Урок 8. Треугольник; первый признак равенства треугольников

Геометрия, 7 класс · Гл. II, §1 · ~45 минут

🎯 Что ты узнаешь

• Что такое треугольник и из чего он состоит.
• Что значит «два треугольника равны» и какие элементы называют соответственными.
• Сформулируешь и поймёшь первый признак равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).
• Научишься доказывать равенство треугольников и сразу делать из этого выводы о сторонах и углах.

📖 Разбираемся в теме

Представь, что у тебя есть две одинаковые наклейки-треугольнички. Если одну положить на другую — они совпадут полностью, без зазоров и нахлёстов. Вот это и есть главная идея урока: равные фигуры — те, что совмещаются наложением. А весь фокус геометрии в том, чтобы доказывать такое совмещение, не вырезая ничего ножницами.

Что такое треугольник

Начнём с самого героя главы.

📐 Определение: Треугольник — это геометрическая фигура из трёх точек, не лежащих на одной прямой, и трёх отрезков, попарно соединяющих эти точки.

Точки — это вершины, отрезки — стороны. Ещё у треугольника три угла. Итого у каждого треугольника по три «детали» каждого вида: 3 вершины, 3 стороны, 3 угла. Запомни число 3 — оно тут повсюду.

Такой треугольник обозначают так: △ABC. Порядок букв можно менять (△BCA, △CAB — это всё он же), но обычно его выбирают не просто так — об этом ниже.

💡 Лайфхак: Сторону называют по двум вершинам, которые она соединяет (AB, BC, AC). А угол — по трём буквам, где средняя — это вершина угла: ∠ABC (вершина B). Или коротко: ∠B.

Когда треугольники равны

📐 Определение: Два треугольника называются равными, если их можно совместить наложением.

Когда мы накладываем один треугольник на другой и они совпадают, то совпадают и их вершины — попарно. Вершины, которые легли друг на друга, называют соответственными. И вот ключевая мысль:

В равных треугольниках против соответственных (равных) сторон лежат равные углы, и наоборот. Стороны и углы, которые совмещаются, называют соответственными элементами.

⚠️ Частая ошибка: Когда пишешь △ABC = △A₁B₁C₁, буквы должны стоять в порядке соответствия! Это значит A↔A₁, B↔B₁, C↔C₁. Тогда сразу читаются равенства: AB = A₁B₁, ∠A = ∠A₁ и так далее. Перепутаешь порядок — получишь неверные выводы.

🤔 А знаешь ли ты? Слово «конгруэнтные» (так в некоторых странах называют равные фигуры) идёт от латинского congruere — «совпадать, сходиться». То есть равные треугольники — это буквально «сходящиеся друг с другом».

Главный вопрос урока

Накладывать треугольники друг на друга — это, конечно, красиво, но неудобно: фигуры нарисованы на бумаге, ничего не вырежешь. Хочется уметь говорить «они равны», глядя только на несколько чисел — длины сторон и величины углов. Сколько таких чисел достаточно?

Оказывается, не нужно проверять все шесть элементов (3 стороны + 3 угла). Хватает всего трёх, выбранных с умом. Первый такой набор — две стороны и угол между ними.

📏 Теорема (первый признак равенства треугольников): Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Обрати внимание на слова «угол между ними». Это важно: угол должен лежать именно между теми двумя сторонами, а не где-то сбоку.

Доказательство-идея (простыми словами).

Дано: AB = A₁B₁, AC = A₁C₁ и ∠A = ∠A₁ (угол между этими сторонами). Хотим показать, что △ABC = △A₁B₁C₁, то есть что их можно совместить.

1. Мысленно наложим △ABC на △A₁B₁C₁ так, чтобы вершина A легла на вершину A₁, а сторона AB пошла вдоль стороны A₁B₁.
2. Так как ∠A = ∠A₁, вторая сторона AC ляжет точно вдоль луча A₁C₁ (углы-то одинаковые — стороны угла «раскрыты» на одинаковую ширину).
3. Так как AB = A₁B₁, точка B попадёт ровно в точку B₁. Так как AC = A₁C₁, точка C попадёт ровно в точку C₁.
4. Значит, все три вершины совместились: A→A₁, B→B₁, C→C₁. А раз совпали вершины — совпали и соединяющие их отрезки BC и B₁C₁. Треугольники полностью совместились.

Что и требовалось: △ABC = △A₁B₁C₁. ∎

💡 Лайфхак: Доказал равенство треугольников — и тут же бесплатно получаешь равенство всех их соответственных элементов: третьих сторон и оставшихся углов. Именно поэтому признаки равенства — самый мощный инструмент в задачах: через них доказывают, что отрезки или углы равны.

