Урок 3. Давление и закон Архимеда

Физика вокруг нас · ~35 минут

Прямо сейчас на твою макушку давит столб воздуха высотой в сотню километров — с силой около тонны. Ты этого не чувствуешь, потому что давление действует со всех сторон и изнутри тоже. А стальной корабль в сотни тысяч тонн спокойно плавает. Как? Сегодня разберёмся с давлением и великим законом Архимеда — и посчитаем, какая доля айсберга спрятана под водой.

🎯 Что ты узнаешь

• Что такое давление и почему p = ρgh для жидкости.
• Откуда берётся атмосферное давление и почему оно ~100 000 Па.
• Почему стальной корабль не тонет, а гвоздь тонет.
• Какая доля айсберга под водой — и почему именно столько.

📖 Разбираемся в теме

Давление: сила, размазанная по площади

Представь, что ты давишь на что-то с силой F. Результат — «продавит» или нет — зависит не только от силы, но и от того, на какую площадь эта сила приходится. Кнопку в стену ты вдавливаешь тем же усилием пальца, каким не продавишь ровную дощечку: у кнопки всё усилие собрано на крохотном острие.

Давление — это как раз сила, приходящаяся на единицу площади:

p = F / S.

Разберём, что здесь что: F — сила, которая давит перпендикулярно поверхности (в ньютонах, Н); S — площадь, по которой эта сила «размазана» (в квадратных метрах, м²). Делим силу на площадь — получаем, сколько силы приходится на каждый квадратный метр.

Единица давления — паскаль: 1 Па = 1 Н/м² (буквально «один ньютон на один квадратный метр»). Паскаль крохотный: лист бумаги давит на стол примерно 1 Па. Поэтому в жизни удобнее килопаскали (кПа) и атмосферы.

Один и тот же вес даёт разное давление в зависимости от площади. Давай посчитаем для женщины на шпильках. Площадь каблука-шпильки ~1 см². Переведём в метры: 1 см = 0,01 м = 10⁻² м, значит 1 см² = (10⁻²)² м² = 10⁻⁴ м². Вес ~500 Н (это примерно 50 кг × 10). Тогда давление:

p = F / S = 500 / 10⁻⁴ = 500 × 10⁴ = 5 × 10⁶ Па.

Это в разы больше, чем создаёт слон: слон тяжелее, но у него огромная площадь ступни, и та же логика деления на большую S даёт маленькое давление. Вот почему шпильки протыкают линолеум, а слон — нет.

💡 Деление на маленькое число даёт большой результат. Вся «магия» острия — не в силе, а в крошечной S в знаменателе.

Давление в жидкости: p = ρgh

Теперь выведем главную формулу гидростатики честно, по шагам. Идея простая: жидкость давит на дно своим собственным весом. Значит, надо посчитать вес столбика жидкости и поделить на площадь.

Шаг 1. Что такое плотность. Плотность ρ («ро») показывает, сколько килограммов вещества помещается в одном кубическом метре: ρ = m / V, откуда масса m = ρ·V. Для воды ρ = 1000 кг/м³ — значит, кубометр воды весит тонну.

Шаг 2. Объём столбика. Мысленно вырежем в жидкости вертикальный столбик высотой h с площадью основания S. Объём такого столбика (как у бруска или цилиндра) — это площадь основания на высоту:

V = S · h.

Шаг 3. Масса столбика. Подставляем объём в формулу массы:

m = ρ · V = ρ · S · h.

Шаг 4. Вес столбика. Вес — это сила, с которой Земля тянет массу вниз, P = m·g, где g ≈ 9,8 Н/кг. Значит:

P = m·g = ρ · S · h · g.

Шаг 5. Давление на дно. Этот вес давит на площадь дна S. По определению давления делим силу на площадь:

p = P / S = (ρ · S · h · g) / S.

Шаг 6. Сокращаем S. В числителе и знаменателе стоит одинаковый множитель S — он сокращается:

Заметь, что произошло: площадь ушла! Давление на глубине h не зависит ни от ширины сосуда, ни от его формы — только от плотности жидкости и глубины. Это называют гидростатическим парадоксом: в тонкой трубке и в широком озере на глубине 10 м давление одинаковое.

