Урок 8. Геометрия: углы, площади, разрезания

Математика · ~55 минут

🎯 Что ты узнаешь

Что такое смежные и вертикальные углы и как их находить.
Почему сумма углов треугольника равна 180°, а у многоугольника считается по формуле.
Как находить площади фигур на клетчатой бумаге и разрезать фигуры на равные части.
Волшебную формулу Пика для площади по точкам решётки.

📖 Разбираемся в теме

Вырежи из бумаги любой треугольник — кривой, косой, какой угодно. Оторви три уголка и приложи их вершинами в одну точку. Что получится? Они сложатся в идеально ровную прямую линию — развёрнутый угол, 180°. Всегда. Хоть с тысячей разных треугольников. Сегодня ты поймёшь, почему так происходит, и научишься измерять фигуры, просто считая точки. Поехали.

Углы

Угол — это «раствор» между двумя лучами, выходящими из одной точки. Меряем в градусах. Полный оборот — 360°, половина оборота (развёрнутый угол, прямая) — 180°, четверть (прямой угол) — 90°.

Смежные углы. Если два угла вместе составляют прямую (лежат рядом и их внешние стороны образуют развёрнутый угол), то их сумма равна 180°. Один угол $40°$ — смежный с ним $140°$. Это очень частый приём: «достроить до 180°».

Вертикальные углы. Когда две прямые пересекаются, получаются четыре угла. Те, что лежат «напротив друг друга» (не рядом, а через точку пересечения), называются вертикальными, и они равны. Почему? Каждый из них смежный с одним и тем же третьим углом. Если $\angle 1 + \angle 2 = 180°$ и $\angle 3 + \angle 2 = 180°$, то $\angle 1 = \angle 3$.

Рис. 1. Две пересекающиеся прямые. Углы напротив (одного цвета) равны; соседние дают в сумме 180°.

Сумма углов треугольника

Сумма углов любого треугольника равна 180°. Это один из самых важных фактов геометрии (и тот самый фокус с оторванными уголками из начала урока). Простое объяснение: представь, что ты идёшь по сторонам треугольника и в каждой вершине поворачиваешь. Обойдя весь треугольник и вернувшись, ты повернёшься в сумме на полный оборот — 360°. В каждой вершине ты поворачиваешь на «внешний угол» (это $180°$ минус внутренний угол). Сумма трёх внешних углов = 360°, значит сумма трёх «$180°$ минус внутренний» = 360°, то есть $3\cdot 180° - (\text{сумма внутренних}) = 360°$, откуда сумма внутренних $= 540° - 360° = 180°$.

Рис. 2. Сумма трёх углов любого треугольника всегда равна 180°.

Сумма углов многоугольника

У выпуклого $n$-угольника сумму углов считают так: разрежем его на треугольники из одной вершины. Из одной вершины можно провести диагонали и разбить $n$-угольник ровно на $(n-2)$ треугольника. В каждом — 180°. Значит: $$\text{сумма углов } n\text{-угольника} = (n-2)\cdot 180°.$$ Проверим: треугольник $n=3$: $(3-2)\cdot 180° = 180°$. Четырёхугольник $n=4$: $(4-2)\cdot 180° = 360°$. Пятиугольник $n=5$: $540°$. Шестиугольник: $720°$.

Рис. 3. Пятиугольник делится диагоналями из одной вершины на (n−2)=3 треугольника.

💡 Лайфхак: Не запоминай отдельно сумму углов для четырёх-, пяти-, шестиугольника. Запомни одну формулу $(n-2)\cdot 180°$ — и любой случай посчитаешь за секунду.

Площади на клетчатой бумаге

Площадь — это «сколько единичных квадратиков помещается в фигуру». Прямоугольник $a\times b$ имеет площадь $a\cdot b$. Площадь прямоугольного треугольника — половина прямоугольника. Сложные фигуры можно резать на простые и складывать площади, или, наоборот, достраивать до прямоугольника и вычитать лишнее.

Формула Пика

Это настоящая жемчужина. Если у фигуры (многоугольника) все вершины — в узлах клетчатой бумаги (в точках, где пересекаются линии), то её площадь можно найти, просто посчитав точки: $$S = В + \frac{Г}{2} - 1,$$ где В — число узлов внутри фигуры, Г — число узлов на границе (на сторонах и в вершинах). Удивительно: не нужно ничего измерять, только считать точки!

🤔 А знаешь ли ты? Эту формулу придумал австрийский математик Георг Пик в 1899 году. Она работает для любого, даже самого кривого многоугольника с вершинами в узлах — хоть в виде дракона. Никаких линеек, только счёт точек.

✍️ Разбор примеров

Пример 1. Две прямые пересеклись. Один из четырёх углов равен 35°. Найди остальные три.

Как рассуждаем. Угол, смежный с данным, дополняет до 180°: $180° - 35° = 145°$. Угол, вертикальный данному (напротив), равен ему: 35°. Четвёртый угол вертикален углу 145°, значит тоже 145°.

Ответ: 35°, 145°, 35°, 145°.

Пример 2. В треугольнике два угла равны 50° и 70°. Найди третий угол.

Как рассуждаем. Сумма углов треугольника 180°. Третий $= 180° - 50° - 70° = 60°$.

Ответ: 60°.

Пример 3. Чему равна сумма углов семиугольника? А чему равен один угол правильного семиугольника (где все углы равны)?