⏱ Начерти сам: построй угол примерно в 50°, отложи на его сторонах от вершины 4 см и 6 см, соедини концы. Потом сделай рядом такой же. Наложи (или просто сравни линейкой третьи стороны) — они равны!

✍️ Разбор задач

Задача 1. Дано: отрезки AB и CD пересекаются в точке O — середине каждого из них (то есть AO = OB, CO = OD). Доказать: AC = BD.

Решение.

1. Рассмотрим треугольники AOC и BOD.
2. AO = OB — по условию (O — середина AB).
3. CO = OD — по условию (O — середина CD).
4. ∠AOC = ∠BOD — как вертикальные углы (они равны).
5. Угол лежит между сторонами AO, CO в одном треугольнике и между OB, OD в другом. Значит, по первому признаку (две стороны и угол между ними) △AOC = △BOD.
6. Из равенства треугольников следует AC = BD (соответственные стороны).

Ответ: доказано: AC = BD.

Задача 2. Дано: △ABC = △A₁B₁C₁, причём AB = 7 см, BC = 5 см, ∠B = 40°. Найти: A₁B₁, B₁C₁, ∠B₁.

Решение. В записи △ABC = △A₁B₁C₁ соответствуют: A↔A₁, B↔B₁, C↔C₁. Значит, соответственные элементы равны: A₁B₁ = AB = 7 см, B₁C₁ = BC = 5 см, ∠B₁ = ∠B = 40°.

Ответ: A₁B₁ = 7 см, B₁C₁ = 5 см, ∠B₁ = 40°.

Задача 3. Дано: на рисунке BA = BC, ∠ABD = ∠CBD (BD — общая сторона, луч из B). Доказать: AD = DC.

Решение.

1. Рассмотрим △ABD и △CBD.
2. BA = BC — по условию.
3. BD = BD — общая сторона.
4. ∠ABD = ∠CBD — по условию (это углы между сторонами BA, BD и BC, BD).
5. По первому признаку △ABD = △CBD.
6. Следовательно, AD = DC (соответственные стороны).

Ответ: доказано: AD = DC.

Задача 4. Дано: △MNK и △MPK; NM = PM, ∠NMK = ∠PMK, сторона MK общая. Доказать: ∠N = ∠P.

Решение.

1. В треугольниках MNK и MPK: NM = PM (дано), MK = MK (общая), ∠NMK = ∠PMK (дано) — угол между сторонами NM, MK и PM, MK.
2. По первому признаку △MNK = △MPK.
3. Из равенства треугольников ∠N = ∠P (соответственные углы, лежащие против стороны MK в каждом треугольнике).

Ответ: доказано: ∠N = ∠P.

Задача 5. Дано: AB = CD, ∠BAC = ∠DCA, точки B и D по одну сторону от прямой AC. Доказать: △BAC = △DCA.

Решение.

1. В △BAC и △DCA: AB = CD — по условию.
2. AC = CA — общая сторона.
3. ∠BAC = ∠DCA — по условию (угол между сторонами AB, AC и CD, CA).
4. По первому признаку △BAC = △DCA.

Ответ: доказано (по первому признаку).

💡 Запомни главное

• Треугольник — три вершины (не на одной прямой) и три соединяющих отрезка.
• Треугольники равны, если совмещаются наложением; тогда равны все их соответственные стороны и углы.
• В записи △ABC = △A₁B₁C₁ буквы идут в порядке соответствия — отсюда сразу читаются все равенства.
• Первый признак: две стороны и угол между ними ⟹ треугольники равны.
• Доказал равенство треугольников — получи равенство любых соответственных элементов. Это главный способ доказывать равенство отрезков и углов.

📝 Домашнее задание

1. Назови все вершины, стороны и углы треугольника PQR.
2. Запиши, какие стороны и углы равны, если △ABC = △KLM.
3. △DEF = △XYZ, DE = 6 см, ∠E = 70°, EF = 4 см. Найди XY, ∠Y, YZ.
4. Отрезки AB и CD пересекаются в их общей середине O. Докажи, что AD = CB.
5. На сторонах угла O отложены равные отрезки: OA = OB на одной стороне и OC = OD на другой (A, C от вершины ближе). Докажи, что △OAD = △OCB? (Подсказка: рассмотри △OAD и △OCB, угол O общий.)
6. В △ABC и △A₁B₁C₁: AB = A₁B₁, AC = A₁C₁, ∠A = ∠A₁. Докажи, что BC = B₁C₁ и ∠C = ∠C₁.
7. Дано: BA = BC, BD — луч из B, ∠ABD = ∠CBD. Докажи, что ∠A = ∠C.
8. ⭐ В четырёхугольнике ABCD известно: AB = AD и ∠BAC = ∠DAC. Докажи, что BC = DC и ∠B = ∠D. (Подсказка: проведи диагональ AC.)