🎓 Мои уроки
Главная › 7 класс › Геометрия › Ответы
← Все уроки: Геометрия 📄 PDF

Ответы к заданиям — Геометрия, 7 класс

Загляни сюда только после того, как сам(а) решил(а)! Сверь ответы и разбери ошибки.

Урок 1. Точки, прямые, отрезки

  1. Чертёж: главное — две точки на прямой и две вне её, все подписаны.
  2. Только одна прямая.
  3. Чертёж двух пересекающихся прямых с точкой K на пересечении.
  4. 6 прямых (пары: их количество — как в задаче 1, но для четырёх точек: AB, AC, AD, BC, BD, CD).
  5. Три отрезка: AB, AC, BC.
  6. Да, может: начерти «треугольник» из трёх прямых — каждая пара пересекается в своей вершине, три разные точки пересечения.
  7. Если бы их было две, у них были бы две общие точки, а через две точки проходит только одна прямая — значит, это одна прямая, а не две.
  8. ⭐ 10 прямых. Число пар из 5 точек: 5·4 ÷ 2 = 10.

Урок 2. Луч и угол

  1. Да, можно: начало того же луча — M, а P лежит на нём, значит луч MN = луч MP.
  2. ∠ABC (или ∠CBA) и ∠B. Вершина B, стороны — лучи BA и BC.
  3. Вершина — Q (средняя буква), стороны — лучи QP и QR.
  4. Два луча образуют один угол. Четыре луча — 6 углов (число пар: 4·3 ÷ 2 = 6).
  5. Чертёж: одна точка во внутренней области, одна — во внешней, подписаны.
  6. На углы ∠AOC и ∠COB.
  7. У луча AB начало в A (идёт к B и дальше), у луча BA начало в B (идёт к A и дальше) — они направлены в разные стороны.
  8. ⭐ 6 углов (пары из 4 лучей: 4·3 ÷ 2 = 6).

Урок 3. Сравнение отрезков и углов

  1. Сравнение наложением; ответ зависит от твоего чертежа.
  2. CD = 2 · 9 = 18 см.
  3. ∠MON = 2 · 28° = 56°.
  4. Чертёж с двумя одинаковыми дугами на равных углах.
  5. EP = PF = 20 ÷ 2 = 10 см каждый.
  6. 120° ÷ 2 = 60° каждый.
  7. Нет: AT = 4 ≠ 6 = TB, части не равны, значит T — не середина.
  8. AM = 24 ÷ 2 = 12 см; MK = 12 ÷ 2 = 6 см; AK = AM + MK = 12 + 6 = 18 см.
  9. ⭐ ∠AOC = 45° (биссектриса 90°). ∠BOC = 45°, OD — её биссектриса: ∠COD = 22,5°. ∠AOD = ∠AOC + ∠COD = 45° + 22,5° = 67,5°.

Урок 4. Измерение отрезков

  1. 5 см = 50 мм; 3 м = 300 см; 2 км = 2000 м.
  2. AB = 4 + 6,5 = 10,5 см.
  3. MP = MN − PN = 12 − 5 = 7 см.
  4. AB = 3 + 4 + 2 = 9 см; KB = KL + LB = 4 + 2 = 6 см.
  5. CO = OD = 16 ÷ 2 = 8 см каждый.
  6. AB = 2 · 7 = 14 см.
  7. Два случая: XZ = 9 + 4 = 13 см или XZ = 9 − 4 = 5 см.
  8. CB = 20 ÷ 2 = 10 см; DB = 10 ÷ 2 = 5 см; AD = AB − DB = 20 − 5 = 15 см (или AD = AC + CD = 10 + 5 = 15 см).
  9. ⭐ Пусть AC = x, тогда CB = x + 4. Сумма: x + (x + 4) = 16, значит 2x = 12, x = 6. AC = 6 см, CB = 10 см.