🤔 Почему форма не важна? Потому что мы делили вес столбика (в нём была S) на площадь дна (тоже S), и они сократились. Шире столбик — больше вес, но ровно во столько же раз больше и площадь. Отношение не меняется.

Посчитаем давление воды на глубине 10 м (ρ = 1000 кг/м³, g ≈ 9,8):

p = ρ·g·h = 1000 × 9,8 × 10.

Считаем по порядку: 1000 × 9,8 = 9800; затем 9800 × 10 = 98 000 Па ≈ 1 атмосфера.

📌 Запомни: каждые 10 метров глубины в воде добавляют примерно одну атмосферу давления. На 10 м под водой давление вдвое больше атмосферного (атмосфера сверху + вода), на 20 м — втрое.

🤔 А знаешь ли ты? В Марианской впадине глубина ~11 000 м. Это 1100 «десятков метров», то есть примерно 1100 атмосфер ≈ 1,1 × 10⁸ Па. На каждый квадратный сантиметр там давит больше тонны. И всё равно там живут рыбы.

Атмосферное давление

Воздух тоже имеет вес, и его столб давит на нас — по той же логике, что и столб воды. Нормальное атмосферное давление p₀ ≈ 101 325 Па ≈ 10⁵ Па.

Сила давления воздуха на ладонь. Раз мы знаем давление p₀ и площадь ладони S, силу найдём из определения давления. Из p = F/S следует F = p·S. Возьмём ладонь площадью ~100 см². Переведём: 100 см² = 100 × 10⁻⁴ м² = 10⁻² м² = 0,01 м². Тогда:

F = p₀ · S = 10⁵ × 0,01 = 10⁵ × 10⁻² = 10³ = 1000 Н.

Это как будто на ладони лежит гиря 100 кг (ведь 1000 Н ÷ 10 Н/кг = 100 кг)! Мы не замечаем, потому что снизу на ладонь воздух давит ровно столько же — силы уравновешены.

Высота однородной атмосферы. Представим на минуту, что весь воздух имеет одинаковую плотность ρ ≈ 1,3 кг/м³ (на самом деле вверху он разрежён, но нам нужна оценка). Тогда атмосфера — это просто столб воздуха высотой H, и к нему применима та же формула p₀ = ρ·g·H. Мы знаем давление p₀ и хотим найти высоту H. Выразим H, поделив обе части на (ρ·g):

H = p₀ / (ρ · g).

Подставляем числа:

H = 10⁵ / (1,3 × 9,8).

Считаем знаменатель: 1,3 × 9,8 ≈ 12,74. Теперь делим: 100 000 / 12,74 ≈ 7900 м ≈ 8 км.

Это и есть «высота однородной атмосферы». Реальная атмосфера тянется гораздо выше, но кверху разрежается — а вот эти ~8 км как раз тот масштаб, на котором давление падает заметно (на Эвересте, 8848 м, давление уже примерно втрое меньше).

Закон Архимеда

Теперь выведем выталкивающую силу — не поверим на слово, а получим её из разности давлений сверху и снизу тела.

Шаг 1. Возьмём удобное тело. Пусть в жидкости плотностью ρ погружён прямоугольный брусок с площадью основания S. Его верхняя грань — на глубине h_верх, нижняя — на глубине h_низ (h_низ больше, ведь низ глубже). Высота бруска: h_низ − h_верх.

Шаг 2. Давление на нижнюю и верхнюю грани. По формуле p = ρgh:

• снизу давит p_низ = ρ · g · h_низ (толкает тело вверх);
• сверху давит p_верх = ρ · g · h_верх (толкает тело вниз).

Поскольку h_низ больше h_верх, снизу давление больше — значит, суммарно жидкость толкает тело вверх. (Давления на боковые грани симметричны слева и справа, они гасят друг друга и в вертикальном направлении не участвуют.)

