Урок 6. Смежные и вертикальные углы

Геометрия, 7 класс · Гл. I, §5 · ~45 минут

🎯 Что ты узнаешь

Что такое смежные углы и почему их сумма всегда 180°.
Что такое вертикальные углы и почему они равны (с настоящим доказательством!).
Как по одному известному углу мгновенно находить ещё три.
Где этот фокус прячется в задачах на пересекающиеся прямые.

📖 Разбираемся в теме

Возьми ножницы и чуть раскрой их. В точке, где скреплены лезвия, появилось четыре угла. Два из них «смотрят» друг на друга, два — прижаты с боков. Геометрия знает про каждый из них кое-что интересное. Поехали.

Смежные углы

Представь развёрнутый угол (помнишь, прямую с точкой?), и из этой точки вверх торчит луч. Он разбил прямую на два угла. Вот эти два соседа и называются смежными.

📐 Определение: Два угла называются смежными, если у них одна сторона общая, а две другие стороны являются продолжениями одна другой (то есть образуют прямую).

Рис. 1. Углы 1 (∠COB) и 2 (∠AOC) — смежные: вместе они дают развёрнутый угол AOB

Заметил? Два смежных угла вместе как раз заполняют развёрнутый угол. А развёрнутый — это 180°. Отсюда теорема.

📌 Теорема: Сумма смежных углов равна 180°.

Почему? Потому что луч OC делит развёрнутый угол AOB на части, а по свойству меры угла части в сумме дают целое: ∠AOC + ∠COB = ∠AOB = 180°.

💡 Лайфхак: Знаешь один смежный угол — второй находишь вычитанием из 180°. Если ∠1 = 110°, то ∠2 = 180° − 110° = 70°. Всё.

⏱ Начерти сам: проведи прямую, поставь точку и пусти из неё луч под любым углом. Измерь оба получившихся угла транспортиром. Сложи — должно выйти 180° (±погрешность измерения).

⚠️ Частая ошибка: не всякие два соседних угла — смежные! Нужно, чтобы внешние стороны лежали на одной прямой. Если они образуют не прямую, а просто разные направления — это не смежные углы, и про 180° речи нет.

Вертикальные углы

А теперь скрести две прямые в одной точке. Получится четыре угла. Пары углов, лежащих «крест-накрест» (друг напротив друга), называются вертикальными.

📐 Определение: Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются продолжениями сторон другого.

Рис. 2. Прямые пересеклись в точке O. ∠1 и ∠3 — вертикальные; ∠2 и ∠4 — тоже вертикальные

📌 Теорема: Вертикальные углы равны.

Звучит почти волшебно, но докажем это честно — простым языком.

Доказательство (почему ∠1 = ∠3).

Посмотри на ∠1 и ∠2 — они смежные (внешние стороны лежат на одной прямой). Значит, ∠1 + ∠2 = 180°.
Теперь на ∠2 и ∠3 — они тоже смежные. Значит, ∠2 + ∠3 = 180°.
В обоих равенствах справа стоит 180°, значит левые части равны между собой: $$∠1 + ∠2 = ∠2 + ∠3.$$
Уберём из обеих частей одинаковое слагаемое ∠2. Останется: $$∠1 = ∠3.$$

Что и требовалось доказать! Точно так же доказывается, что ∠2 = ∠4. Хитрость в том, что у обоих углов есть общий «сосед» ∠2, и через него они «дотягиваются» друг до друга.

💡 Лайфхак: При пересечении двух прямых хватает ОДНОГО известного угла, чтобы узнать все четыре. Допустим, ∠1 = 70°. Тогда вертикальный ∠3 = 70°, а смежные ∠2 = ∠4 = 180° − 70° = 110°.

🤔 А знаешь ли ты? Слово «вертикальные» здесь не про «вертикаль» (направление вверх). Оно от латинского vertex — «вершина», «макушка». То есть углы «при общей вершине». Так что вертикальный угол может спокойно лежать горизонтально — название не врёт, просто говорит о другом.

✍️ Разбор задач

Задача 1. Дано: один из смежных углов равен 47°. Найти: второй смежный угол.

Решение.