Урок 5. Измерение углов

  1. У тебя должны получиться: острый — меньше 90°, прямой — ровно 90°, тупой — между 90° и 180°. Если прямой вышел не 90°, проверь, не сбилась ли шкала транспортира.
  2. ∠AOB = 28° + 54° = 82°.
  3. ∠MOP = 100° − 37° = 63°.
  4. Каждая часть = 78° : 2 = 39°.
  5. ∠COB = 180° − 115° = 65°.
  6. Обозначь части за 3x и 2x: 3x + 2x = 100°, 5x = 100°, x = 20°. Тогда ∠AOD = 60°, ∠DOB = 40°. (60° и 40°.)
  7. 90° — прямой; 89° — острый; 91° — тупой; 180° — развёрнутый.
  8. ⭐ Весь угол 90° состоит из трёх частей: ∠AOC + ∠COD + ∠BOD = 90°. Значит, ∠COD = 90° − 25° − 30° = 35°.

Урок 6. Смежные и вертикальные углы

  1. 180° − 38° = 142°.
  2. 180° − 112° = 68°.
  3. Равны и в сумме 180°, значит каждый = 180° : 2 = 90°.
  4. 2x + 7x = 180°, 9x = 180°, x = 20°. Углы: 40° и 140°.
  5. x + 4x = 180°, 5x = 180°, x = 36°. Углы: 36° и 144°.
  6. Вертикальный к данному = 53°; два смежных = 180° − 53° = 127° каждый.
  7. Вертикальные равны, их сумма 86°, значит каждый = 43°. Два других угла = 180° − 43° = 137°.
  8. Должно подтвердиться: пары противоположных углов равны, любые два соседних дают 180°.
  9. ⭐ Развёрнутый угол 180° = (крайний) + 50° + (крайний). Крайние равны, обозначь их x: 2x + 50° = 180°, 2x = 130°, x = 65°. Углы: 65°, 50°, 65°.

Урок 7. Перпендикулярные прямые

  1. В вершине должен стоять квадратик; угол между прямыми ровно 90° (проверь транспортиром).
  2. m ⊥ n.
  3. Все три тоже по 90° (смежные и вертикальные к прямому углу).
  4. Не пересекаются. Иначе через точку их пересечения шли бы два перпендикуляра к c, а так нельзя.
  5. ∠POC = 90° − 28° = 62° (∠AOC = 90° состоит из ∠AOP и ∠POC).
  6. 90° : 2 = 45° каждая часть.
  7. Любые верные примеры: угол стола, оконная рама, перекрёсток, буква «Т», страница тетради и т. п.
  8. ⭐ ∠BOD = 90° (прямые перпендикулярны). ∠KOD = 90° − 30° = 60°. Угол ∠AOD = 90° (смежный с ∠BOD). Тогда ∠KOA = ∠AOD − ∠KOD = 90° − 60° = 30°. (Можно короче: ∠KOA смежный с ∠KOB через прямую AB... но удобнее через части. Ответ 30°.)

Урок 8. Треугольник; первый признак равенства треугольников

  1. Вершины: P, Q, R. Стороны: PQ, QR, PR. Углы: ∠P, ∠Q, ∠R.
  2. AB = KL, BC = LM, AC = KM; ∠A = ∠K, ∠B = ∠L, ∠C = ∠M.
  3. XY = DE = 6 см, ∠Y = ∠E = 70°, YZ = EF = 4 см.
  4. △AOD = △BOC: AO = BO и DO = CO (O — середина), ∠AOD = ∠BOC (вертикальные). По первому признаку треугольники равны, значит AD = CB.
  5. Да. В △OAD и △OCB: OA = OB, OD = OC (так как OC = OD и OA = OB по условию — стороны угла), ∠O общий. По первому признаку △OAD = △OCB.
  6. △ABC = △A₁B₁C₁ по первому признаку (две стороны AB, AC и угол A между ними). Из равенства треугольников BC = B₁C₁ и ∠C = ∠C₁.
  7. △ABD = △CBD: BA = BC, BD общая, ∠ABD = ∠CBD. По первому признаку равны, значит ∠A = ∠C.
  8. Проведи AC. В △BAC и △DAC: AB = AD, AC общая, ∠BAC = ∠DAC. По первому признаку △BAC = △DAC, поэтому BC = DC и ∠B = ∠D.