Шаг 3. Переведём давления в силы. Сила = давление × площадь (F = p·S):

• сила снизу вверх: F_низ = p_низ · S = ρ · g · h_низ · S;
• сила сверху вниз: F_верх = p_верх · S = ρ · g · h_верх · S.

Шаг 4. Результирующая сила. Вычтем из силы, толкающей вверх, силу, толкающую вниз:

F_A = F_низ − F_верх = ρ·g·h_низ·S − ρ·g·h_верх·S.

Вынесем общий множитель ρ·g·S за скобку:

F_A = ρ · g · S · (h_низ − h_верх).

Шаг 5. Узнаём объём. Но S · (h_низ − h_верх) — это площадь основания на высоту бруска, то есть его объём V! Подставляем:

где V_погр — объём погружённой части. Словами: выталкивающая сила равна весу вытесненной жидкости (ведь ρ_жидк · V — это масса вытесненной жидкости, а умножив на g, получаем её вес). Это и открыл Архимед в ванне (и, по легенде, побежал голым с криком «Эврика!»).

📌 Мы брали брусок ради простоты, но результат верен для тела любой формы: его всегда можно мысленно сложить из множества тонких вертикальных столбиков, и для каждого работает то же рассуждение.

Условие плавания. Тело плавает, когда выталкивающая сила уравновешивает его вес — они равны по величине и противоположны по направлению:

F_A = F_тела.

Распишем обе стороны. Слева — только что выведенная архимедова сила через погружённый объём: F_A = ρ_жидк · g · V_погр. Справа — F_тела через его массу и плотность: F_тела = m_тела · g = ρ_тело · V_тело · g. Приравниваем:

ρ_жидк · g · V_погр = ρ_тело · g · V_тело.

Сократим одинаковый множитель g слева и справа (делим обе части на g):

ρ_жидк · V_погр = ρ_тело · V_тело.

Теперь выразим долю погружённого объёма. Поделим обе части на V_тело и на ρ_жидк:

Прочитай эту формулу словами: какую долю тела спрячет под воду — во столько же раз, во сколько плотность тела меньше плотности жидкости. Чем ближе плотности, тем больше тела под водой.

Почему корабль плавает, а гвоздь тонет

Гвоздь из сплошной стали: ρ_стали ≈ 7800 кг/м³, а ρ_воды = 1000 кг/м³. Плотность тела больше плотности воды, поэтому доля погружения по нашей формуле получилась бы больше единицы (7800/1000 = 7,8) — а «погрузиться больше чем на 100%» нельзя. Это и означает: выталкивающей силы не хватает, гвоздь тонет.

Корабль тоже стальной, но внутри — воздух. Если считать среднюю плотность всего корпуса (тяжёлая сталь + огромный объём лёгкого воздуха), масса делится на большой объём, и средняя плотность выходит меньше плотности воды. Пока средняя плотность корабля ниже 1000 кг/м³, он плавает. Пробей дыру — вода вытеснит воздух, средняя плотность подскочит выше 1000, и корабль утонет.

💡 Хочешь, чтобы фольга плавала? Расплющенный шарик фольги тонет, а лодочка из той же фольги плавает — потому что «захватывает» воздух и снижает среднюю плотность. Проверь на кухне!

Айсберг: сколько под водой?

Применим формулу доли погружения к айсбергу. Лёд: ρ_льда ≈ 917 кг/м³. Морская вода: ρ_воды ≈ 1025 кг/м³. По выведенной формуле:

V_погр / V_тело = ρ_тело / ρ_жидк = 917 / 1025.

Делим: 917 / 1025 ≈ 0,895, то есть примерно 0,9.

Значит под водой около 90% айсберга, а над водой торчит всего ~10% (ведь 1 − 0,9 = 0,1). Отсюда выражение «верхушка айсберга». Если считать с пресной водой (1000 кг/м³), получим 917/1000 = 0,917 ≈ 92% под водой.

⚠️ Частая ошибка: думать, что раз лёд «лёгкий», он почти весь торчит наружу. Наоборот — плотности льда и воды очень близки (917 и 1025 отличаются всего процентов на десять), поэтому по формуле доля погружения близка к единице: лёд едва-едва всплывает, и снаружи остаётся лишь десятая часть.

