Урок 8. Геометрия: углы, площади, разрезания

Математика

🎯 Что ты узнаешь

Что такое смежные и вертикальные углы и как их находить.
Почему сумма углов треугольника равна 180°, а у многоугольника считается по формуле.
Как работает неравенство треугольника и почему из любых трёх палочек треугольник не сложишь.
Что такое симметрия и как она помогает решать задачи почти без вычислений.
Как находить площади фигур на клетчатой бумаге приёмом «разрежь и переложи» и разрезать фигуры на равные части.
Волшебную формулу Пика для площади по точкам решётки.

📖 Разбираемся в теме

Вырежи из бумаги любой треугольник: кривой, косой, какой угодно. Оторви три уголка и приложи их вершинами в одну точку. Что получится? Они сложатся в идеально ровную прямую линию — развёрнутый угол, 180°. Всегда. Хоть с тысячей разных треугольников. Сегодня ты поймёшь, почему так происходит, научишься измерять фигуры, просто считая точки, и узнаешь несколько приёмов, которыми геометры пользуются на олимпиадах. Поехали.

🤔 Зачем это на олимпиаде? Геометрия — про то, чтобы увидеть, а не вычислить. Часто решение выглядит так: «а давай проведём вот эту линию» или «а давай перевернём вот эту часть», и задача рассыпается сама. Красивый чертёж уже наполовину решение. Поэтому первое правило олимпиадной геометрии: рисуй крупно и аккуратно.

Углы

Угол — это «раствор» между двумя лучами, выходящими из одной точки (она называется вершиной). Меряем в градусах. Полный оборот — 360°, половина оборота (развёрнутый угол, прямая) — 180°, четверть (прямой угол) — 90°.

Удобно держать в голове несколько «опорных» углов, чтобы прикидывать на глаз:

Рис. 1. Виды углов.

Смежные углы. Два угла называют смежными, если у них есть общая сторона, а две другие стороны лежат на одной прямой (то есть вместе образуют развёрнутый угол).

Свойство: сумма смежных углов равна 180°. Например, если один из них $40°$ , то смежный с ним — $140°$ . Это очень частый приём: «достроить до 180°».

Вертикальные углы. Когда две прямые пересекаются, получаются четыре угла. Те, что лежат «напротив друг друга» (не рядом, а через точку пересечения), называются вертикальными, и они равны. Почему? Давай докажем аккуратно. Каждый из них смежный с одним и тем же третьим углом. Если $∠1 + ∠2 = 180°$ и $∠3 + ∠2 = 180°$ , то левые части равны, значит $∠1 = ∠3$ . Готово — это настоящее доказательство, а не «на глаз».

Рис. 2. Вертикальные и смежные углы.

💡 Приём «цепочка равных и смежных». В задачах с пересекающимися прямыми не считай каждый угол отдельно. Найди один, и «раскидай» его по всей картинке: напротив тот же угол, рядом — дополнение до 180°. Часто одного известного угла хватает, чтобы найти все.

Сумма углов треугольника

Сумма углов любого треугольника равна 180°. Это один из самых важных фактов геометрии (и тот самый фокус с оторванными уголками из начала урока). Разберём два объяснения, оба полезны.

Объяснение через «прогулку с поворотами». Представь, что ты муравей и идёшь по сторонам треугольника, в каждой вершине поворачивая. Обойдя весь треугольник и вернувшись в старт, ты сделаешь ровно один полный оборот — 360°. В каждой вершине ты поворачиваешь на «внешний угол» (это $180°$ минус внутренний угол). Значит сумма трёх внешних углов $= 360°$ , то есть $3 \cdot 180° - (сумма внутренних) = 360°$ , откуда сумма внутренних $= 540° - 360° = 180°$ .

Рис. 3. Сумма углов треугольника.

Объяснение через параллельную прямую (его любят на олимпиадах). Проведём через верхнюю вершину прямую, параллельную основанию.

Тут пригодится один простой факт про параллельные прямые. Если их пересекает третья прямая (её называют секущей), то к обеим параллельным она наклонена одинаково: ведь параллельные никуда не сворачивают. Поэтому угол, который секущая образует внизу, в точности повторяется наверху, по другую сторону от секущей. Такие равные углы называют накрест лежащими (они стоят «крест-накрест» по разные стороны секущей).