Урок 9. Перпендикуляр к прямой; медианы, биссектрисы и высоты треугольника

  1. BM делит пополам сторону AC; AM = MC.
  2. ∠BAD = ∠DAC = 64° : 2 = 32°.
  3. ∠AHC = 90° (высота перпендикулярна стороне).
  4. F — середина MK, значит MK = 2 · MF = 2 · 7 = 14 см.
  5. Медиана.
  6. В тупоугольном треугольнике высоты из вершин острых углов лежат вне треугольника (см. рис. 5: чертёж — тупой угол, из вершины острого угла перпендикуляр на продолжение противоположной стороны).
  7. Совпадают со сторонами (катетами) AC и BC.
  8. ∠B = 2 · 30° = 60°.
  9. Да — в равнобедренном треугольнике биссектриса, медиана и высота, проведённые из вершины к основанию, совпадают; а в равностороннем — из любой вершины. Об этом подробно в уроке 10.

Урок 10. Равнобедренный треугольник и его свойства

  1. ∠B = 47° (углы при основании равны).
  2. (40 − 12) : 2 = 14 см.
  3. 50 − 2·18 = 50 − 36 = 14 см.
  4. 3 · 7 = 21 см.
  5. Биссектриса к основанию — это и медиана, D — середина AB, AD = 14 : 2 = 7 см.
  6. Высота перпендикулярна основанию: ∠CHA = 90°.
  7. Равны стороны, лежащие против равных углов: против ∠M лежит NK, против ∠K лежит MN, значит NK = MN (треугольник равнобедренный с основанием MK).
  8. Другой угол при основании тоже равен 65° (углы при основании равны).
  9. В △ABQ и △BAP: AB общая, ∠A = ∠B (углы при основании), AP = BQ (дано). Эти стороны и угол между... аккуратнее: рассмотри △CAQ и △CBP — CA = CB, ∠C общий, CQ = CB − BQ = CA − AP = CP, значит по первому признаку △CAQ = △CBP, откуда AQ = BP.

Урок 11. Второй признак равенства треугольников

  1. К стороне AC (углы A и C опираются на её концы).
  2. MN = AB = 9 см, ∠M = ∠A = 40°, ∠N = ∠B = 75°.
  3. △AOC = △BOD: CO = OD (O середина), ∠C = ∠D (дано), ∠AOC = ∠BOD (вертикальные). По второму признаку (сторона CO с прилежащими углами) равны, значит AC = BD.
  4. Второй признак: сторона AB общая, два прилежащих к ней равных угла (при A и при B) → треугольники равны по стороне и двум прилежащим углам.
  5. △DAB и △CBA: AB = BA общая, ∠DAB = ∠CBA, ∠DBA = ∠CAB — два угла, прилежащих к AB. По второму признаку треугольники равны.
  6. △ABC и △A₁B₁C₁ равны по стороне BC и двум прилежащим углам B и C (второй признак), значит AB = A₁B₁.
  7. Напрямую второй признак не применить — он требует, чтобы оба угла прилегали к данной стороне (опирались на её концы). Если угол против стороны, нужно сперва дойти до прилежащих углов другими рассуждениями.
  8. ∠A = ∠B (углы при основании). AK, BL — биссектрисы, значит ∠KAB = ∠A : 2 = ∠B : 2 = ∠LBA. В △ABK и △BAL: AB = BA (общая), ∠KAB = ∠LBA, ∠KBA = ∠LAB (это сами углы ∠B и ∠A, которые равны). По второму признаку △ABK = △BAL, откуда AK = BL.

Урок 12. Третий признак равенства треугольников (по трём сторонам)

  1. Если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого, треугольники равны.
  2. У треугольника длины трёх сторон задают форму однозначно (третий признак), поэтому он не перекашивается. У четырёхугольника при тех же сторонах углы могут меняться — он не жёсткий. Укрепляют диагональю.
  3. Да, равны: стороны те же (6, 9, 11), просто перечислены в другом порядке; подбираем соответствие 6↔6, 9↔9, 11↔11 — третий признак.
  4. AB = AD, CB = CD (условие), AC — общая ⟹ по SSS △ABC = △ADC.
  5. MA = MB, PA = PB, PM — общая ⟹ △PAM = △PBM ⟹ ∠PMA = ∠PMB; смежные равные углы ⟹ по 90° ⟹ PM ⊥ AB.
  6. AB = CD, BC = AD, AC — общая (диагональ) ⟹ △ABC = △CDA по SSS ⟹ ∠B = ∠D.
  7. OA = OB, CA = CB, OC — общая ⟹ △OAC = △OBC по SSS ⟹ ∠AOC = ∠BOC ⟹ OC — биссектриса.
  8. ⭐ Из равенства △ABC = △A₁B₁C₁ имеем AB = A₁B₁ и ∠B = ∠B₁. Дано BD = B₁D₁. Тогда △ABD = △A₁B₁D₁ по первому признаку (две стороны AB, BD и угол B между ними) ⟹ AD = A₁D₁.

