Урок 1. Оценки Ферми — искусство прикидки

Физика вокруг нас · ~35 минут

Энрико Ферми, наблюдая первый ядерный взрыв в 1945 году, бросил в воздух горсть бумажек и по тому, как далеко их отнесло взрывной волной, на глазок оценил мощность бомбы. Его прикидка совпала с точными расчётами по порядку величины. Умение получить разумный ответ «из ничего» — за минуту, без справочников — это, может быть, главный навык физика. Сегодня научимся.

🎯 Что ты узнаешь

• Что такое «порядок величины» и почему ответ «примерно 10⁶» часто ценнее, чем неверный точный ответ.
• Как разбить страшный вопрос на цепочку простых множителей.
• Как оценивать то, чего в принципе не знаешь, — и не ошибаться больше чем в разы.
• Классику: сколько настройщиков пианино в большом городе.

📖 Разбираемся в теме

Порядок величины

Порядок величины числа — это ближайшая к нему степень десятки: 10, 100, 1000, 1 000 000 и так далее. Вот простой способ её найти.

Запиши число в виде A × 10ᵏ, где A — от 1 до 10 (то есть одна значащая цифра до запятой), а 10ᵏ показывает, сколько нулей. Дальше смотри на A:

• если A меньше ≈ 3,2 — округляем вниз, порядок равен 10ᵏ;
• если A больше ≈ 3,2 — округляем вверх, порядок равен 10ᵏ⁺¹.

Примеры:

• 3000 = 3 × 10³. Тут A = 3 < 3,2 → порядок 10³.
• 700 000 = 7 × 10⁵. Тут A = 7 > 3,2 → округляем вверх → порядок 10⁶.
• 8 × 10⁶: A = 8 > 3,2 → порядок 10⁷.

🤔 Почему граница именно 3,2, а не 5? Для порядков «ближе» считается по умножению, а не по вычитанию. Серединой между 1 и 10 в этом смысле служит не 5, а число, которое при умножении само на себя даёт 10, — это √10 ≈ 3,2 (проверь: 3,2 × 3,2 ≈ 10). Поэтому уже число 5 считается «ближе» к 10, чем к 1.

Когда мы говорим «оценить по порядку величины», мы согласны ошибиться в 2–3 раза, но не в 10 и уж точно не в 100.

📌 Запомни: цель оценки Ферми — попасть в правильный порядок. Ответ «настройщиков около сотни» — победа, даже если их на самом деле 60 или 150. Ответ «около десяти тысяч» — провал.

Почему это работает? Потому что при перемножении множителей случайные завышения и занижения частично гасят друг друга. Если ты один множитель завысил вдвое, а другой занизил вдвое — итог верен. Ошибки ведут себя как случайные блуждания и растут медленно.

Метод: разбить на множители

Рецепт всегда один:

1. Возьми искомую величину.
2. Представь её как произведение нескольких величин, каждую из которых ты можешь оценить.
3. Оцени каждый множитель — грубо, но честно.
4. Перемножь и округли до порядка.

Пример-разминка: сколько вдохов ты делаешь за год?

• В покое человек дышит примерно 15 раз в минуту (проверь на себе — посчитай за 30 секунд).
• Минут в году: 60 мин/ч × 24 ч × 365 дней ≈ 60 × 24 × 365.
  • 24 × 365 = 8760 ч в году.
  • 8760 × 60 ≈ 5,3 × 10⁵ минут.
• Вдохов: 15 × 5,3 × 10⁵ ≈ 8 × 10⁶, то есть около восьми миллионов вдохов в год.

Округляем честно: 8 × 10⁶ — здесь A = 8, что больше 3,2, поэтому округляем вверх → порядок 10⁷. Частота дыхания у человека всё время меняется: во сне и в покое реже, при беге — заметно чаще. Из-за этого точное число вдохов за год гуляет в разы, но порядок (десять миллионов) остаётся тем же — вот в чём сила оценки.

🤔 А знаешь ли ты? За всю жизнь (~80 лет) человек делает порядка 8×10⁶ × 80 ≈ 6×10⁸ вдохов — больше полумиллиарда. А ударов сердца — ещё больше: сердце бьётся ~70 раз в минуту, почти впятеро чаще дыхания (70 ÷ 15 ≈ 4,7), значит ударов около 4,7 × 6×10⁸ ≈ 3×10⁹ — почти три миллиарда. Проверь сам в задаче 2!

Классика: сколько настройщиков пианино в Москве?

Это та самая задача, которой Ферми мучил студентов. Идём по множителям.

• Население Москвы: около 1,3 × 10⁷ человек (13 миллионов).
• Людей в семье в среднем ~3, значит семей около 4 × 10⁶.
• Пианино есть, скажем, у одной семьи из 30 (грубо — 3%). Это ~1,3 × 10⁵ пианино. Добавим музыкальные школы и залы — пусть будет ~2 × 10⁵ инструментов.
• Пианино настраивают примерно раз в год. Значит в год нужно ~2 × 10⁵ настроек.
• Один настройщик за рабочий день делает ~4 настройки (с дорогой между клиентами). Рабочих дней в году ~250. Значит один настройщик делает ~1000 настроек в год.
• Настройщиков: 2 × 10⁵ / 10³ = ~200 человек.

Порядок — сотни. Именно этот ответ и считается «правильным»: точное число никто не знает, но оно точно не 20 и не 20 000.