🔬 Опыт дома

Яйцо, которое всплывает: измеряем плотность солёной воды.

Возьми: сырое яйцо, высокий стакан, воду, поваренную соль, ложку.

1. Опусти яйцо в стакан с обычной водой. Оно утонет: плотность яйца (~1030–1050 кг/м³) чуть выше плотности пресной воды (1000), и по нашей формуле доля погружения больше единицы — значит, тонет.
2. Вынь яйцо. Начни растворять соль в воде, тщательно размешивая, — ложка за ложкой. Соль увеличивает плотность раствора: та же вода становится «тяжелее».
3. В какой-то момент опущенное яйцо всплывёт и зависнет в толще. Это значит: плотность раствора сравнялась с плотностью яйца, ~1050 кг/м³. Доля погружения стала равна ровно 1 — яйцо погружено целиком, но уже не тонет.
4. Добавь ещё соли — ρ_жидк станет больше ρ_яйца, доля погружения станет меньше 1, и яйцо всплывёт выше, будет торчать всё больше. Ты своими руками управляешь долей погружения через плотность жидкости!

Почему: как только ρ_жидк ≥ ρ_яйца, выталкивающая сила побеждает вес. В Мёртвом море (соли ~34%, плотность ~1240 кг/м³) по той же причине не тонет человек — можно лежать и читать газету.

✍️ Разбор примера

Задача. Деревянный брусок плотностью 600 кг/м³ плавает в воде. Какая часть его высоты торчит над водой?

Решение по шагам.

1. Берём выведенную формулу доли погружённого объёма: V_погр/V = ρ_дерева/ρ_воды. Подставляем числа: 600/1000 = 0,6.
2. Для бруска с вертикальными стенками объём пропорционален высоте (V = S·h с одинаковой S), поэтому доля объёма равна доле высоты. Значит под водой 60% высоты бруска.
3. Над водой остаётся всё остальное: 1 − 0,6 = 0,4, то есть 40% высоты торчит наружу.

Проверка здравым смыслом: дерево заметно легче воды, поэтому большая часть под водой, но приличный кусок (40%) виден — сходится с тем, что видишь на пруду.

Задача 2. С какой силой атмосфера давит на крышку стола 1,5 м × 0,8 м сверху?

Решение по шагам.

1. Найдём площадь крышки (прямоугольник — перемножаем стороны): S = 1,5 × 0,8 = 1,2 м².
2. Силу берём из определения давления, F = p·S, подставляя атмосферное давление p₀ = 10⁵ Па: F = p₀·S = 10⁵ × 1,2 = 1,2 × 10⁵ Н — около 12 тонн!
3. Стол не ломается, потому что снизу воздух давит с той же силой вверх — сверху и снизу по 12 тонн, и они уравновешиваются.

📝 Задачи

1. Чему равно давление воды на дне бассейна глубиной 3 м (без учёта атмосферы)? А с учётом атмосферы?
2. На какой глубине в озере давление воды (без атмосферы) достигает 2 атмосфер? Прими 1 атм = 10⁵ Па.
3. Кусок пробки плотностью 240 кг/м³ плавает в воде. Какая доля его объёма под водой?
4. Тело плавает в воде так, что над поверхностью торчит ровно половина объёма. Какова плотность тела?
5. Айсберг возвышается над водой на 30 м (по высоте). Оцени полную высоту айсберга, если под водой 90% высоты.
6. С какой силой атмосферное давление прижимает две сложенные ладони площадью 150 см², если между ними откачать воздух наполовину (внутри осталось 0,5 атм)? Почему их станет трудно разнять?
7. Стальной шар объёмом 1 л (ρ_стали = 7800 кг/м³) висит в воде на нити. Найди силу натяжения нити. (Подсказка: вес минус архимедова сила.)
8. Подводная лодка «продувает» балластные цистерны, вытесняя из них воду воздухом. Объясни через среднюю плотность, почему после этого лодка всплывает.