Урок 13. Окружность

  1. См. определения в разделе «Разбираемся в теме»: окружность — линия точек на равном расстоянии от центра; круг — часть плоскости внутри окружности; радиус — отрезок центр–точка; хорда — отрезок между двумя точками окружности; диаметр — хорда через центр; дуга — часть окружности между двумя точками.
  2. d = 2 · 7,5 = 15 см.
  3. r = 24 : 2 = 12 см.
  4. Чертёж: окружность r = 3 см с подписанными радиусами, диаметром и хордой. Хорда короче диаметра.
  5. △KOL равнобедренный (OK = OL — радиусы), угол при вершине 90°, значит при основании по (180° − 90°) : 2 = 45°. Это прямоугольный равнобедренный треугольник.
  6. OA и OC — радиусы, OA = OC ⟹ △AOC равнобедренный.
  7. OP = OR, OQ = OS (радиусы), PQ = RS (условие) ⟹ △OPQ = △ORS по третьему признаку.
  8. Через две данные точки — ровно одна хорда (через две точки проходит единственная прямая, а отрезок между ними и есть хорда). Диаметров в окружности — бесконечно много (любая прямая через центр даёт диаметр).
  9. ⭐ O₁A = O₁B (радиусы первой окружности), O₂A = O₂B (радиусы второй), O₁O₂ — общая ⟹ △O₁AO₂ = △O₁BO₂ по третьему признаку.

Урок 14. Задачи на построение циркулем и линейкой

  1. Циркуль — проводить окружности (дуги) и откладывать равные расстояния; линейка без делений — проводить прямые через две точки.
  2. Откладываем дугой раствор данного отрезка от начала луча (построение 1). Линейкой длины должны совпасть.
  3. Построение 2: дуга из вершины, перенос хорды CD. Равенство гарантирует △OCD = △AEF (SSS).
  4. Построение 3: дуга из вершины + две равные засечки. Проверить можно, наложив одну половину угла на другую (или измерив транспортиром — половины равны).
  5. Построение 4: две дуги равного раствора (больше половины отрезка) из концов; прямая через точки пересечения — серединный перпендикуляр, она и делит отрезок пополам, и перпендикулярна ему.
  6. Построение 5: отложить OA = OB по прямой, засечки из A и B, прямая OC ⊥ a.
  7. Построение из задачи 5: дуга из K даёт A и B на прямой, засечки из A и B с другой стороны дают L, KL ⊥ a.
  8. Треугольник со сторонами 3, 4, 5 — прямоугольный, прямой угол лежит против стороны 5 (между сторонами 3 и 4). Угольник покажет 90°.
  9. ⭐ Сначала построй перпендикуляр (угол 90°), затем построй биссектрису этого прямого угла — она даст 45°.

Урок 15. Признаки параллельности двух прямых

  1. Параллельные прямые — прямые на плоскости, которые не пересекаются. Обозначение: a ∥ b.
  2. Накрест лежащие: 3 и 5, 4 и 6. Односторонние: 4 и 5, 3 и 6. Соответственные: 1 и 5, 2 и 6, 4 и 8, 3 и 7 (по нумерации с Рис. 1; у тебя свои номера — главное, чтобы пары стояли по правилам Z, П, F).
  3. Да, параллельны: накрест лежащие равны (38° = 38°) → признак 1.
  4. Нет: соответственные не равны (100° ≠ 95°).
  5. 180° − 75° = 105° (по признаку 3).
  6. 62° — накрест лежащие должны быть равны (признак 1).
  7. Потому что прямые могут пересечься дальше, за пределами листа; «не видно пересечения» — не доказательство. Нужен признак по углам.
  8. ⭐ Соответственный 130° → накрест лежащий с тем же углом тоже даёт 130° (вертикальные равны), а односторонний к нему = 180° − 130° = 50°. Сумма односторонних: 130° + 50° = 180° — признак 3 выполняется, прямые параллельны.

