Урок 12. Третий признак равенства треугольников (по трём сторонам)

Геометрия, 7 класс · Гл. II, §2 · ~45 минут

🎯 Что ты узнаешь

• Почему трёх сторон достаточно, чтобы треугольник был «единственным».
• Как звучит и как доказывается третий признак равенства треугольников.
• Что такое жёсткость треугольника и почему мосты, краны и крыши собирают из треугольников, а не из квадратов.
• Научишься применять третий признак в задачах.

📖 Разбираемся в теме

Представь: ты строитель. У тебя есть три палочки заданной длины. Сколько разных треугольников можно из них сложить?

Попробуй мысленно (а лучше — реально, с тремя карандашами). Покрутишь, повертишь... и окажется, что треугольник получается только один (если не считать его зеркальные повороты). А вот из четырёх палочек квадрат запросто «складывается» в ромб — он шатается. Вот в этом вся соль сегодняшнего урока!

📏 Теорема (третий признак равенства треугольников): Если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство — идея простыми словами.

Пусть у нас два треугольника △ABC и △A₁B₁C₁, у которых AB = A₁B₁, BC = B₁C₁, CA = C₁A₁.

Шаг 1. «Приложим» один треугольник к другому. Наложим △A₁B₁C₁ на △ABC так, чтобы сторона A₁B₁ совпала с равной ей стороной AB (вершина A₁ совпала с A, B₁ — с B). Вершины C и C₁ при этом поставим по разные стороны от прямой AB.

Шаг 2. Проведём отрезок CC₁ — он пересекает прямую AB. Рассмотрим два треугольника, которые получились с этим отрезком.

Шаг 3. Так как AC = AC₁ (по условию), треугольник ACC₁ — равнобедренный. Значит, углы при его основании равны: ∠ACC₁ = ∠AC₁C. Точно так же BC = BC₁, и треугольник BCC₁ тоже равнобедренный: ∠BCC₁ = ∠BC₁C.

Шаг 4. Складывая равные углы, получаем ∠ACB = ∠AC₁B. То есть углы C и C₁ равны!

Шаг 5. Теперь у нас AC = A₁C₁, BC = B₁C₁ и угол между ними ∠C = ∠C₁. А это — первый признак (по двум сторонам и углу между ними). Значит, △ABC = △A₁B₁C₁. Что и требовалось доказать. ∎

💡 Лайфхак: Третий признак часто называют «SSS» (side-side-side, «сторона-сторона-сторона»). Первый — «SAS», второй — «ASA». Так их легче не путать.

⚠️ Частая ошибка: Нет признака «по трём углам»! Два треугольника могут иметь одинаковые углы, но быть разного размера (один большой, другой маленький — как фото и его уменьшенная копия). А вот три стороны размер задают жёстко.

Жёсткость треугольника

А теперь — самое практичное. Почему вокруг столько треугольников: в фермах мостов, в башенных кранах, в стропилах крыши, в велосипедной раме?

Потому что треугольник жёсткий. Если у тебя есть три стороны фиксированной длины, форма треугольника определена однозначно (это и есть третий признак!). Его нельзя «перекосить», не сломав и не согнув палочки.

А вот четырёхугольник из четырёх палочек, соединённых шарнирами, легко превращается из квадрата в скошенный ромб — он «гуляет».

🤔 А знаешь ли ты? Если хочешь сделать жёстким деревянный ящик или калитку, которые «провисают», прибей одну диагональную планку. Она разобьёт прямоугольник на два треугольника — и конструкция перестанет шататься. Именно так укрепляют заборы и старые двери!

⏱ Начерти сам: возьми три отрезка длиной 4 см, 5 см и 6 см. Построй из них треугольник (как — узнаешь подробно в уроке 14, но попробуй уже сейчас, прикладывая линейку). Попроси соседа сделать то же. Сравните — треугольники окажутся равными!

✍️ Разбор задач

Задача 1. Дано: AB = CD, BC = AD (рис. 4). Доказать: △ABC = △CDA.

Решение.

