Урок 13. Окружность

Геометрия, 7 класс · Гл. II, §3 · ~45 минут

🎯 Что ты узнаешь

Что такое окружность на самом деле (а не «такой круглый кружок»).
Чем отличаются окружность и круг (да, это разные вещи!).
Что такое центр, радиус, диаметр, хорда, дуга.
Почему диаметр всегда вдвое длиннее радиуса.
Где во всём этом прячется... коза на привязи 🐐.

📖 Разбираемся в теме

Привяжем козу верёвкой длиной 3 метра к колышку. Коза голодная и обойдёт всё, до чего дотянется. Какую границу выщипанной травы она оставит? Ровный круглый след — потому что в каждой точке этого следа коза находилась ровно в 3 метрах от колышка. Вот эта линия следа и есть окружность.

📐 Определение: Окружность — это линия (замкнутая кривая), состоящая из всех точек плоскости, которые находятся на одном и том же расстоянии от данной точки. Эта точка называется центром окружности.

То есть окружность — это «забор», а не «двор». Это именно линия.

📐 Определение: Часть плоскости, ограниченная окружностью (вся «лужайка» вместе с линией), называется кругом.

⚠️ Частая ошибка: Не путай! Окружность — это контур (линия). Круг — это вся площадь внутри. Колесо обода — окружность, а блин или монета — круг.

Радиус, диаметр, хорда

Рис. 1. Радиус OA, диаметр BA, хорда MN

📐 Определение: Радиус — это отрезок, соединяющий центр окружности с любой её точкой (а также длина этого отрезка). На рис. 1 это OA.

Все радиусы одной окружности равны между собой — ведь все точки окружности по определению на одинаковом расстоянии от центра!

📐 Определение: Хорда — это отрезок, соединяющий две любые точки окружности. На рис. 1 это MN.

📐 Определение: Диаметр — это хорда, проходящая через центр. На рис. 1 это BA. Диаметр — самая длинная хорда.

📏 Свойство: Диаметр равен двум радиусам: d = 2r. Почему? Диаметр состоит из двух радиусов (BO и OA), идущих из центра в противоположные стороны. BO = r, OA = r, значит BA = 2r.

💡 Лайфхак: Латинские буквы помогут запомнить: r — radius (радиус), d — diameter (диаметр), и d = 2r всегда.

⏱ Начерти сам: циркулем построй окружность радиусом 4 см. Проведи радиус, диаметр и какую-нибудь хорду, не проходящую через центр. Измерь хорду линейкой — она должна быть короче диаметра.

Дуга

Если поставить на окружности две точки, они разделят её на две части. Каждая такая часть — дуга.

📐 Определение: Дуга — это часть окружности, заключённая между двумя её точками.

Рис. 2. Точки A и B делят окружность на две дуги (красным выделена одна из них)

Обозначают дугу значком ⌣ : ⌣AB. Когда точек A и B недостаточно, чтобы понять, о какой из двух дуг речь, добавляют промежуточную точку.

🤔 А знаешь ли ты? Слово «радиус» по-латыни значит «спица колеса» и «луч». Колесо телеги действительно отличная картинка: центр — ось, спицы — радиусы, обод — окружность.

Как построить окружность, проходящую через данную точку

Хочешь окружность с центром O, проходящую через точку P? Поставь ножку циркуля в O, раствори циркуль так, чтобы грифель попал в P (то есть раствор = OP), и крутани. Готово — все точки полученной линии в точности на расстоянии OP от центра.

Рис. 3. Окружность с центром O радиусом OP

✍️ Разбор задач

Задача 1. Дано: окружность с центром O, радиус r = 6 см. Найти: диаметр d.

Решение. d = 2r = 2 · 6 = 12 (см).

Ответ: 12 см.

Задача 2. Дано: диаметр окружности d = 18 см. Найти: радиус r.

Решение. Так как d = 2r, то r = d : 2 = 18 : 2 = 9 (см).

Ответ: 9 см.

Задача 3. Дано: окружность с центром O; A и B — точки окружности, причём ∠AOB = 60° (рис. 4). Доказать: △AOB — равносторонний.

Рис. 4. К задаче 3

Решение.

OA = OB — это радиусы одной окружности, значит △AOB равнобедренный.
В равнобедренном треугольнике углы при основании равны: ∠OAB = ∠OBA.
Сумма углов треугольника 180°, угол при вершине ∠AOB = 60°, значит на два угла при основании остаётся 180° − 60° = 120°, по 60° каждый.
Все три угла по 60° ⟹ треугольник равносторонний. ∎

Ответ: доказано.

Задача 4. Дано: AB — диаметр окружности с центром O; C — точка окружности (рис. 5). Доказать: OC = OA = OB.

Рис. 5. К задаче 4

Решение.

A, B, C лежат на окружности, значит OA, OB, OC — радиусы.
Все радиусы одной окружности равны.
Поэтому OC = OA = OB. ∎

Ответ: доказано (все три отрезка — радиусы).

Задача 5. Дано: в окружности с центром O проведены две равные хорды AB и CD; M и N — их середины. Известно, что OA = OB = OC = OD = 5 см, AB = CD. Найти: что можно сказать про треугольники OAB и OCD?

Решение.

OA = OC (радиусы), OB = OD (радиусы), AB = CD (по условию).
По третьему признаку равенства △OAB = △OCD.

Ответ: △OAB = △OCD (по трём сторонам).

💡 Запомни главное

Окружность — линия из всех точек на равном расстоянии от центра. Круг — площадь внутри неё.
Радиус (r) — от центра до точки окружности; все радиусы равны.
Хорда — отрезок между двумя точками окружности.
Диаметр (d) — хорда через центр, самая длинная; d = 2r.
Дуга — часть окружности между двумя точками.
Главный приём в задачах: радиусы одной окружности равны — отсюда много равнобедренных треугольников.

📝 Домашнее задание

Дай определения: окружность, круг, радиус, хорда, диаметр, дуга.
Радиус окружности 7,5 см. Найди диаметр.
Диаметр окружности 24 см. Найди радиус.
Начерти окружность радиусом 3 см. Проведи два радиуса, диаметр и хорду, не проходящую через центр. Подпиши все элементы.
На окружности с центром O отмечены точки K и L так, что ∠KOL = 90°, OK = OL = 4 см. Какой это треугольник △KOL? Найди его углы при основании.
AB — диаметр, C — точка окружности. Докажи, что △AOC равнобедренный.
В окружности проведены равные хорды PQ и RS. Докажи, что △OPQ = △ORS (O — центр).
Сколько хорд можно провести через две данные точки окружности? А сколько диаметров можно провести в одной окружности?
⭐ Две окружности равного радиуса с центрами O₁ и O₂ пересекаются в точках A и B. Докажи, что △O₁AO₂ = △O₁BO₂.