Рис. 4. Накрест лежащие углы.

В нашем треугольнике каждая боковая сторона — это как раз секущая для основания и проведённой параллельной прямой. Значит нижний левый угол $α$ «переезжает» наверх к вершине, и нижний правый $β$ — тоже. Теперь у самой вершины рядом стоят три угла: $α$ , $γ$ и $β$ , и вместе они заполняют развёрнутый угол, то есть прямую. А прямая — это $180°$ . Значит $α + γ + β = 180°$ .

Рис. 5. Углы «переезжают» к вершине.

Внешний угол. Если продлить сторону треугольника за вершину, получится угол между этим продолжением и соседней стороной. Его называют внешним углом при этой вершине. Внутренний угол и внешний при одной вершине — смежные, поэтому вместе дают $180°$ .

Рис. 6. Внешний угол треугольника.

📌 Следствие, которое пригодится. Внешний угол треугольника равен сумме двух не смежных с ним внутренних. Смотри: внешний угол $= 180° - γ$ (смежный с $γ$ ), а $α + β = 180° - γ$ (из суммы углов). Значит внешний угол $= α + β$ . Одна строчка, а экономит кучу времени.

Сумма углов многоугольника

У выпуклого $n$ -угольника сумму углов считают так: разрежем его на треугольники из одной вершины. Из одной вершины можно провести диагонали и разбить $n$ -угольник ровно на $(n - 2)$ треугольника. В каждом сумма углов 180°. Значит:

сумма углов n - угольника = (n - 2) \cdot 180°.

Проверим: треугольник $n = 3$ : $(3 - 2) \cdot 180° = 180°$ . Четырёхугольник $n = 4$ : $(4 - 2) \cdot 180° = 360°$ . Пятиугольник $n = 5$ : $540°$ . Шестиугольник: $720°$ .

Рис. 7. Пятиугольник → 3 треугольника.

💡 Лайфхак: Не запоминай отдельно сумму углов для четырёх-, пяти-, шестиугольника. Запомни одну формулу $(n - 2) \cdot 180°$ , и любой случай посчитаешь за секунду.

Неравенство треугольника

Возьми три палочки: 2 см, 3 см и 10 см. Попробуй сложить из них треугольник. Не выйдет: две короткие вместе ( $2 + 3 = 5$ ) просто не дотянутся до концов длинной. Отсюда важнейшее правило:

📌 Неравенство треугольника. Треугольник существует тогда и только тогда, когда каждая сторона меньше суммы двух других. Достаточно проверить самую длинную: если она меньше суммы двух других, треугольник есть.

Почему так? Кратчайший путь между двумя точками — прямая. Если бы одна сторона была равна или больше суммы двух других, то «в обход» через третью вершину получалось бы не длиннее, чем напрямик, а так не бывает, кроме случая, когда все три точки на одной прямой (тогда это не треугольник, а «слипшийся» отрезок).

Рис. 8. Неравенство треугольника.

Симметрия

Осевая симметрия — это когда фигуру можно «сложить по линии» (оси), и половинки точно совпадут. У квадрата 4 таких оси, у равностороннего треугольника — 3, у прямоугольника — 2, у круга — бесконечно много. Поворотная (центральная) симметрия — когда фигура совмещается сама с собой при повороте вокруг центра (вертушка, снежинка).

Симметрия — это не украшение, а рабочий инструмент. Если в задаче есть ось симметрии, то симметричные точки, отрезки и углы равны, и это можно использовать без вычислений.

Рис. 9. Виды симметрии.

Периметр

Периметр — это длина «забора» вокруг фигуры, то есть сумма длин всех её сторон. У прямоугольника $a \times b$ периметр $P = 2 (a + b)$ , у квадрата со стороной $a$ — просто $P = 4 a$ .

Площади на клетчатой бумаге

Площадь — это «сколько единичных квадратиков помещается в фигуру». Прямоугольник $a \times b$ имеет площадь $a \cdot b$ .

