Урок 10. Равнобедренный треугольник и его свойства

Геометрия, 7 класс · Гл. II, §2 · ~45 минут

🎯 Что ты узнаешь

• Что такое равнобедренный и равносторонний треугольники.
• Как называются их стороны: боковые стороны и основание.
• Теорему об углах при основании (углы при основании равны!).
• Теорему о том, что биссектриса равнобедренного треугольника, проведённая к основанию, — это ещё и медиана, и высота (три в одном!).

📖 Разбираемся в теме

Среди всех треугольников есть особенно «аккуратные» — симметричные. Их так часто рисуют на флагах, в архитектуре и дорожных знаках именно потому, что они выглядят уравновешенно. Сегодня мы разберём, почему у них такая красивая симметрия — и докажем это строго.

Что такое равнобедренный треугольник

📐 Определение: Равнобедренный треугольник — это треугольник, у которого две стороны равны.

Эти две равные стороны называют боковыми, а третью — основанием.

💡 Лайфхак: «Равнобедренный» = «равные бёдра». Боковые стороны — это как две одинаковые «ноги» (бедра) треугольника, а основание — то, на чём он стоит. Углы при основании — те два угла, что прилегают к основанию.

Равносторонний треугольник

📐 Определение: Равносторонний треугольник — это треугольник, у которого все три стороны равны.

Равносторонний — это особый случай равнобедренного (ведь у него есть равные стороны, и даже все три!). Поэтому всё, что верно для равнобедренного, верно и для равностороннего.

Теорема об углах при основании

А теперь — первое настоящее открытие урока.

📏 Теорема: В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

То есть если CA = CB, то ∠A = ∠B.

Доказательство-идея.

Дано: △ABC, CA = CB. Докажем, что ∠A = ∠B.

1. Проведём из вершины C биссектрису CD к основанию (она делит угол C пополам: ∠ACD = ∠BCD).
2. Сравним △ACD и △BCD:
   • CA = CB — по условию (боковые стороны);
   • ∠ACD = ∠BCD — потому что CD биссектриса;
   • CD = CD — общая сторона.
3. По первому признаку (две стороны и угол между ними) △ACD = △BCD.
4. Из равенства треугольников следуют равные соответственные углы: ∠A = ∠B. ∎

🤔 А знаешь ли ты? Эту теорему ещё со средних веков шутливо называли Pons Asinorum — «мост ослов». Считалось, что если ученик смог пройти через её доказательство, то с геометрией у него точно сложится. Ну а ты только что прошёл по этому мосту!

Три линии в одном

Та биссектриса CD из доказательства оказалась куда полезнее, чем кажется.

📏 Теорема: В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая к основанию, является одновременно медианой и высотой.

Доказательство-идея.

Из предыдущего доказательства мы уже знаем: △ACD = △BCD. Из их равенства:

• AD = DB (соответственные стороны) ⟹ D — середина основания ⟹ CD — медиана.
• ∠ADC = ∠BDC (соответственные углы). А вместе они дают развёрнутый угол: ∠ADC + ∠BDC = 180°. Значит, каждый из них равен 90°, то есть CD ⊥ AB ⟹ CD — высота.

Итак, один отрезок CD = биссектриса = медиана = высота. ∎

💡 Лайфхак: В равнобедренном треугольнике, как только проведёшь линию из вершины к основанию и узнаешь, что это медиана (или высота, или биссектриса), — три остальных свойства идут «в подарок». Очень экономит время в задачах!

⚠️ Частая ошибка: Это «три в одном» работает только для линии, проведённой к основанию (из вершины между равными сторонами). Из других вершин биссектриса, медиана и высота — разные отрезки!

⏱ Начерти сам: нарисуй равнобедренный треугольник, аккуратно сложи лист по линии от вершины к середине основания. Половинки совпадут — вот она, симметрия и наглядное доказательство теоремы!

А для равностороннего треугольника есть приятный бонус: раз он равнобедренный относительно любой стороны, то все его углы равны. (Позже узнаешь, что каждый из них равен 60°.)

✍️ Разбор задач

Задача 1. Дано: равнобедренный △ABC, CA = CB, ∠A = 50°. Найти: ∠B.

Решение. Углы при основании AB равны: ∠B = ∠A = 50°.

Ответ: ∠B = 50°.

Задача 2. Дано: равнобедренный △ABC с основанием AB; периметр 36 см, основание AB = 10 см. Найти: боковую сторону.

Решение. Боковые стороны равны, обозначим каждую x. Периметр: x + x + AB = 36, то есть 2x + 10 = 36, 2x = 26, x = 13 см.

Ответ: боковая сторона = 13 см.

Задача 3. Дано: в равнобедренном △ABC (CA = CB) проведена высота CH к основанию; AB = 16 см. Найти: AH.

Решение. Высота к основанию в равнобедренном треугольнике является и медианой, значит H — середина AB. Тогда AH = AB : 2 = 16 : 2 = 8 см.

Ответ: AH = 8 см.

Задача 4. Дано: в равнобедренном △ABC (CA = CB) проведена медиана CM к основанию. Доказать: CM ⊥ AB.

Решение. По теореме о трёх линиях медиана, проведённая к основанию равнобедренного треугольника, является и высотой. Высота перпендикулярна стороне, значит CM ⊥ AB.

Ответ: доказано: CM ⊥ AB.

Задача 5. Дано: △ABC, ∠A = ∠B = 70°, AB = 5 см. (Это «обратная» ситуация: углы при AB равны.) Доказать, что AC = BC, и найти AC при условии BC = 6 см.

Решение. Если в треугольнике два угла равны, то треугольник равнобедренный с основанием между этими углами (это обратная теорема). Углы ∠A, ∠B прилежат к стороне AB, значит AB — основание, а боковые стороны AC и BC равны: AC = BC = 6 см.

Ответ: AC = 6 см.

Задача 6. Дано: равносторонний △ABC, периметр 27 см. Найти: длину стороны.

Решение. Все стороны равны, их три: сторона = 27 : 3 = 9 см.

Ответ: 9 см.

💡 Запомни главное

• Равнобедренный — две равные стороны (боковые); третья — основание. Равносторонний — все три равны (частный случай равнобедренного).
• Углы при основании равны (если боковые равны).
• Обратно: если два угла равны, треугольник равнобедренный.
• Линия из вершины к основанию: биссектриса = медиана = высота (всё сразу).
• Это «три в одном» — только для линии к основанию, не из других вершин.

📝 Домашнее задание

1. В равнобедренном △ABC (CA = CB) угол при основании ∠A = 47°. Найди ∠B.
2. Периметр равнобедренного треугольника 40 см, основание 12 см. Найди боковую сторону.
3. Периметр равнобедренного треугольника 50 см, боковая сторона 18 см. Найди основание.
4. Стороны равностороннего треугольника по 7 см. Найди периметр.
5. В равнобедренном △ABC (CA = CB) проведена биссектриса CD к основанию AB = 14 см. Найди AD.
6. В равнобедренном △ABC (CA = CB) высота CH к основанию делит его на отрезки. Чему равен ∠CHA?
7. В △MNK даны ∠M = ∠K. Какие стороны равны?
8. В равнобедренном треугольнике один из углов при основании равен 65°. Сделай вывод о другом угле при основании.
9. ⭐ В равнобедренном △ABC (CA = CB) на боковых сторонах отложены равные отрезки: AP на CA и BQ на CB, AP = BQ. Докажи, что AQ = BP. (Подсказка: рассмотри △ABQ и △BAP, используй ∠A = ∠B.)