Урок 10. Итоговая домашняя олимпиада

Математика · ~2 часа (можно с перерывом)

🎯 Что это

Это не обычный урок, а твоя личная олимпиада. Помнишь, каким ты был девять уроков назад? Тогда слова «инвариант» и «принцип Дирихле» звучали как заклинания. А теперь ты прошёл целый путь: логику, чётность, принцип Дирихле, делимость и остатки, комбинаторику, инварианты и раскраски, игры, геометрию, процессы. Сегодня — финал. Шесть задач, по одной на каждую большую идею курса. Пора показать, на что ты способен.

📜 Напутствие

Дорогой математик! За эти недели ты научился не просто считать, а думать и доказывать, а это, поверь, куда круче, чем считать.

Сегодня — праздник. Представь: ты в большом зале, вокруг тихо шуршат ручки, на столе — листок с шестью задачами и твоя любимая ручка. Часы тикают. Это твоя олимпиада, и решаешь ты её сам, без подсказок.

Не волнуйся, если какая-то задача не поддастся сразу. Знаешь, как выглядит работа настоящего олимпиадника? Он садится, думает, пробует, зачёркивает, рисует на полях, снова пробует, ходит кругами по комнате, и вдруг: «Ага! Вот оно!». Эта секунда «ага!» стоит всех мучений. Именно за ней мы и охотимся. Так что не бойся тупиков: они часть пути.

Главное — получай удовольствие и гордись каждой решённой задачей. Удачи, ты справишься!

🧭 Как настроиться

🤔 Перед стартом. Сделай глубокий вдох, убери телефон подальше, налей себе воды и положи рядом лишний лист для черновика, рисунков и «мыслей вслух». Олимпиада любит спокойную голову и свободные поля.

• Не гонись за скоростью. Олимпиада — это не гонка, а разговор с задачей. Лучше решить три задачи красиво и до конца, чем шесть наспех и с дырами.
• Читай условие дважды. Половина ошибок — от невнимательного чтения. Подчеркни, что дано и что нужно найти или доказать.
• Рисуй и пробуй малое. Не видишь идею? Возьми маленький случай (3 камня вместо 30, числа от 1 до 4 вместо 2025): на нём закономерность часто видна как на ладони.

✍️ Как оформлять решение

📌 Золотое правило: ответ нужно не угадать, а доказать. Число в кружочке без объяснения — это ещё не решённая задача, а только догадка.

• Пиши словами, а не одними формулами. Веди читателя за руку: «предположим…», «тогда…», «отсюда следует…», «значит, ответ…».
• «Нельзя» доказывается рассуждением. Если утверждаешь, что чего-то сделать невозможно, найди причину: чётность, инвариант, остаток, раскраску. Один неудачный пример ничего не доказывает.
• «Можно» доказывается примером. Если что-то возможно, приведи конкретный пример и проверь, что он и правда подходит.
• Проверяй ответ на здравый смысл. Получилось отрицательное количество чисел или остаток больше делителя? Значит, где-то ошибка. Вернись и найди её.

📏 Правила

1. Засеки время: примерно 2 часа. Если устал, сделай перерыв в середине.
2. Сначала прочитай все шесть задач, начни с той, что нравится больше.
3. Пиши решение словами. Ответ без объяснения — это ещё не решение. Объясняй каждый шаг так, будто рассказываешь другу: «я предположил…», «отсюда следует…», «значит…».
4. Если доказываешь, что чего-то нельзя, найди инвариант, чётность или раскраску.
5. Если доказываешь, что что-то можно, приведи пример и проверь, что он подходит.
6. Не подглядывай в разборы, пока не закончишь (или пока не сдашься честно, потратив на задачу хотя бы 10 минут).

💡 Лайфхак олимпиадника: застрял на задаче, не сиди над ней насмерть. Отложи, возьмись за другую, а к трудной вернись свежим. Часто решение всплывает само, пока мозг отдыхает на соседней задаче.