Урок 16. Аксиома параллельных прямых

  1. Аксиома — утверждение, принимаемое без доказательства; теорема же доказывается на основе аксиом. Пример: «через две точки проходит единственная прямая».
  2. Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.
  3. (1) Прямая, пересекающая одну из двух параллельных, пересекает и другую. (2) Две прямые, параллельные третьей, параллельны между собой.
  4. Да, пересекает (следствие 1): иначе k была бы параллельна n, и через точку пересечения проходили бы две параллельные n — нарушение аксиомы.
  5. x ∥ y (следствие 2).
  6. Ни одной новой — параллельная единственна (аксиома).
  7. Существование можно построить (например, через перпендикуляры), а единственность — это и есть содержание аксиомы, её принимают без доказательства.
  8. ⭐ Николай Лобачевский (XIX век; также Я. Бойяи и К. Гаусс). В его геометрии через точку вне прямой проходит бесконечно много прямых, не пересекающих данную; сумма углов треугольника меньше 180°. Геометрия непротиворечива и применяется в физике.

Урок 17. Свойства параллельных прямых

  1. Признак: из равенства углов выводим параллельность. Свойство: из параллельности выводим равенство (или сумму 180°) углов. Это взаимно обратные теоремы.
  2. (1) Накрест лежащие равны. (2) Соответственные равны. (3) Сумма односторонних = 180°.
  3. 53° (свойство 1).
  4. 118° (свойство 2).
  5. 180° − 64° = 116° (свойство 3).
  6. Четыре угла по 40° и четыре по 140° (180° − 40°).
  7. 2x + 15 = 4x − 25 → 40 = 2x → x = 20; угол = 2·20 + 15 = 55°.
  8. 4x + 5x = 180° → x = 20°; углы 80° и 100°.
  9. ⭐ Односторонние в сумме 180°. Пусть меньший x, тогда больший x + 40. x + (x + 40) = 180 → 2x = 140 → x = 70. Углы: 70° и 110°.

Урок 18. Теорема о сумме углов треугольника

  1. 180° − 45° − 65° = 70°.
  2. Каждый угол 60°: 3x = 180°, x = 60°.
  3. 90° − 28° = 62°.
  4. Третий угол: 180° − 90° − 47° = 43°. Треугольник прямоугольный.
  5. Части 1x, 2x, 3x; 6x = 180°, x = 30°. Углы 30°, 60°, 90° — прямоугольный.
  6. Углы при основании равны по 70°, значит угол при вершине: 180° − 70° − 70° = 40°.
  7. Нет. Два тупых угла дали бы в сумме больше 180°, а это невозможно.
  8. ∠A + ∠B = 180° − 60° = 120°. Так как ∠A = 2∠B, то 2∠B + ∠B = 120°, 3∠B = 120°, ∠B = 40°, ∠A = 80°.
  9. ⭐ ∠B + ∠C = 180° − 40° = 140°. Биссектрисы дают половины: (∠B + ∠C)/2 = 70°. В треугольнике BOC: ∠BOC = 180° − 70° = 110°.

Урок 19. Внешний угол треугольника

  1. 180° − 110° = 70°.
  2. Внешний угол при C = ∠A + ∠B = 35° + 75° = 110°.
  3. 130° − 60° = 70°.
  4. 180° − 48° = 132°.
  5. Внешний угол при вершине = сумма двух углов при основании = 50° + 50° = 100°.
  6. Части 2x и 3x; 5x = 100°, x = 20°. Углы 40° и 60°.
  7. Нет. Внешний угол равен сумме двух не смежных углов, значит он больше каждого из них. А 50° < 60° — противоречие.
  8. ⭐ Внутренний ∠A = 180° − 130° = 50°; ∠B = 180° − 120° = 60°. Тогда ∠C = 180° − 50° − 60° = 70°. Итог: ∠A = 50°, ∠B = 60°, ∠C = 70°.