Прямоугольный треугольник. Так называют треугольник, у которого один угол прямой (90°). Две стороны, образующие этот прямой угол, называют катетами, а третью, самую длинную сторону напротив прямого угла — гипотенузой. Любой прямоугольный треугольник — это ровно половина прямоугольника, построенного на его катетах: проведи в прямоугольнике диагональ, и он распадётся на два одинаковых прямоугольных треугольника. Поэтому площадь равна половине произведения катетов:

S = \frac{1}{2} a b, где a, b - катеты .

Сложные фигуры можно резать на простые и складывать площади, или, наоборот, достраивать до прямоугольника и вычитать лишнее.

📌 Полезно помнить. У фигур с одинаковым периметром площадь может быть очень разной! Из верёвочки длиной 20 см можно сделать квадрат $5 \times 5$ (площадь 25) или узкий прямоугольник $9 \times 1$ (площадь 9). Периметр одинаковый — 20, а площади в разы отличаются.

💡 Приём «разрежь и переложи». Хочешь найти площадь косой фигуры на клетке? Отрежь торчащий треугольник и переложи его в пустоту с другой стороны так, чтобы получился ровный прямоугольник. Площадь при этом не меняется (мы ничего не выкинули и не добавили), а прямоугольник считать легко. Этот же приём доказывает, например, что площадь параллелограмма равна «основание × высота».

Рис. 10. Параллелограмм → прямоугольник.

Формула Пика

Это настоящая жемчужина. Если у фигуры (многоугольника) все вершины — в узлах клетчатой бумаги (в точках, где пересекаются линии), то её площадь можно найти, просто посчитав точки:

S = В + \frac{Г}{2} - 1,

где В — число узлов внутри фигуры, Г — число узлов на границе (на сторонах и в вершинах). Площадь $S$ при этом получается в клетках, то есть в единичных квадратиках. Удивительно: не нужно ничего измерять, только считать точки!

Рис. 11. Формула Пика: два примера.

⚠️ Осторожно, частая ошибка! Узлы в вершинах многоугольника — это тоже граничные узлы, их считают в Г, а не в В. И ещё: если сторона идёт наискосок, на ней могут «прятаться» узлы (например, отрезок из $(0, 0)$ в $(2, 2)$ проходит через $(1, 1)$ ): их легко пропустить. Проверяй каждую сторону!

🤔 А знаешь ли ты? Эту формулу придумал австрийский математик Георг Пик в 1899 году. Она работает для любого, даже самого кривого многоугольника с вершинами в узлах, хоть в виде дракона. Никаких линеек, только счёт точек.

✍️ Разбор примеров

Пример 1. Две прямые пересеклись. Один из четырёх углов равен 35°. Найди остальные три.

Как рассуждаем. Угол, смежный с данным, дополняет до 180°: $180° - 35° = 145°$ . Угол, вертикальный данному (напротив), равен ему: 35°. Четвёртый угол вертикален углу 145°, значит тоже 145°.

Ответ: 35°, 145°, 35°, 145°.

Пример 2. В треугольнике два угла равны 50° и 70°. Найди третий угол.

Как рассуждаем. Сумма углов треугольника 180°. Третий $= 180° - 50° - 70° = 60°$ .

Ответ: 60°.

Пример 3. В треугольнике внешний угол при одной вершине равен 110°, а один из двух других (внутренних) углов равен 45°. Найди все три внутренних угла.

🤔 Здесь пригодится следствие про внешний угол. Реши сначала сам, а потом сверься.

Как рассуждаем. Внутренний угол при той вершине смежен с внешним: $180° - 110° = 70°$ . По правилу «внешний угол = сумма двух не смежных внутренних» имеем $110° = 45° + (третий угол)$ , значит третий угол $= 110° - 45° = 65°$ . Проверка: $70° + 45° + 65° = 180°$ . Сходится!

Ответ: 70°, 45°, 65°.

Пример 4. Чему равна сумма углов семиугольника? А чему равен один угол правильного семиугольника (где все углы равны)?

Как рассуждаем. Сумма $= (n - 2) \cdot 180° = (7 - 2) \cdot 180° = 5 \cdot 180° = 900°$ . Если все 7 углов равны, каждый $= 900°/7 \approx 128, 57°$ .

Ответ: сумма 900°; один угол правильного семиугольника $\approx 128, 6°$ .

