина. Найди EP и PF.
Угол равен 120°. Чему равен каждый из углов, на которые его делит биссектриса?
Точка T делит отрезок AB так, что AT = 4 см, TB = 6 см. Является ли T серединой? Объясни.
Отрезок AB = 24 см. M — середина AB, K — середина MB. Найди AK.
⭐ Угол AOB = 90°. OC — его биссектриса. Внутри угла BOC провели биссектрису OD. Найди ∠AOD.