Урок 11. Второй признак равенства треугольников

Геометрия, 7 класс · Гл. II, §3 · ~45 минут

🎯 Что ты узнаешь

• Сформулируешь и поймёшь второй признак равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).
• Поймёшь идею его доказательства.
• Научишься выбирать, какой признак применить — первый или второй.
• Решишь задачи, где сторону «зажимают» с двух сторон углы.

📖 Разбираемся в теме

В прошлый раз мы выяснили: чтобы доказать равенство треугольников, не нужны все шесть элементов — хватает трёх. Первый признак: две стороны и угол между ними. Но это не единственный «удачный» набор из трёх! Сегодня — ещё один.

Вспомним задачу из жизни

Представь: землемеру нужно измерить расстояние через реку до дерева на том берегу, не переплывая её. Он становится так, чтобы видеть дерево, измеряет один отрезок вдоль своего берега и два угла, под которыми видно дерево с концов этого отрезка. Этого хватает, чтобы построить точно такой же треугольник на бумаге! Почему? Потому что работает второй признак.

📏 Теорема (второй признак равенства треугольников): Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

«Прилежащие к стороне углы» — это два угла, которые опираются на концы этой стороны. Например, к стороне AB прилежат углы A и B.

Доказательство-идея (простыми словами).

Дано: AB = A₁B₁, ∠A = ∠A₁, ∠B = ∠B₁. Докажем, что △ABC = △A₁B₁C₁.

1. Наложим △ABC на △A₁B₁C₁ так, чтобы сторона AB совместилась со стороной A₁B₁ (это возможно: они равны, A→A₁, B→B₁).
2. Так как ∠A = ∠A₁, сторона AC пойдёт вдоль луча A₁C₁. Так как ∠B = ∠B₁, сторона BC пойдёт вдоль луча B₁C₁.
3. Значит, точка C — пересечение лучей AC и BC — попадёт в точку пересечения лучей A₁C₁ и B₁C₁, то есть в C₁. (Две прямые пересекаются только в одной точке — поэтому C ложится именно на C₁.)
4. Все три вершины совместились ⟹ треугольники совпали. ∎

💡 Лайфхак: Как отличить, какой признак применять?

• Знаешь две стороны и угол между ними → первый признак.
• Знаешь сторону и два угла по её концам → второй признак. Считай, что́ дано — стороны или углы — и где они расположены.

⚠️ Частая ошибка: Углы должны быть прилежащими к данной стороне (опираться на её концы). Если один из углов лежит у противоположной вершины — это другая ситуация (её разбирают позже). Для второго признака оба угла «сидят» на концах общей стороны.

🤔 А знаешь ли ты? Именно второй признак лежит в основе старинного способа измерять недоступные расстояния — через реку, до корабля в море, до вершины горы. Достаточно измерить одну «базовую» линию и два угла — и можно вычислить весь треугольник. Этим методом (триангуляцией) когда-то составляли карты целых стран!

⏱ Начерти сам: проведи отрезок AB длиной 6 см. В точке A построй угол 50°, в точке B — угол 60°. Продли стороны углов до пересечения — получишь точку C. Треугольник готов, и он у всех получится одинаковым: вот тебе второй признак в действии.

✍️ Разбор задач

Задача 1. Дано: отрезки AB и CD пересекаются в точке O — середине отрезка AB; ∠A = ∠B (углы при концах AB). Доказать: △AOC = △BOD.

Решение.

1. В △AOC и △BOD: AO = OB — O середина AB.
2. ∠A = ∠B — по условию (прилежат к стороне AO и OB соответственно).
3. ∠AOC = ∠BOD — вертикальные углы (прилежат к стороне у вершины O).
4. Сторона AO с двумя прилежащими углами (∠A и ∠AOC) равна стороне OB с прилежащими углами (∠B и ∠BOD).
5. По второму признаку △AOC = △BOD. ∎

Ответ: доказано.

Задача 2. Дано: △ABC = △A₁B₁C₁, AB = 8 см, ∠A = 55°, ∠B = 65°. Найти: A₁B₁, ∠A₁, ∠B₁.

Решение. По соответствию A↔A₁, B↔B₁: A₁B₁ = AB = 8 см, ∠A₁ = ∠A = 55°, ∠B₁ = ∠B = 65°.

Ответ: A₁B₁ = 8 см, ∠A₁ = 55°, ∠B₁ = 65°.

