Урок 4. Измерение отрезков

Геометрия, 7 класс · Гл. I, §4 учебника Атанасяна · ~45 минут

🎯 Что ты узнаешь

Что такое длина отрезка и в каких единицах её измеряют.
Главное свойство длины: длина целого равна сумме длин частей.
Что такое расстояние между двумя точками.
Как решать задачи на вычисление длин отрезков.

📖 Разбираемся в теме

Ты уже умеешь сравнивать отрезки наложением (Урок 3). Но что, если нужно не просто узнать «какой длиннее», а сказать точно: «этот — 7 сантиметров, а тот — 12»? Тогда отрезок надо измерить.

Измерить — значит сравнить с эталоном, с единицей измерения. Берём, например, 1 сантиметр и считаем, сколько раз он уложился в отрезке.

📐 Определение: Длина отрезка показывает, сколько раз единичный отрезок (и его части) укладывается в данном отрезке. Это всегда положительное число.

Рис. 1. Единичный отрезок уложился в AB четыре раза

🤔 А знаешь ли ты? Привычные единицы — миллиметр, сантиметр, метр, километр. 1 см = 10 мм, 1 м = 100 см, 1 км = 1000 м. А в старину мерили локтями, шагами и саженями — поэтому «семь футов под килем» у разных народов означали разную длину!

Главное свойство длины

Вот ключевая мысль урока. Поставь на отрезке AB точку C между концами. Отрезок распался на два кусочка: AC и CB. Что можно сказать про их длины?

⏱ Начерти отрезок 10 см, поставь точку C где-нибудь внутри, измерь AC и CB линейкой и сложи их. Что получилось? Потом читай дальше.

Получилось ровно 10 см — длина всего AB! Это работает всегда.

📌 Правило (основное свойство длины): Если точка C лежит на отрезке AB между точками A и B, то длина всего отрезка равна сумме длин его частей: AB = AC + CB.

Рис. 2. AB = AC + CB

Из этого правила есть и обратный «фокус»: чтобы найти кусочек, вычитают. Например, AC = AB − CB.

⚠️ Частая ошибка: Применять формулу AB = AC + CB, когда точка C лежит не между A и B (а, скажем, за точкой B). Свойство работает, только если C — между концами! Всегда сначала проверь по чертежу, где точка.

💡 Лайфхак: Думай об этом как о деньгах: если целая сумма AB «разрезана» точкой C на две части, то части в сумме дают столько же, сколько было. Деньги из ниоткуда не берутся и никуда не пропадают.

Равные отрезки и длины

Длина связывает геометрию с числами очень удобным образом:

📌 Правило: Равные отрезки имеют равные длины. И наоборот: если длины двух отрезков равны — отрезки равны. Из двух отрезков больше тот, у которого длина больше.

Расстояние между точками

И последнее важное понятие урока — простое, но нужное.

📐 Определение: Расстояние между двумя точками — это длина отрезка, соединяющего эти точки.

То есть, чтобы найти расстояние между A и B, нужно соединить их отрезком и измерить его длину. Расстояние от точки до неё самой равно нулю.

✍️ Разбор задач

Задача 1. Точка C лежит между точками A и B. AC = 3,5 см, CB = 4,8 см. Найди длину отрезка AB.

Дано: C между A и B; AC = 3,5 см; CB = 4,8 см. Найти: AB.

Решение. По свойству длины: AB = AC + CB = 3,5 + 4,8 = 8,3 см.

Ответ: AB = 8,3 см.

Задача 2. Точка M лежит на отрезке KN между его концами. KN = 15 см, KM = 6 см. Найди MN.

Дано: M между K и N; KN = 15 см; KM = 6 см. Найти: MN.

Решение. Из свойства KN = KM + MN выражаем часть: MN = KN − KM = 15 − 6 = 9 см.

Рис. 3. К задаче 2: MN = KN − KM

Ответ: MN = 9 см.

Задача 3. На отрезке AB отмечены подряд точки C и D (порядок: A, C, D, B). AC = 2 см, CD = 5 см, DB = 3 см. Найди AB и AD.

Дано: порядок точек A, C, D, B; AC = 2 см, CD = 5 см, DB = 3 см. Найти: AB, AD.

Решение. Весь отрезок складывается из трёх кусочков: AB = AC + CD + DB = 2 + 5 + 3 = 10 см. Отрезок AD — это первые два кусочка: AD = AC + CD = 2 + 5 = 7 см.

Ответ: AB = 10 см, AD = 7 см.

Задача 4. Точка O — середина отрезка AB. AB = 18 см. Точка C лежит между O и B, OC = 4 см. Найди AC.

Дано: O — середина AB; AB = 18 см; C между O и B; OC = 4 см. Найти: AC.

Решение. O — середина, поэтому AO = 18 ÷ 2 = 9 см. Точка C лежит за O (между O и B), значит AC = AO + OC = 9 + 4 = 13 см.

Ответ: AC = 13 см.

Задача 5. На прямой отмечены точки A, B, C так, что AB = 7 см, BC = 3 см. Какой может быть длина AC? Рассмотри случаи.

Решение. Точка C может лежать по разные стороны от B. Случай 1: B между A и C (порядок A, B, C). Тогда AC = AB + BC = 7 + 3 = 10 см. Случай 2: C между A и B (порядок A, C, B). Тогда AC = AB − BC = 7 − 3 = 4 см.

Ответ: AC = 10 см или AC = 4 см.

💡 Запомни главное

Длина отрезка — положительное число, показывающее, сколько раз в нём уложилась единица.
Основное свойство: если точка C между A и B, то AB = AC + CB.
Чтобы найти часть, из целого вычитают другую часть.
Равные отрезки имеют равные длины.
Расстояние между точками — длина соединяющего их отрезка.

📝 Домашнее задание

Переведи: 5 см = ? мм; 3 м = ? см; 2 км = ? м.
Точка C лежит между A и B. AC = 4 см, CB = 6,5 см. Найди AB.
Точка P лежит на отрезке MN. MN = 12 см, PN = 5 см. Найди MP.
На отрезке AB (порядок A, K, L, B) AK = 3 см, KL = 4 см, LB = 2 см. Найди AB и KB.
O — середина отрезка CD, CD = 16 см. Найди CO и OD.
Точка M — середина AB. AM = 7 см. Чему равно расстояние между A и B?
На прямой даны точки X, Y, Z: XY = 9 см, YZ = 4 см. Найди все возможные значения XZ.
Отрезок AB = 20 см, точка C — его середина, точка D — середина CB. Найди AD.
⭐ Точка C лежит между A и B. Известно, что AC на 4 см меньше CB, а весь отрезок AB = 16 см. Найди AC и CB.