Как рассуждаем. Сумма $= (n-2)\cdot 180° = (7-2)\cdot 180° = 5\cdot 180° = 900°$. Если все 7 углов равны, каждый $= 900° / 7 \approx 128{,}57°$.

Ответ: сумма 900°; один угол правильного семиугольника $\approx 128{,}6°$.

Пример 4. Найди площадь треугольника с вершинами в узлах клетчатой бумаги: $(0,0)$, $(4,0)$, $(0,3)$. (Сторона клетки = 1.)

⏱ Попробуй сам — двумя способами: как половину прямоугольника и по формуле Пика. Совпадёт?

Как рассуждаем. Это прямоугольный треугольник: катеты лежат по осям, длины 4 и 3. Площадь прямоугольного треугольника = половина произведения катетов: $S = \frac{1}{2}\cdot 4 \cdot 3 = 6$.

Проверим формулой Пика. Узлы на границе: по нижнему катету от $(0,0)$ до $(4,0)$ узлы $(0,0),(1,0),(2,0),(3,0),(4,0)$ — 5 штук; по левому катету добавляются $(0,1),(0,2),(0,3)$ — 3 новых (точку $(0,0)$ уже сосчитали); на гипотенузе от $(4,0)$ до $(0,3)$ промежуточных узлов нет, потому что разности координат 4 и 3 взаимно просты (концы уже учтены). Итого Г $= 5 + 3 = 8$. Внутренних узлов ровно три: это $(1,1)$, $(1,2)$ и $(2,1)$ — отметь их на чертеже, остальные узлы либо на границе, либо снаружи. Значит В $= 3$. Тогда $S = В + \frac{Г}{2} - 1 = 3 + \frac{8}{2} - 1 = 3 + 4 - 1 = 6$. Совпало!

Рис. 4. Треугольник на решётке. Внутри 3 узла (красные), на границе 8. По Пику: S = 3 + 8/2 − 1 = 6.

Ответ: 6.

Пример 5. На клетчатой бумаге нарисован «флажок» — многоугольник с вершинами в узлах. Внутри него 11 узлов, на границе 8 узлов. Найди площадь.

Как рассуждаем. Прямо применяем формулу Пика: В $= 11$, Г $= 8$. $$S = В + \frac{Г}{2} - 1 = 11 + \frac{8}{2} - 1 = 11 + 4 - 1 = 14.$$

Ответ: 14.

Пример 6. Квадрат 4×4 (на клетчатой бумаге) разрежь на 4 одинаковые по форме и размеру части. Сколькими принципиально разными способами это можно сделать? Покажи хотя бы три.

Как рассуждаем. Площадь квадрата $16$, значит каждая часть имеет площадь $16/4 = 4$ клетки. Способы:

Четыре горизонтальные полосы 4×1.
Четыре вертикальные полосы 1×4.
Четыре квадрата 2×2 (разрезать пополам и ещё раз пополам).
Четыре «уголка»/Г-образные фигурки из 4 клеток — можно сложить их «вертушкой» вокруг центра (поворотная симметрия на 90°).
Четыре прямоугольника 2×2 другой ориентации, или ступенчатые фигуры — главное, чтобы все 4 были одинаковы и заполняли квадрат.

Главная идея проверки: площадь каждой части = 4, и 4 части без дырок и наложений покрывают квадрат.

📌 Запомни: При разрезании на $k$ равных частей первым делом проверь: площадь каждой части обязана быть $\frac{S}{k}$. Если не делится нацело — задача уже невозможна.

Ответ: способов много; не меньше четырёх принципиально разных (полосы горизонтальные, полосы вертикальные, квадратики 2×2, «вертушка» из уголков).

💡 Запомни главное

Смежные углы дают в сумме 180°; вертикальные углы равны.
Сумма углов треугольника всегда 180°.
Сумма углов $n$-угольника $= (n-2)\cdot 180°$. Один угол правильного $n$-угольника $= \frac{(n-2)\cdot 180°}{n}$.
Площадь на клетке: режь на простые части или достраивай до прямоугольника.
Формула Пика: $S = В + \dfrac{Г}{2} - 1$ (В — узлы внутри, Г — узлы на границе). Работает, только если все вершины в узлах.
При разрезании на $k$ равных частей площадь каждой $= \dfrac{S}{k}$ — это первая проверка.

📝 Домашнее задание

Две прямые пересеклись, один угол равен 118°. Найди остальные три.
В треугольнике углы относятся как $1:2:3$. Найди все три угла. (Подсказка: пусть углы $x, 2x, 3x$, их сумма 180°.)
Чему равна сумма углов десятиугольника? Чему равен один угол правильного десятиугольника?
Существует ли треугольник с углами 90°, 60° и 40°? Объясни.
Найди площадь треугольника с вершинами в узлах $(0,0)$, $(5,0)$, $(2,4)$ по формуле Пика и проверь её через «половину основания на высоту».
Многоугольник на клетчатой бумаге имеет внутри 6 узлов, а на границе 10 узлов. Найди его площадь.
Разрежь квадрат 6×6 на 4 одинаковые части тремя разными способами (опиши словами или нарисуй).
⭐ Сумма углов некоторого выпуклого многоугольника равна 1440°. Сколько у него сторон? А может ли сумма углов выпуклого многоугольника быть равной 1000°? Объясни.