🤔 Про подсказки. В самом конце урока есть раздел «💡 Подсказки»: для каждой задачи там назван только приём, который стоит вспомнить, но не само решение. Загляни туда лишь тогда, когда честно застрял. Сможешь обойтись без подсказки, тем слаще будет победа.

🏅 Задачи

Задача 1. В велогонках приняли участие 5 школьников. После гонок 5 болельщиков заявили:

• «Коля занял I место, а Ваня — IV».
• «Серёжа занял II место, а Ваня — IV».
• «Серёжа занял II место, а Коля — III».
• «Толя занял I место, а Надя — II».
• «Надя заняла III место, а Толя — V». Известно, что у каждого болельщика одно показание верное, а другое — неверное. Найди, кто какое место занял.

Задача 2. На доске написаны числа от 1 до 2025. Можно ли расставить между ними знаки «+» и «−» (перед каждым числом, кроме, может, первого) так, чтобы значение всего выражения равнялось нулю? Ответ обоснуй.

Задача 3. За круглым столом сидят 16 учеников, и больше половины из них — девушки. Докажи, что найдутся две девушки, сидящие напротив друг друга.

Задача 4. Дано число $2^{2026}$. Найди: а) его последнюю цифру; б) остаток при делении на 7. Объясни, как ты их нашёл.

Задача 5. Сколько существует четырёхзначных чисел, у которых все цифры разные и число чётное?

Задача 6. В куче лежит 30 камней. Двое играют по очереди, за ход можно взять 1, 2 или 3 камня. Кто возьмёт последний камень — выиграл. У кого есть выигрышная стратегия и в чём она состоит? Подробно опиши, как должен ходить победитель.

📌 Последняя проверка перед сдачей. Пробегись по всем шести решениям и спроси себя: «Я это доказал или просто угадал?» Там, где ответ «угадал», допиши хотя бы одну строчку объяснения. Именно это отличает решение от догадки.

Закончил? Молодец! Выдохни. Ты только что прошёл настоящую олимпиаду от первой до последней задачи. Это уже победа, независимо от того, сколько решилось.

И знай: сегодня ты закрыл целый курс. Девять уроков назад многие из этих слов были для тебя загадкой, а теперь ты владеешь ими как инструментами. Это и есть настоящий рост. Отложи ручку, улыбнись и гордись собой: ты это заслужил. А математика подождёт тебя со следующей порцией красивых задач. До новых «ага!». 🎓

💡 Подсказки

Открывай только когда честно застрял: каждая подсказка называет лишь приём, но не решение.

1. Задача 1. У каждого болельщика ровно одно из двух утверждений верно. Предположи, что какое-то одно утверждение истинно (удобно начать с «Ваня — IV»), и раскрути цепочку следствий по остальным показаниям. Правильное распределение мест не должно приводить к противоречию.
2. Задача 2. Вспомни про чётность. Как меняется чётность суммы, если поменять «+» на «−»? Сравни её с чётностью нуля.
3. Задача 3. Это принцип Дирихле. За круглым столом 16 мест разбиваются на 8 пар «напротив» — это «клетки», а девушки — «зайцы». Подумай, сколько максимум может быть девушек, если ни в одной паре напротив нет сразу двух девушек.
4. Задача 4. И последняя цифра, и остаток при делении на 7 у степеней двойки повторяются по кругу. Выпиши последние цифры $2^1,2^2,2^3,\dots$ (период 4) и остатки при делении на 7 (период 3). Осталось понять, куда в цикле попадает степень 2026: помогут остатки числа 2026 при делении на 4 и на 3.
5. Задача 5. Правило умножения плюс аккуратный разбор случаев. Последняя цифра чётная, но ноль на последнем месте и ноль на первом ведут себя по-разному, поэтому случай «оканчивается на 0» лучше рассмотреть отдельно.
6. Задача 6. Ищи «проигрышные позиции» — числа камней, при которых проигрывает тот, чей ход. Начни с малого: 1, 2, 3 камня выигрышны, а 4? Найди закономерность и подумай, какой остаток при делении на 4 держать под контролем.