Ответы к заданиям — Вероятность и парадоксы

Загляни сюда только после того, как сам(а) попробовал(а) решить!

Урок 1. Что такое вероятность

1. 1/3 — числа больше 4 это {5, 6}, два благоприятных исхода из шести: 2/6 = 1/3 ≈ 0,333.
2. 4/5 — всего шаров 5+3+2 = 10, зелёных 2. Через дополнение: 1 − 2/10 = 8/10 = 4/5 = 0,8.
3. 1/2 — два равновозможных исхода (орёл, решка), один благоприятный: 1/2.
4. 1/4 — червей 13 из 52: 13/52 = 1/4 = 0,25.
5. 1/3 — кратные 3 это {3, 6}, два исхода: 2/6 = 1/3.
6. 3/5 — мальчиков 30 − 12 = 18: 18/30 = 3/5 = 0,6.
7. 0,85 — противоположное к «опоздает»: 1 − 0,15 = 0,85.
8. 93/100 — проиграть = вытянуть невыигрышный билет. Их 100 − 7 = 93: 93/100 = 0,93.

Урок 2. Комбинаторика вероятностей

1. 24 — это 4! = 1·2·3·4 = 24.
2. 15 и 15 — C(6,2) = 6!/(2!·4!) = 720/(2·24) = 15, а C(6,4) = 15 тоже. Совпадают, потому что C(n,k) = C(n,n−k).
3. 120 — C(10,3) = 10!/(3!·7!) = (10·9·8)/(3·2·1) = 720/6 = 120.
4. 1/6 — дублей 6 штук: (1,1),(2,2),…,(6,6). Всего 36 исходов: 6/36 = 1/6 ≈ 0,167.
5. 15/16 — через дополнение: «ни одного орла» = четыре решки (1/2)⁴ = 1/16. Значит 1 − 1/16 = 15/16 = 0,9375.
6. 2/9 — дам 4 и королей 4, всего 8 благоприятных из 36: 8/36 = 2/9 ≈ 0,222.
7. 0,488 — «промахнётся хотя бы раз» = 1 − P(все три попадания). Три попадания: 0,8³ = 0,512. Значит 1 − 0,512 = 0,488.
8. 2/15 — оба белых: C(4,2)/C(10,2) = 6/45 = 2/15 ≈ 0,133.

Урок 3. Парадокс дней рождения

1. 45 — C(10,2) = (10·9)/2 = 45 пар.
2. ≈ 0,0082 — P(все разные) = (365/365)·(364/365)·(363/365) ≈ 0,99180. Тогда P(совпадение) = 1 − 0,99180 ≈ 0,0082 ≈ 0,82%.
3. ≈ 70,6% — по таблице для 30 человек вероятность совпадения примерно 0,706.
4. 366 человек — по принципу Дирихле: дней в году 365, а людей 366, тогда хотя бы двое обязательно попадут в один день. Вероятность становится ровно 1.
5. Есть совпадение — при 20 людях P(совпадение) ≈ 0,411, значит P(все разные) ≈ 0,589. «Все разные» пока вероятнее, но уже близко. (А вот при 23 совпадение перевешивает.) Ответ: при 20 вероятнее, что дни разные.
6. ≈ 0,00612 — 7!/7⁷ = 5040/823543 ≈ 0,00612. Все семь родились в разные дни недели крайне маловероятно (7 гномов на 7 дней — это как «идеально угадать раскладку»).
7. Разбор. «Совпадает с моим» — это сравнение всех с одним фиксированным днём (мало шансов). «Есть совпадение в группе» — это сравнение всех пар между собой, а пар очень много (в 23 людях — 253 пары). Больше «попыток совпасть» — выше вероятность.

Урок 4. Парадокс Монти Холла

1. 1/3 — без смены выигрываешь, только если сразу угадал машину: вероятность 1/3.
2. 2/3 — со сменой выигрываешь, когда сразу не угадал, а это вероятность 2/3.
3. 60 машин — 90 · 2/3 = 60.
4. Разбор. Ведущий не выбирает дверь случайно: он знает, где машина, и всегда открывает козу. Он не даёт новой информации о твоей двери (её вероятность так и осталась 1/3), но вся вероятность 2/3 «второй группы» перетекает на единственную оставшуюся дверь. Поэтому не 50/50.
5. 3/8 — изначально твоя дверь 1/4, значит на две оставшиеся закрытые приходится 1 − 1/4 = 3/4, поровну: (3/4)/2 = 3/8 на каждую. (Менять выгодно: 3/8 > 1/4.)
6. 99/100 — при 100 дверях сразу угадал с вероятностью 1/100, значит смена выигрывает с вероятностью 99/100 = 0,99.
7. Разбор. Если ведущий знает и специально открывает козу — он «фильтрует» варианты в твою пользу, и вероятность 2/3 концентрируется на одной двери. Если бы он открывал наугад и там случайно оказалась коза — эта фильтрация исчезает, и после такого случайного открытия оставшиеся две двери становятся равновероятны (по 1/2). Знание ведущего — суть парадокса.

