Урок 5. Измерение углов

Геометрия, 7 класс · Гл. I, §4 · ~45 минут

🎯 Что ты узнаешь

• Что такое градусная мера угла и откуда взялись эти странные 360°.
• Как пользоваться транспортиром так, чтобы не промахнуться.
• Чем отличаются острый, прямой, тупой и развёрнутый углы.
• Главное свойство: мера угла равна сумме мер его частей — и как это спасает в задачах.

📖 Разбираемся в теме

Представь, что ты открываешь дверь. Чуть-чуть приоткрыл — маленький угол. Распахнул настежь — большой. А если бы дверь могла отъехать так, что встала бы ровно вдоль стены? Получилась бы прямая линия. Вот так дверь и «измеряет» углы: степень открытости — это и есть величина угла.

Но «чуть-чуть» и «настежь» — это не математика. Нам нужно число. И тут на сцену выходят градусы.

📐 Определение: Градус — это $\frac{1}{180}$ часть развёрнутого угла. Обозначается значком °.

То есть берём развёрнутый угол (когда стороны «смотрят» в разные стороны и образуют прямую), делим его на 180 одинаковых кусочков — каждый кусочек и есть 1°.

⏱ Начерти сам: проведи прямую, поставь точку посередине — поздравляю, у тебя готов развёрнутый угол на 180°!

Главное свойство градусной меры

Угол можно «разрезать» лучом на части. И тогда работает очень логичное правило.

📌 Свойство: Градусная мера угла равна сумме градусных мер углов, на которые он разбивается любым лучом, проходящим внутри него.

Звучит сложно, а на деле — как пирог. Разрезал пирог на два куска: масса целого пирога = масса первого куска + масса второго. С углами то же самое.

Если ∠AOB = 40° и ∠BOC = 30°, то весь угол ∠AOC = 40° + 30° = 70°. Просто складываем.

Транспортир — твой измерительный прибор

Чтобы измерить угол в градусах, придумали транспортир — полукруг (или круг) с делениями от 0 до 180.

💡 Лайфхак: Чтобы измерить угол транспортиром, делай три шага:

1. Центр транспортира (маленькая дырочка или метка) ставь точно в вершину угла.
2. Одну сторону угла совмести с нулём на шкале.
3. Смотри, на какое число попадает вторая сторона — это и есть величина угла.

⚠️ Частая ошибка: на транспортире обычно ДВЕ шкалы (одна идёт слева направо, другая справа налево). Если совместил сторону с нулём слева — читай по той шкале, где стоит ноль. Иначе вместо 60° получишь 120°. Проверка здравым смыслом: острый угол меньше 90°, тупой — больше.

Зоопарк углов

В зависимости от величины углы получили имена.

📐 Определения:

• Острый угол — меньше 90° (как кончик карандаша).
• Прямой угол — ровно 90° (угол тетради, стены и пола).
• Тупой угол — больше 90°, но меньше 180°.
• Развёрнутый угол — ровно 180° (стороны лежат на одной прямой).

🤔 А знаешь ли ты? Почему в круге именно 360°, а не, скажем, 100? Это наследство древних вавилонян, которые считали в шестидесятеричной системе (по 60). Число 360 удобно делится: и на 2, и на 3, и на 4, и на 5, и на 6, и на 8, и на 9, и на 10, и на 12... Поэтому большинство «красивых» углов получаются целыми. Ловко придумано пять тысяч лет назад!

💡 Лайфхак: Прямой угол всегда обозначают на чертеже маленьким квадратиком в вершине, а не дугой. Увидел квадратик — знай: там ровно 90°.

✍️ Разбор задач

Задача 1. Дано: луч OC проходит внутри угла AOB, ∠AOC = 35°, ∠COB = 48°. Найти: ∠AOB.

Решение.

1. Луч OC делит угол AOB на два угла: AOC и COB.
2. По свойству градусной меры весь угол равен сумме частей: $$∠AOB = ∠AOC + ∠COB = 35° + 48° = 83°.$$

Ответ: 83°.