Урок 20. Соотношения между сторонами и углами треугольника

  1. Стороны по возрастанию 4 < 5 < 6, значит и углы против них по возрастанию в том же порядке: угол против 4 < угол против 5 < угол против 6.
  2. Наибольший угол A (80°) ⇒ наибольшая сторона BC; наименьший угол B (40°) ⇒ наименьшая сторона AC.
  3. Самый большой угол — прямой (90°). Против него лежит гипотенуза — она самая длинная.
  4. Равны углы P и Q ⇒ равны стороны против них: PR = QR (треугольник равнобедренный).
  5. ∠D = ∠F ⇒ стороны против них равны: против ∠D лежит EF, против ∠F лежит DE, значит EF = DE = 8 см.
  6. ∠A = 90° — наибольший угол, против него лежит BC, значит BC > AB и BC > AC (BC — гипотенуза).
  7. Равны стороны по 10 см ⇒ равны углы против них (углы при основании 12). Это равнобедренный треугольник.
  8. Нет. Сторона AB лежит против угла C, а самый большой угол здесь A (100°), значит самая длинная сторона — BC (против A), а не AB.
  9. ⭐ ∠C = 180° − 70° − 70° = 40°. Углы A и B равны (по 70°) и больше ∠C. Наибольший угол... углы A и B равны и оба наибольшие, против них лежат стороны BC (против A) и AC (против B) — они равны и являются наибольшими; AB (против C = 40°) — наименьшая. Наибольшие стороны: AC = BC.

Урок 21. Неравенство треугольника

  1. Наибольшая 10; 5 + 7 = 12 > 10. Да, можно.
  2. Наибольшая 9; 4 + 4 = 8 < 9. Нет, нельзя.
  3. 12 − 5 < x < 12 + 5, то есть 7 см < x < 17 см.
  4. 6 − 6 < x < 6 + 6, то есть 0 < x < 12 см (сторона больше 0 и меньше 12).
  5. 1 + 2 = 3, не больше 3 (равно). Неравенство строгое, поэтому треугольника нет (стороны легли бы в одну линию).
  6. Боковые не могут быть по 5 (5 + 5 = 10 < 11). Значит стороны 11, 11, 5, периметр = 27 см.
  7. Тогда третья сторона = 20 − 9 − 2 = 9 см. Проверим: стороны 9, 2, 9. Наибольшая 9; 2 + 9 = 11 > 9 — да, может (треугольник 9, 9, 2 существует).
  8. Проверяем тройки: (3,5,6) — 3+5=8>6 ✓; (3,5,9) — 3+5=8<9 ✗; (3,6,9) — 3+6=9, не больше 9 ✗; (5,6,9) — 5+6=11>9 ✓. Подходят: (3, 5, 6) и (5, 6, 9).
  9. ⭐ Прямой путь AB = 10 км, путь через лагерь = 14 км. Экономия = 14 − 10 = 4 км.

Урок 22. Прямоугольные треугольники и их свойства

⏱ Мини-вызовы: второй угол 90° − 62° = 28°; в задаче-разогреве 90° − 62° = 28° (один острый угол подсказан, второй 28°).

  1. 90° − 41° = 49°.
  2. Гипотенуза — сторона против прямого угла N, то есть MK.
  3. Катет против угла 30° = половине гипотенузы: ½ · 24 = 12 см.
  4. 9 = ½ · 18, значит катет = половина гипотенузы, угол против него = 30°.
  5. 2x + 3x = 90°, 5x = 90°, x = 18°; углы 36° и 54°.
  6. ∠A = 90° − 60° = 30°; катет CB лежит против ∠A, значит CB = ½·AB, отсюда AB = 2·12 = 24 см.
  7. x + (x + 16°) = 90°, 2x = 74°, x = 37°; углы 37° и 53°.
  8. Катет AC лежит против ∠B = 30°, значит AC = ½ · 7 = 3,5 см.
  9. ⭐ Биссектриса делит ∠A пополам: 40° : 2 = 20°. Это и есть угол между биссектрисой и катетом AC. Ответ: 20°.

Урок 23. Признаки равенства прямоугольных треугольников

⏱ Мини-вызов: да, треугольники равны — гипотенузы равны и острые углы равны, это признак по гипотенузе и острому углу.

  1. По двум катетам.
  2. По гипотенузе и острому углу.
  3. Да, равны — по гипотенузе и катету.
  4. Высота перпендикулярна основанию, поэтому оба получившихся треугольника прямоугольные (у каждого угол при основании высоты равен 90°).
  5. На 4 см — точки биссектрисы равноудалены от обеих сторон угла (доказано в задаче 6 разбора).
  6. Прямоугольные треугольники с гипотенузами OA = OB и вертикальными острыми углами при O равны по гипотенузе и острому углу, значит перпендикуляры (катеты) равны.
  7. Нельзя. Равные углы дают только подобную форму, но треугольники могут быть разного размера. Нужно равенство хотя бы одной стороны.
  8. ⭐ Рассмотрим прямоугольные △AHB (∠AHB = 90°) и △CKB (∠CKB = 90°). У них угол B — общий, и катеты AH = CK (по условию). Значит, △AHB = △CKB по катету и острому углу, откуда гипотенузы AB = CB. Треугольник равнобедренный.