Пример 5. Существует ли треугольник со сторонами 4, 5 и 10? А со сторонами 4, 5 и 8?

Как рассуждаем. Проверяем самую длинную сторону. Для 4, 5, 10: сумма двух коротких $4 + 5 = 9$ , а это меньше 10. Значит короткие стороны не дотянутся. Треугольника нет. Для 4, 5, 8: сумма двух коротких $4 + 5 = 9 > 8$ . Самая длинная сторона меньше суммы двух других, треугольник существует.

Ответ: со сторонами 4, 5, 10 — нельзя; со сторонами 4, 5, 8 — можно.

Пример 6. Найди площадь треугольника с вершинами в узлах клетчатой бумаги: $(0, 0)$ , $(4, 0)$ , $(0, 3)$ . (Сторона клетки = 1.)

⏱ Попробуй сам, двумя способами: как половину прямоугольника и по формуле Пика. Совпадёт?

Как рассуждаем. Это прямоугольный треугольник: катеты лежат по осям, длины 4 и 3. Площадь прямоугольного треугольника = половина произведения катетов: $S = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 3 = 6$ .

Проверим формулой Пика. Узлы на границе: по нижнему катету от $(0, 0)$ до $(4, 0)$ узлы $(0, 0), (1, 0), (2, 0), (3, 0), (4, 0)$ — 5 штук; по левому катету добавляются $(0, 1), (0, 2), (0, 3)$ — 3 новых (точку $(0, 0)$ уже сосчитали); на гипотенузе от $(4, 0)$ до $(0, 3)$ промежуточных узлов нет, потому что разности координат 4 и 3 взаимно просты (концы уже учтены). Итого Г $= 5 + 3 = 8$ . Внутренних узлов ровно три: это $(1, 1)$ , $(1, 2)$ и $(2, 1)$ . Отметь их на чертеже, остальные узлы либо на границе, либо снаружи. Значит В $= 3$ . Тогда $S = В + \frac{Г}{2} - 1 = 3 + \frac{8}{2} - 1 = 3 + 4 - 1 = 6$ . Совпало!

Рис. 12. Пик для треугольника.

Ответ: 6.

Пример 7. На клетчатой бумаге нарисован «флажок» — многоугольник с вершинами в узлах. Внутри него 11 узлов, на границе 8 узлов. Найди площадь.

Как рассуждаем. Прямо применяем формулу Пика: В $= 11$ , Г $= 8$ .

S = В + \frac{Г}{2} - 1 = 11 + \frac{8}{2} - 1 = 11 + 4 - 1 = 14.

Ответ: 14.

Пример 8. Найди площадь «косого» четырёхугольника с вершинами в узлах $(1, 1)$ , $(4, 2)$ , $(3, 4)$ , $(1, 3)$ приёмом «достроим и вычтем».

💡 Считать такую фигуру «в лоб» тяжело. Хитрость: обведём её самым маленьким прямоугольником и отрежем лишние уголки.

Как рассуждаем. Самый маленький прямоугольник, в который влезает фигура, — это $x$ от 1 до 4 и $y$ от 1 до 4, то есть прямоугольник $3 \times 3$ площадью 9. Теперь по краям остаются прямоугольные треугольнички, которые надо вычесть. Их четыре, по одному «срезанному углу»: с катетами $3 \times 1$ , $1 \times 2$ , $2 \times 1$ и $0 \times 2$ (последний вырождается: там граница идёт по стороне прямоугольника). Аккуратно посчитав срезанные углы: $\frac{3 \cdot 1}{2} + \frac{2 \cdot 1}{2} + \frac{1 \cdot 2}{2} = 1, 5 + 1 + 1 = 3, 5$ . Значит площадь четырёхугольника $= 9 - 3, 5 = 5, 5$ .

Рис. 13. Пример 8: достраиваем и вычитаем.