Задача 2. Дано: ∠MON = 120°, луч OK проходит внутри угла, ∠MOK = 75°. Найти: ∠KON.

Решение.

1. Весь угол MON разбит лучом OK на углы MOK и KON.
2. Значит, ∠MON = ∠MOK + ∠KON. Отсюда находим вторую часть: $$∠KON = ∠MON − ∠MOK = 120° − 75° = 45°.$$

Ответ: 45°.

Задача 3. Дано: ∠AOB = 90° (прямой), луч OD проходит внутри него и делит угол на две равные части. Найти: ∠AOD.

Решение.

1. Луч делит угол на две равные части, значит ∠AOD = ∠DOB.
2. Их сумма равна целому углу: ∠AOD + ∠DOB = 90°, то есть $2 \cdot ∠AOD = 90°$.
3. Отсюда $∠AOD = 90° : 2 = 45°.$

Ответ: 45°.

Задача 4. Дано: угол AOB развёрнутый (180°), внутри него проведены лучи OC и OD так, что ∠AOC = 50°, ∠DOB = 70°. Найти: ∠COD.

Решение.

1. Весь развёрнутый угол: ∠AOB = 180°.
2. Он разбит на три части: ∠AOC, ∠COD и ∠DOB. Значит: $$∠AOC + ∠COD + ∠DOB = 180°.$$
3. Подставляем известное: $50° + ∠COD + 70° = 180°.$
4. Отсюда $∠COD = 180° − 50° − 70° = 60°.$

Ответ: 60°.

Задача 5. Дано: луч OC проходит внутри угла AOB, ∠AOC в 2 раза больше ∠COB, а ∠AOB = 90°. Найти: ∠AOC и ∠COB.

Решение.

1. Обозначим ∠COB = $x$. Тогда ∠AOC = $2x$.
2. Сумма частей равна целому углу: $x + 2x = 90°$, то есть $3x = 90°$.
3. Отсюда $x = 30°$. Значит ∠COB = 30°, а ∠AOC = $2 \cdot 30° = 60°$.
4. Проверка: $60° + 30° = 90°$ — верно.

Ответ: ∠AOC = 60°, ∠COB = 30°.

Задача 6. Дано: ∠AOB = 144°, луч OK — биссектриса этого угла (делит его пополам). Найти: ∠AOK.

Решение.

1. Биссектриса делит угол на две равные части: ∠AOK = ∠KOB.
2. Значит, каждая часть равна половине угла: $$∠AOK = ∠AOB : 2 = 144° : 2 = 72°.$$

Ответ: 72°.

💡 Запомни главное

• Градус — это $\frac{1}{180}$ развёрнутого угла. Развёрнутый = 180°, прямой = 90°.
• Острый < 90°, прямой = 90°, тупой между 90° и 180°.
• Главное свойство: если луч проходит внутри угла, то весь угол = сумме частей. На этом строятся почти все задачи.
• Прямой угол на чертеже — квадратик, а не дуга.
• Транспортир: вершина — в центр, одна сторона — на ноль, не перепутай шкалу.

📝 Домашнее задание

1. Начерти острый, прямой и тупой углы и измерь каждый транспортиром. Запиши величины.
2. Луч OC проходит внутри угла AOB. ∠AOC = 28°, ∠COB = 54°. Найди ∠AOB.
3. ∠MON = 100°, внутри проведён луч OP, ∠PON = 37°. Найди ∠MOP.
4. Угол равен 78°. Чему равна каждая часть, если его разделить пополам биссектрисой?
5. Развёрнутый угол AOB разбит лучом OC. ∠AOC = 115°. Найди ∠COB.
6. Луч OD делит угол AOB на части так, что ∠AOD : ∠DOB = 3 : 2, а ∠AOB = 100°. Найди ∠AOD и ∠DOB.
7. К какому виду относится угол величиной 90°? А 89°? А 91°? А 180°?
8. ⭐ Внутри прямого угла AOB проведены два луча OC и OD так, что ∠AOC = 25°, ∠BOD = 30°. Найди ∠COD.