💡 Заметь: мы нигде не гуглили. Каждый множитель — либо то, что мы знаем (население), либо разумная догадка (частота настройки). Сила метода в том, что ошибка в одной догадке почти не портит итог.

⚠️ Частая ошибка: пытаться оценить всё одним прыжком («ну, наверное, настройщиков... тысяча?»). Так ты ошибёшься на порядок и не поймёшь где. Всегда дроби на множители — тогда видно, какая догадка шаткая.

Сколько капель воды в ванне?

• Объём ванны: примерно 150–200 литров. Возьмём 200 л = 0,2 м³ = 2 × 10⁵ см³ = 2 × 10⁵ мл.
• Объём одной капли: капля из крана ~0,05 мл (20 капель в миллилитре — легко проверить, накапав в ложку).
• Капель: 2 × 10⁵ мл / 0,05 мл = 4 × 10⁶, то есть около четырёх миллионов капель.

Порядок 10⁶. Если бы ты стал наполнять ванну по капле раз в секунду, ушло бы 4×10⁶ секунд ≈ 46 суток непрерывно.

🔬 Опыт дома

Сколько волос на твоей голове? Оценим по Ферми, не выдёргивая ни одного.

Идея простая: число волос = густота × площадь. Густоту (сколько волос на 1 см²) удобно получить так: посчитай, сколько волос умещается вдоль отрезка в 1 см, и возведи это число в квадрат — ведь столько же рядов помещается и поперёк. Значит густота ≈ (волос на 1 см)².

Возьми линейку и лупу (или камеру телефона с зумом).

Пример расчёта (образец с придуманными числами). Пусть вдоль 1 см ты насчитал(а) 15 волос.

1. Густота: 15 × 15 = 225 волос на см² (у разных людей бывает от 150 до 300).
2. Площадь волосистой части головы. Голова — примерно полусфера радиусом ~9 см. Площадь всей сферы 4πr² = 4 × 3,14 × 9² ≈ 1000 см², полусфера ≈ 500 см², а волосы заходят и ниже макушки — возьмём ~700 см².
3. Перемножаем: 225 × 700 ≈ 1,6 × 10⁵ — около 160 тысяч волос.

А теперь посчитай для своей головы. Измерь свою густоту (сколько волос умещается на 1 см именно у тебя) и прикинь свою площадь, затем подставь их вместо 15 и 700 и получи собственное число. Реальное значение у человека — 100 000–150 000 волос; если попал(а) в этот диапазон голыми руками — отличная работа!

✍️ Разбор примера

Задача. Сколько теннисных мячиков поместится в твою комнату?

Решение по шагам.

1. Объём комнаты. Прикинем размеры обычной комнаты: длина ~4 м, ширина ~3 м, высота ~2,7 м. Объём = 4 × 3 × 2,7 ≈ 32 м³, округлим до 30 м³. Переведём в кубические сантиметры: раз 1 м = 100 см, то 1 м³ = 100³ = 10⁶ см³. Значит 30 м³ = 3 × 10⁷ см³.

2. Сколько места «съедает» один мяч. Диаметр теннисного мяча ≈ 6,7 см (радиус ~3,3 см). Сам шар имеет объём V = (4/3)πr³ ≈ (4/3) × 3,14 × 3,3³ ≈ 150 см³. Но шары не укладываются вплотную — между ними всегда остаются пустоты, поэтому делить объём комнаты на 150 см³ было бы неправильно (получилось бы слишком много). Хитрый приём: считать не сам шар, а кубик, в который он вписан, со стороной, равной диаметру ≈ 7 см. Такой кубик занимает 7³ = 343 ≈ 340 см³ и уже включает в себя пустоты вокруг мяча.

3. Делим объём комнаты на объём кубика-ячейки. Число мячей ≈ 3 × 10⁷ см³ / 340 см³ ≈ 9 × 10⁴.

Ответ: около 100 тысяч теннисных мячей, порядок 10⁵.

💡 Приём с «описанным кубиком» вокруг каждого шара — стандартный способ не возиться с плотностью упаковки. Он соответствует укладке рядами (заполнение ~52% объёма). При самой плотной упаковке шаров помещается ~74%, то есть примерно в 1,4 раза больше — тысяч 130. Но это тот же порядок 10⁵, а его мы и ловим.

📝 Задачи

1. Сколько секунд ты уже прожил(а)? Прикинь для возраста 13 лет и дай порядок величины.
2. Сколько ударов сердца сделает человек за 80 лет жизни? Дай число и порядок.
3. Сколько литров воздуха проходит через твои лёгкие за сутки, если за один вдох в покое входит ~0,5 л, а дышишь ты ~15 раз в минуту?
4. Сколько песчинок в ведре песка (10 литров)? Прими размер песчинки ~0,3 мм.
5. Сколько школьных тетрадей в 12 листов можно сделать из одного дерева? Прими: с дерева ~0,3 м³ древесины, плотность бумаги как у воды, масса одного листа А5 ~2,5 г.
6. Сколько времени человечество (~8 миллиардов человек) суммарно спит за одни земные сутки? Ответ дай в человеко-годах.
7. Оцени, сколько автомобилей примерно в Москве, если населения 13 млн и машина есть у каждой третьей семьи (семья ~3 человека).
8. Если бы все жители Москвы (13 млн) встали в одну цепочку, взявшись за руки (примерно 1 м на человека), какой длины она получилась бы? Сравни с длиной экватора (~40 000 км).