Урок 7. Перпендикулярные прямые

Геометрия, 7 класс · Гл. I, §5 · ~45 минут

🎯 Что ты узнаешь

• Что такое перпендикулярные прямые и как их обозначают значком ⊥.
• Почему, если две прямые перпендикулярны третьей, они не пересекаются.
• Где перпендикуляр прячется вокруг тебя — от стен дома до буквы «Т».
• Как решать задачи, где появляется прямой угол.

📖 Разбираемся в теме

Посмотри на угол комнаты, где стена встречается с полом. Или на крест оконной рамы. Или на знак «плюс». Везде две линии встречаются «строго прямо», под прямым углом. У такой встречи есть специальное имя.

📐 Определение: Две прямые называются перпендикулярными, если при пересечении они образуют прямой угол (90°).

Помнишь задачу из прошлого урока? Если при пересечении один угол прямой, то и все остальные тоже по 90°. Так что у перпендикулярных прямых все четыре угла прямые — не один, а сразу четыре.

💡 Лайфхак: Перпендикулярность записывают значком ⊥. Запись a ⊥ b читается «прямая a перпендикулярна прямой b». Значок похож на ту самую букву «Т», поставленную ровно.

⏱ Начерти сам: проведи прямую a. Приложи угол тетради (он прямой!) одной стороной к прямой a и обведи вторую сторону — получишь прямую b, перпендикулярную a. Поставь в углу квадратик.

⚠️ Частая ошибка: перпендикулярными бывают не только прямые, но и отрезки, и лучи. Главное — чтобы прямой угол. И ещё: на чертеже перпендикулярность отмечают квадратиком в вершине, а не словами и не дугой.

Перпендикуляр в жизни

Перпендикуляр — это не школьная абстракция, а основа всего, что стоит ровно и не падает.

🤔 А знаешь ли ты? Строители проверяют, ровно ли стоит стена, с помощью отвеса — груза на верёвочке. Верёвка под действием силы тяжести всегда висит строго вниз, перпендикулярно горизонту. Если стена параллельна верёвке — она стоит ровно. А ещё египтяне 4500 лет назад строили прямые углы при возведении пирамид с помощью верёвки с 12 узлами (стороны 3-4-5) — и углы получались идеальными!

Где ещё живёт перпендикуляр: лист бумаги (углы 90°), шахматная доска, перекрёсток дорог, мачта корабля и палуба, ножки стола и пол.

Свойство: перпендикуляры к одной прямой не пересекаются

А вот теперь самое интересное свойство. Проведём прямую a и опустим на неё два перпендикуляра — прямые b и c.

Видишь? Прямые b и c как два столба у дороги — стоят параллельно и никогда не сойдутся, сколько их ни продолжай.

📌 Свойство: Две прямые, перпендикулярные третьей, не пересекаются.

Давай поймём, почему это так, «на пальцах». Представь, что b и c всё-таки пересеклись бы где-то в точке. Тогда из одной точки к прямой a выходили бы сразу ДВЕ разные прямые, и обе под прямым углом. Но через точку можно провести только один перпендикуляр к прямой — двух «прямых углов» в одну сторону не бывает. Получается противоречие, значит наше предположение неверно: b и c пересечься не могут.

💡 Лайфхак: Это свойство — первый «мостик» к теме параллельных прямых. Перпендикуляры к одной прямой всегда параллельны между собой. Запомни: ⊥ к одной и той же прямой ⟶ ∥ между собой.

✍️ Разбор задач

Задача 1. Дано: прямые a и b пересекаются, a ⊥ b. Найти: все углы, которые они образуют.

Решение.

1. По определению перпендикулярных прямых один из углов равен 90°.
2. Смежный с ним = 180° − 90° = 90°. Вертикальные тоже по 90°.
3. Значит, все четыре угла прямые.

Ответ: все четыре угла по 90°.

Задача 2. Дано: прямые пересекаются, один из углов равен 90°. Доказать: прямые перпендикулярны.

Решение.

1. По определению, прямые перпендикулярны, если при пересечении образуют прямой угол.
2. Нам дано, что один угол равен 90° — это и есть прямой угол.
3. Значит, условие определения выполнено.

Ответ: доказано: прямые перпендикулярны.

Задача 3. Дано: прямая CD пересекает прямую AB в точке O под прямым углом. Внутри прямого угла BOC проведён луч OK так, что ∠BOK = 35°. Найти: ∠KOC.

Решение.

1. Поскольку CD ⊥ AB, угол ∠BOC = 90°.
2. Луч OK проходит внутри угла BOC, поэтому он делит его на два угла: ∠BOC = ∠BOK + ∠KOC.
3. Значит, ∠KOC = ∠BOC − ∠BOK = 90° − 35° = 55°.

Ответ: 55°.

Задача 4. Дано: a ⊥ c и b ⊥ c (прямые a и b обе перпендикулярны прямой c). Доказать: прямые a и b не пересекаются.

Решение.

1. Предположим обратное: пусть a и b пересекаются в некоторой точке M.
2. Тогда через точку M к прямой c проведены две прямые (a и b), и обе под прямым углом.
3. Но через данную точку можно провести только один перпендикуляр к прямой.
4. Получили противоречие. Значит, предположение неверно.

Ответ: доказано: a и b не пересекаются.

Задача 5. Дано: прямые AB и CD пересекаются в точке O, ∠AOC = 90°. Найти: ∠AOD и ∠BOC.

Решение.

1. ∠AOC = 90°, значит AB ⊥ CD, и все углы при пересечении прямые.
2. ∠AOD смежный с ∠AOC: ∠AOD = 180° − 90° = 90°.
3. ∠BOC смежный с ∠AOC: ∠BOC = 180° − 90° = 90°.

Ответ: ∠AOD = 90°, ∠BOC = 90°.

Задача 6. Дано: луч OM — биссектриса прямого угла AOB (∠AOB = 90°). Найти: ∠AOM.

Решение.

1. Биссектриса делит угол пополам: ∠AOM = ∠MOB.
2. Значит, ∠AOM = ∠AOB : 2 = 90° : 2 = 45°.

Ответ: 45°.

💡 Запомни главное

• Перпендикулярные прямые при пересечении образуют прямой угол (90°). Тогда все четыре угла по 90°.
• Обозначение: a ⊥ b. На чертеже — квадратик в вершине.
• Перпендикулярными бывают прямые, лучи и отрезки.
• Свойство: две прямые, перпендикулярные третьей, не пересекаются (они параллельны).
• Через точку к прямой можно провести только один перпендикуляр.

📝 Домашнее задание

1. Начерти прямую и проведи к ней перпендикуляр с помощью угольника. Поставь квадратик.
2. Запиши значком: «прямая m перпендикулярна прямой n».
3. Прямые пересекаются, один угол равен 90°. Чему равны остальные три?
4. Прямые a и b перпендикулярны прямой c. Пересекаются ли a и b? Почему?
5. CD ⊥ AB в точке O. Внутри прямого угла AOC проведён луч OP, ∠AOP = 28°. Найди ∠POC.
6. Луч ON — биссектриса прямого угла. Найди величину каждой из двух частей.
7. Найди вокруг себя три примера перпендикулярных линий и запиши их.
8. ⭐ Прямые AB и CD перпендикулярны и пересекаются в точке O. Луч OK проходит внутри угла BOD так, что ∠BOK = 30°. Найди ∠KOA.