1. AB = CD — по условию.
2. BC = DA — по условию.
3. AC — общая сторона обоих треугольников, значит AC = CA.
4. Итак, три стороны △ABC соответственно равны трём сторонам △CDA. По третьему признаку △ABC = △CDA. ∎

Ответ: доказано (по трём сторонам, общая сторона — AC).

Задача 2. Дано: AB = AC, BD = CD (точки B и C по разные стороны от прямой AD), рис. 5. Доказать: ∠B = ∠C.

Решение.

1. AB = AC — по условию.
2. BD = CD — по условию.
3. AD — общая сторона: AD = AD.
4. По третьему признаку △ABD = △ACD.
5. В равных треугольниках соответственные углы равны, поэтому ∠B = ∠C. ∎

Ответ: доказано.

Задача 3. Дано: △MNP и △M₁N₁P₁; MN = 7 см, NP = 8 см, PM = 5 см; M₁N₁ = 7 см, N₁P₁ = 8 см, P₁M₁ = 5 см. Найти: равны ли треугольники, и чему равен ∠N₁, если ∠N = 73°.

Решение.

1. Сравним стороны: MN = M₁N₁ = 7, NP = N₁P₁ = 8, PM = P₁M₁ = 5.
2. Три стороны соответственно равны ⟹ по третьему признаку △MNP = △M₁N₁P₁.
3. В равных треугольниках равны соответственные углы: ∠N₁ = ∠N = 73°.

Ответ: треугольники равны; ∠N₁ = 73°.

Задача 4. Дано: окружность с центром O; AB и CD — две хорды, причём OA = OB = OC = OD (все радиусы), а также AB = CD (рис. 6). Доказать: △OAB = △OCD.

Решение.

1. OA = OC — радиусы одной окружности.
2. OB = OD — радиусы одной окружности.
3. AB = CD — по условию.
4. По третьему признаку △OAB = △OCD. ∎

Ответ: доказано (равны как радиусы + равные хорды по условию).

Задача 5. Дано: △ABC, в нём AB = BC (равнобедренный); точка M — середина AC (рис. 7). Доказать: ∠BMA = ∠BMC (то есть BM ⊥ AC).

Решение.

1. AB = CB — по условию (равнобедренный).
2. AM = CM — M середина AC.
3. BM — общая сторона: BM = BM.
4. По третьему признаку △ABM = △CBM.
5. Значит ∠BMA = ∠BMC. А они смежные, то есть в сумме дают 180°. Если два смежных угла равны, каждый равен 90°. Поэтому BM ⊥ AC. ∎

Ответ: доказано; BM — высота (и перпендикуляр к AC).

💡 Запомни главное

• Третий признак (SSS): три стороны одного треугольника = три стороны другого ⟹ треугольники равны.
• Это значит: три стороны однозначно задают треугольник — отсюда жёсткость.
• Жёсткость треугольника — причина, по которой его используют в мостах, кранах, крышах, рамах.
• Признака «по трём углам» не существует — углы задают форму, но не размер.
• Частый приём в задачах: общая сторона + равенство по условию ⟹ применяем SSS.

📝 Домашнее задание

1. Сформулируй третий признак равенства треугольников своими словами.
2. Объясни на примере (рисунок приветствуется), почему четырёхугольник «шатается», а треугольник — нет.
3. У △ABC стороны 6, 9, 11 см; у △KLM стороны 11, 6, 9 см. Равны ли треугольники? Ответ обоснуй.
4. Дано: AB = AD, CB = CD. Докажи, что △ABC = △ADC.
5. Дано: M — середина отрезка AB; PA = PB. Докажи, что PM ⊥ AB.
6. В четырёхугольнике ABCD: AB = CD и BC = AD. Докажи, что ∠B = ∠D.
7. Дано: OA = OB, AC = BC (O и C по разные стороны от AB). Докажи, что OC — биссектриса угла AOB.
8. ⭐ Дано: △ABC = △A₁B₁C₁ (по трём сторонам). На стороне BC взята точка D, а на B₁C₁ — точка D₁ так, что BD = B₁D₁. Докажи, что AD = A₁D₁.