Урок 24. Расстояние от точки до прямой

⏱ Мини-вызовы по ходу урока — самопроверка построений, отдельных ответов нет (сравни перпендикуляр с наклонными — перпендикуляр должен быть короче).

  1. Расстояние = длина перпендикуляра = 8 см.
  2. Нет. Перпендикуляр — катет, наклонная — гипотенуза, а гипотенуза всегда длиннее катета.
  3. 4 см — параллельные прямые везде на одинаковом расстоянии.
  4. AH лежит против угла 30°, значит AH = ½·AM = ½·12 = 6 см.
  5. Перпендикуляр 5 см лежит против угла 30°, значит наклонная = 2·5 = 10 см.
  6. Все равны 6 см — точки прямой a равноудалены от b.
  7. Длину перпендикуляра, опущенного из M на сторону угла.
  8. ⭐ AH = 9 см (катет), AM = 18 см (гипотенуза). AH = ½·AM, значит угол против AH равен 30°. Это угол при вершине M. А угол между наклонной AM и перпендикуляром AH — при вершине A — равен 90° − 30° = 60°.

Урок 25. Построение треугольника по трём элементам

⏱ Мини-вызов (5-6-8 см): треугольник строится, так как 5 + 6 = 11 > 8 и остальные неравенства верны.

  1. Циркуль и линейка (без делений).
  2. Откладываем угол 50° с вершиной; на его сторонах циркулем откладываем по 5 см; соединяем концы. Получится равнобедренный треугольник.
  3. Третий угол = 180° − 30° − 60° = 90° (получится прямоугольный треугольник).
  4. Да: 4 + 4 = 8 < 9 — нет, неравенство нарушено (8 < 9), значит нельзя.
  5. Откладываем основание 4 см; две окружности радиуса 6 см с центрами в концах; пересечение — вершина. Стороны 6, 6, основание 4 — всё построено.
  6. Нет: 100° + 85° = 185° > 180°, лучи не пересекутся (расходятся).
  7. Равносторонний треугольник имеет 3 оси симметрии.
  8. ⭐ Чертим гипотенузу AB = 6 см. При A откладываем угол 30°, при B восставляем перпендикуляр (90°) к AB. Пересечение лучей — вершина C прямого угла. Проверка: углы 30° + 90° + 60° = 180°. Катет против 30° получится равным ½ · 6 = 3 см.

Урок 26. Итоговое повторение за 7 класс

  1. x + 4x = 180°, 5x = 180°, x = 36°; углы 36° и 144°.
  2. Если один угол 50°, то вертикальный ему тоже 50°, а два смежных по 180° − 50° = 130°. Итого: 50°, 130°, 50°, 130°.
  3. По двум сторонам и углу между ними (первый признак).
  4. 180° − 55° − 65° = 60°.
  5. Углы при основании равны по 50°, значит при вершине: 180° − 50° − 50° = 80°.
  6. Накрест лежащие углы при параллельных прямых равны: 73°.
  7. Смежный с внешним углом внутренний: 180° − 130° = 50°.
  8. 90° − 54° = 36°.
  9. Катет против угла 30° = ½ гипотенузы = ½ · 16 = 8 см.
  10. 6 см — параллельные прямые везде на одинаковом расстоянии.
  11. Проверка: 4 + 5 = 9 > 7, остальные неравенства тоже верны — построение возможно. Шаги: откладываем сторону 7 см; окружность радиуса 4 см из одного конца; окружность радиуса 5 см из другого; пересечение — третья вершина; соединяем.
  12. ⭐ Биссектриса делит прямой угол пополам: ∠ACD = ∠BCD = 90° : 2 = 45°. В треугольнике BCD: ∠BCD = 45°, ∠B = 50°, значит ∠BDC = 180° − 45° − 50° = 85°. Итак: ∠ACD = 45°, ∠BCD = 45°, углы △BCD: 45°, 50°, 85°.