Проверим формулой Пика. Здесь легко попасться: на левой стороне от $(1, 1)$ до $(1, 3)$ прячется узел $(1, 2)$ . Его обязательно надо посчитать! Значит граничных узлов Г $= 5$ (четыре вершины плюс $(1, 2)$ ); на остальных сторонах промежуточных узлов нет, потому что разности координат взаимно просты. Внутренних узлов В $= 4$ . Тогда $S = В + \frac{Г}{2} - 1 = 4 + \frac{5}{2} - 1 = 4 + 2, 5 - 1 = 5, 5$ . Оба способа дали $5, 5$ . Сходится! А вот если бы мы забыли узел $(1, 2)$ и взяли Г $= 4$ , получили бы неверные $5$ . Поэтому каждую сторону проверяй по клеточкам, особенно вертикальные и горизонтальные, на них узлы легко пропустить.

Ответ: площадь $= 5, 5$ (оба способа — «достроим и вычтем» и формула Пика — дают один результат).

Пример 9. Квадрат 4×4 (на клетчатой бумаге) разрежь на 4 одинаковые по форме и размеру части. Сколькими принципиально разными способами это можно сделать? Покажи хотя бы три.

Как рассуждаем. Площадь квадрата $16$ , значит каждая часть — $16/4 = 4$ клетки. Варианты, которые получаются друг из друга поворотом, считаем одинаковыми. Три принципиально разных способа:

Четыре полосы $1 \times 4$ (всё равно, горизонтальные или вертикальные, — это один и тот же способ с точностью до поворота).
Четыре квадрата $2 \times 2$ .
Четыре Г-образных уголка по 4 клетки, сложенных «вертушкой» вокруг центра (поворотная симметрия на 90°).

Главная идея проверки: площадь каждой части = 4, и 4 части без дырок и наложений покрывают квадрат.

Рис. 14. Три разных разреза 4×4.

📌 Запомни: При разрезании на $k$ равных частей первым делом проверь: площадь каждой части обязана быть $\frac{S}{k}$ . Если не делится нацело, задача уже невозможна.

Ответ: три принципиально разных способа — полосы $1 \times 4$ , квадраты $2 \times 2$ и Г-уголки «вертушкой» (повороты дают тот же тип).

💡 Запомни главное

Смежные углы дают в сумме 180°; вертикальные углы равны.
Сумма углов треугольника всегда 180°. Внешний угол $=$ сумме двух не смежных внутренних.
Сумма углов $n$ -угольника $= (n - 2) \cdot 180°$ . Один угол правильного $n$ -угольника $= \frac{( n - 2 ) \cdot 180°}{n}$ .
Неравенство треугольника: треугольник существует тогда и только тогда, когда каждая сторона меньше суммы двух других; достаточно проверить самую длинную (если она меньше суммы двух других, треугольник есть).
Симметрия делает симметричные отрезки и углы равными. Используй это без вычислений.
Площадь на клетке: режь на простые части («разрежь и переложи») или достраивай до прямоугольника и вычитай лишнее.
Формула Пика: $S = В + \frac{Г}{2} - 1$ (В — узлы внутри, Г — узлы на границе). Работает, только если все вершины в узлах; вершины и узлы на наклонных сторонах — это Г.
При разрезании на $k$ равных частей площадь каждой $= \frac{S}{k}$ — это первая проверка.

📝 Домашнее задание

Две прямые пересеклись, один угол равен 118°. Найди остальные три.
В треугольнике углы относятся как $1 : 2 : 3$ . Найди все три угла.
Чему равна сумма углов десятиугольника? Чему равен один угол правильного десятиугольника?
Существует ли треугольник с углами 90°, 60° и 40°? Объясни.
Найди площадь треугольника с вершинами в узлах $(0, 0)$ , $(5, 0)$ , $(2, 4)$ по формуле Пика и проверь её через «половину основания на высоту».
Многоугольник на клетчатой бумаге имеет внутри 6 узлов, а на границе 10 узлов. Найди его площадь.
Найди площадь четырёхугольника с вершинами $(0, 1)$ , $(3, 0)$ , $(4, 3)$ , $(1, 4)$ (у всех вершин координаты разные, ни одна сторона не идёт вдоль клеток) двумя способами: «достроим прямоугольник и вычтем уголки» и по формуле Пика. Ответы должны совпасть.
Разрежь квадрат 6×6 на 4 одинаковые части тремя разными способами (опиши словами или нарисуй).
⭐ Сумма углов некоторого выпуклого многоугольника равна 1440°. Сколько у него сторон? А может ли сумма углов выпуклого многоугольника быть равной 1000°? Объясни.