Сумма смежных углов = 180°.
Значит, второй угол = 180° − 47° = 133°.

Ответ: 133°.

Задача 2. Дано: один из смежных углов на 40° больше другого. Найти: оба угла.

Решение.

Пусть меньший угол = $x$. Тогда больший = $x + 40°$.
Их сумма равна 180°: $x + (x + 40°) = 180°$.
$2x + 40° = 180°$, значит $2x = 140°$, $x = 70°$.
Меньший = 70°, больший = 70° + 40° = 110°.
Проверка: 70° + 110° = 180° — верно.

Ответ: 70° и 110°.

Задача 3. Дано: два смежных угла относятся как 4 : 5. Найти: эти углы.

Решение.

Пусть одна «часть» равна $x$. Тогда углы равны $4x$ и $5x$.
Сумма смежных = 180°: $4x + 5x = 180°$, то есть $9x = 180°$.
Отсюда $x = 20°$.
Углы: $4 \cdot 20° = 80°$ и $5 \cdot 20° = 100°$.

Ответ: 80° и 100°.

Задача 4. Дано: прямые AB и CD пересекаются в точке O. ∠AOC = 65°. Найти: ∠BOD, ∠AOD, ∠BOC.

Рис. 3. Пересечение прямых AB и CD, дан угол AOC

Решение.

∠BOD — вертикальный к ∠AOC, значит ∠BOD = ∠AOC = 65°.
∠AOD смежный с ∠AOC, значит ∠AOD = 180° − 65° = 115°.
∠BOC вертикальный к ∠AOD (или смежный с ∠AOC), значит ∠BOC = 115°.

Ответ: ∠BOD = 65°, ∠AOD = 115°, ∠BOC = 115°.

Задача 5. Дано: при пересечении двух прямых один из четырёх углов равен 90°. Доказать: все четыре угла равны 90°.

Решение.

Пусть ∠1 = 90°.
Смежный с ним ∠2 = 180° − 90° = 90°.
Вертикальный к ∠1 угол ∠3 = ∠1 = 90°.
Вертикальный к ∠2 угол ∠4 = ∠2 = 90°.
Значит, все четыре угла по 90°.

Ответ: доказано: если один угол прямой, то и остальные три прямые (прямые перпендикулярны — но об этом в следующем уроке!).

Задача 6. Дано: прямые пересекаются; сумма двух из четырёх углов, НЕ являющихся вертикальными, равна 180° всегда. А сумма ∠1 и ∠3 (вертикальных) равна 130°. Найти: каждый из этих двух углов и смежные с ними.

Решение.

∠1 и ∠3 вертикальные, значит они равны: ∠1 = ∠3.
Их сумма 130°, значит каждый = 130° : 2 = 65°.
Смежный с ∠1 угол = 180° − 65° = 115°. Второй такой же угол тоже 115° (он ему вертикальный).

Ответ: ∠1 = ∠3 = 65°; два других угла по 115°.

💡 Запомни главное

Смежные углы: общая сторона + внешние стороны на одной прямой. Их сумма = 180°.
Вертикальные углы: «крест-накрест» при пересечении прямых. Они равны.
Доказательство равенства вертикальных углов держится на смежных: оба «упираются» в один и тот же 180°.
При пересечении двух прямых одного известного угла хватает, чтобы найти все четыре.
Если один из четырёх углов 90° — то и все 90°.

📝 Домашнее задание

Один смежный угол равен 38°. Найди второй.
Один смежный угол равен 112°. Найди второй.
Два смежных угла равны между собой. Чему равен каждый?
Смежные углы относятся как 2 : 7. Найди их.
Один смежный угол в 4 раза больше другого. Найди оба.
Прямые пересекаются. Один из углов равен 53°. Найди остальные три.
Прямые пересекаются. Сумма двух вертикальных углов равна 86°. Найди все четыре угла.
Начерти две пересекающиеся прямые, измерь все четыре угла транспортиром и проверь: вертикальные равны, смежные дают 180°.
⭐ Из вершины развёрнутого угла проведены два луча по одну сторону так, что они образуют между собой угол 50°, а крайние углы равны между собой. Найди все три угла.