Задача 3. Дано: ∠CAB = ∠DBA, ∠CBA = ∠DAB; AB — общая сторона (точки C, D по разные стороны или по одну от AB). Доказать: AC = BD.

Решение.

1. Рассмотрим △CAB и △DBA.
2. AB = BA — общая сторона.
3. ∠CAB = ∠DBA — по условию (углы при вершинах A и B).
4. ∠CBA = ∠DAB — по условию.
5. Сторона AB и два прилежащих к ней угла одного треугольника равны стороне BA и двум прилежащим углам другого. По второму признаку △CAB = △DBA.
6. Следовательно, AC = BD (соответственные стороны: AC лежит против ∠CBA, BD лежит против ∠DAB).

Ответ: доказано: AC = BD.

Задача 4. Дано: в △ABC ∠B = ∠C, BM — биссектриса ∠B, CN — биссектриса ∠C (M на AC, N на AB). Доказать: △BNC = △CMB.

Решение.

1. Рассмотрим △BNC и △CMB; у них общая сторона BC.
2. BC = CB — общая.
3. ∠NBC = ∠MCB: ведь ∠B = ∠C, а биссектрисы делят их пополам, значит половинки равны (∠NBC = ∠B : 2 = ∠C : 2 = ∠MCB).
4. ∠NCB = ∠MBC: это сами углы при основании? Нет — аккуратнее: ∠NCB = ∠C (весь угол C, т.к. N на AB, и CN... ). Возьмём проще: ∠BCN относится к △BNC при вершине C. Используем: при стороне BC прилежащие углы — это ∠NBC, ∠NCB у одного треугольника и ∠MCB, ∠MBC у другого. ∠NCB = ∠C, ∠MBC = ∠B, и ∠B = ∠C, значит ∠NCB = ∠MBC.
5. Сторона BC и два прилежащих к ней угла равны соответственно. По второму признаку △BNC = △CMB. ∎

Ответ: доказано.

Задача 5. Дано: ∠1 = ∠2, ∠3 = ∠4, BC — общая сторона двух треугольников ABC и DCB (см. рис.), где ∠1, ∠3 при вершине B, а ∠2, ∠4 при вершине C. Доказать: AB = DC.

Решение.

1. В △ABC и △DCB: BC = CB — общая сторона.
2. ∠ABC = ∠DCB (углы ∠1 = ∠2 при концах B и C).
3. ∠ACB = ∠DBC (углы ∠3 = ∠4 при концах C и B).
4. По второму признаку △ABC = △DCB.
5. Значит, AB = DC (соответственные стороны).

Ответ: доказано: AB = DC.

💡 Запомни главное

• Второй признак: сторона и два прилежащих к ней угла ⟹ треугольники равны.
• Прилежащие углы «сидят» на концах данной стороны.
• Идея доказательства: совместил стороны → углы направят боковые стороны по тем же лучам → вершины совпадут.
• Выбор признака: дано две стороны и угол между ними → первый; дано сторона и два угла на её концах → второй.
• Любой признак, доказав равенство, бесплатно даёт равенство всех остальных элементов.

📝 Домашнее задание

1. К какой стороне прилежат углы A и C в треугольнике ABC?
2. △ABC = △MNP, AB = 9 см, ∠A = 40°, ∠B = 75°. Найди MN, ∠M, ∠N.
3. Отрезки AB и CD пересекаются в середине O отрезка CD, и ∠C = ∠D. Докажи, что AC = BD.
4. В △ABC ∠A = ∠B. Из A и B провели лучи внутрь, образующие с AB равные углы и пересекающие стороны. Сформулируй, какой признак поможет доказать равенство получившихся треугольников.
5. Дано: ∠DAB = ∠CBA, ∠DBA = ∠CAB, AB — общая. Докажи: △DAB = △CBA.
6. В треугольниках ABC и A₁B₁C₁: BC = B₁C₁, ∠B = ∠B₁, ∠C = ∠C₁. Докажи, что AB = A₁B₁.
7. Можно ли применить второй признак, если известны сторона и два угла, но один из углов лежит против этой стороны (не прилегает к ней)? Почему?
8. ⭐ В равнобедренном △ABC (AC = BC) проведены биссектрисы AK и BL углов при основании. Докажи, что AK = BL. (Подсказка: рассмотри △ABK и △BAL, используй равенство углов при основании и общую сторону AB.)