Урок 9. Перпендикуляр к прямой; медианы, биссектрисы и высоты треугольника

Геометрия, 7 класс · Гл. II, §2 · ~45 минут

🎯 Что ты узнаешь

• Что такое перпендикуляр к прямой и почему из точки его можно опустить только один.
• Что такое медиана, биссектриса и высота треугольника — три самые важные линии.
• Как их правильно проводить и где они могут лежать (внутри треугольника, по стороне или даже снаружи!).
• Научишься узнавать эти три линии на чертеже с первого взгляда.

📖 Разбираемся в теме

В каждом треугольнике можно провести кучу разных отрезков. Но три вида из них — настоящие звёзды геометрии. Они встретятся тебе сотни раз. Сегодня знакомимся: медиана, биссектриса, высота. Но сначала — короткий, но важный «инструмент»: перпендикуляр.

Перпендикуляр к прямой

📐 Определение: Перпендикуляр, опущенный из точки на прямую, — это отрезок, соединяющий данную точку с точкой прямой и перпендикулярный этой прямой. Конец отрезка на прямой называется основанием перпендикуляра.

Главный факт: из любой точки, не лежащей на прямой, можно опустить ровно один перпендикуляр к этой прямой. Не два, не ноль — ровно один. Это короткий «прямой путь» от точки до прямой, и он самый короткий из всех отрезков от точки до прямой.

💡 Лайфхак: Прямой угол на чертеже отмечают маленьким квадратиком в углу (как на рис. 1). Увидел квадратик — значит, перпендикуляр.

Теперь у нас есть всё нужное. Знакомься с тремя линиями треугольника.

Медиана — «к середине»

📐 Определение: Медиана треугольника — это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

Ключевое слово — середина. Медиана делит сторону пополам (равные половинки помечают штрихами).

🤔 А знаешь ли ты? Все три медианы треугольника пересекаются в одной точке — её называют центром тяжести. Если вырезать треугольник из картона, он будет идеально балансировать на кончике карандаша, поставленного в эту точку!

Биссектриса — «делит угол пополам»

📐 Определение: Биссектриса треугольника — это отрезок биссектрисы угла треугольника, идущий от вершины до точки на противоположной стороне.

То есть биссектриса выходит из вершины и делит её угол ровно пополам (равные половинки угла помечают дугами).

⚠️ Частая ошибка: Медиана делит пополам сторону, а биссектриса делит пополам угол. Их легко перепутать! Запомни: биссектриСа — про угол (с... как «секу угол»), медиана — к середине стороны.

Высота — «перпендикуляр к стороне»

📐 Определение: Высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на прямую, содержащую противоположную сторону.

Вот тут пригодился перпендикуляр из начала урока! Высота встречает сторону под прямым углом (отмечаем квадратиком).

А где же они лежат?

Медиана и биссектриса всегда уютно располагаются внутри треугольника. А вот высота — хитрюга. Её положение зависит от вида треугольника:

• В остроугольном треугольнике все три высоты лежат внутри.
• В прямоугольном две высоты совпадают со сторонами (катетами), идущими из вершины прямого угла.
• В тупоугольном две высоты выходят за пределы треугольника! Чтобы их построить, сторону приходится продлевать. Вот зачем в определении сказано «на прямую, содержащую сторону», а не просто «на сторону».

🤔 А знаешь ли ты? Как и медианы, все три высоты (или их продолжения) пересекаются в одной точке — она называется ортоцентр. И три биссектрисы тоже пересекаются в одной точке — центре вписанной окружности. Эти линии словно специально «договорились» собираться вместе!

⏱ Начерти сам: нарисуй один большой треугольник и проведи в нём из одной вершины все три линии: медиану, биссектрису и высоту. Увидишь, что это (обычно) три разных отрезка, идущих из одной точки.

✍️ Разбор задач

Задача 1. Дано: в △ABC сторона AB = 12 см, CM — медиана. Найти: AM и MB.

Решение. CM — медиана, значит M — середина AB. Тогда AM = MB = AB : 2 = 12 : 2 = 6 см.

Ответ: AM = MB = 6 см.

Задача 2. Дано: в △ABC угол C равен 80°, CL — биссектриса. Найти: ∠ACL и ∠LCB.

Решение. Биссектриса делит угол C пополам: ∠ACL = ∠LCB = ∠C : 2 = 80° : 2 = 40°.

Ответ: ∠ACL = ∠LCB = 40°.

Задача 3. Дано: CH — высота треугольника ABC, ∠HCB = 35°. Найти: ∠CHB.

Решение. Высота перпендикулярна стороне, на которую опущена: CH ⊥ AB. Значит, ∠CHB = 90°.

Ответ: ∠CHB = 90°. (А ∠HCB = 35° тут «лишнее» — ловушка: высота даёт прямой угол при основании независимо от других углов.)

Задача 4. Дано: отрезок CD выходит из вершины C треугольника ABC и делит угол ACB на два угла по 25°. Определить: чем является CD?

Решение. CD делит угол C на два равных угла (25° = 25°), идёт из вершины к противоположной стороне. По определению это биссектриса.

Ответ: CD — биссектриса угла C.

Задача 5. Дано: △ABC прямоугольный, прямой угол при вершине C. Определить: где лежат высоты, опущенные из вершин A и B?

Решение. Высота из A — это перпендикуляр к стороне BC. Но сторона AC уже перпендикулярна BC (угол C прямой). Значит, высота из A совпадает со стороной AC. Аналогично высота из B совпадает со стороной BC. Лишь высота из вершины прямого угла C проходит внутри.

Ответ: две высоты совпадают с катетами AC и BC.

💡 Запомни главное

• Перпендикуляр из точки к прямой — единственный; даёт прямой угол с прямой.
• Медиана соединяет вершину с серединой противоположной стороны (делит сторону пополам).
• Биссектриса делит угол при вершине пополам.
• Высота — перпендикуляр из вершины к прямой, содержащей противоположную сторону.
• Медиана и биссектриса — всегда внутри; высота может лежать внутри, по стороне (прямоугольный) или снаружи (тупоугольный).

📝 Домашнее задание

1. В △ABC проведена медиана BM. Какую сторону она делит пополам и на какие отрезки?
2. ∠A треугольника равен 64°, AD — биссектриса. Найди ∠BAD и ∠DAC.
3. AH — высота треугольника ABC. Чему равен угол AHC?
4. В △MNK медиана NF делит сторону MK так, что MF = 7 см. Найди MK.
5. Отрезок из вершины треугольника делит противоположную сторону пополам. Как он называется?
6. В каком треугольнике высота может лежать вне его? Сделай чертёж такого случая.
7. В прямоугольном треугольнике с прямым углом C проведена высота из C. Где лежат две другие высоты?
8. Биссектриса угла B треугольника образует со стороной угол 30°. Чему равен весь угол B?
9. ⭐ В △ABC из вершины C провели и медиану, и биссектрису, и высоту. Может ли так случиться, что все три совпали в один отрезок? В каком треугольнике? (Подумай про симметричный треугольник — узнаешь о нём в следующем уроке.)