Урок 5. Матожидание и честные игры

1. 0,5 — E = 1·(1/2) + 0·(1/2) = 0,5.
2. −40 руб., невыгодна — ожидаемый выигрыш 3000·(1/50) = 60 руб., чистый результат 60 − 100 = −40 руб. E < 0 — лотерея невыгодна игроку.
3. 3,5 руб. — матожидание очков кубика 21/6 = 3,5. Честная цена участия равна 3,5 руб.
4. −1/37 ≈ −0,027, в пользу казино — E = (+1)·(18/37) + (−1)·(19/37) = (18−19)/37 = −1/37 ≈ −0,027. Игра против игрока.
5. 2,5 руб. — два орла с вероятностью 1/4, выигрыш 10 руб.: E = 10·(1/4) = 2,5 руб.
6. −1 руб., играть не стоит — E = 20·0,3 + (−10)·0,7 = 6 − 7 = −1 руб. Матожидание отрицательное.
7. 12 руб. — честная игра: E = выигрыш·(1/6) − 2 = 0, значит выигрыш = 2·6 = 12 руб. При шестёрке получаешь 12 руб.

Урок 6. Случайные блуждания и закон больших чисел

1. 3/8 — вернуться в 0 за 4 шага = 2 вправо и 2 влево: C(4,2)/2⁴ = 6/16 = 3/8 = 0,375.
2. 0 — каждый шаг имеет матожидание 0, значит и после 10 шагов ожидаемое положение 10·0 = 0.
3. ≈ 1000 раз — вероятность шестёрки 1/6, по закону больших чисел 6000·(1/6) = 1000.
4. ≈ 3,144 — π ≈ 4·(7860/10000) = 4·0,786 = 3,144.
5. Разбор (ошибка игрока). Монета не помнит прошлое: вероятность орла всегда 1/2 независимо от предыдущих бросков. Серия из 6 решек не «обязывает» выпасть орлу. Закон больших чисел выравнивает частоту за счёт огромного числа бросков, а не «компенсацией» коротких серий.
6. Не противоречит. 13 орлов из 20 (65%) при малом числе бросков — обычное отклонение. При 20 бросках разброс велик, а при 20000 частота должна быть очень близка к 0,5 (закон больших чисел), поэтому 65% на 20000 было бы крайне подозрительно.
7. 0,3 — доля точек внутри ≈ доля площади: 1500/5000 = 0,3. Площадь фигуры ≈ 0,3 (при площади квадрата 1).

Урок 7. Условная вероятность и формула Байеса

1. 1/3 — условие «больше 3» это {4,5,6}, три исхода. Из них 6 — один: 1/3.
2. 1/18 — красных карт 18, дама червей среди них одна: 1/18 ≈ 0,056.
3. ≈ 0,201 (20,1%) — на 20000 человек больных 20000/200 = 100 (все дадут «+»), здоровых 19900, ложных «+» 19900·0,02 = 398. Всего «+»: 100 + 398 = 498. P(болен | «+») = 100/498 ≈ 0,201.
4. Разбор. P(тест «+» | болен) — насколько тест срабатывает у больных (свойство теста). P(болен | тест «+») — насколько положительный результат означает болезнь (зависит ещё и от того, как редка болезнь). Из-за редкости болезни ложные «+» от многочисленных здоровых людей сильно снижают вторую величину.
5. 1/2 (50%) — на 1000 такси синих 100, свидетель назовёт синими 100·0,9 = 90; жёлтых 900, ошибётся 900·0,1 = 90. Всего «синее»: 90 + 90 = 180. P = 90/180 = 0,5.
6. Разбор. До первого теста «база подозреваемых» — всё население, где болезнь редка, поэтому ложных «+» много. После первого «+» база сужается до тех, кто дал положительный результат (в примере урока — 1099 человек), и среди них доля больных уже гораздо выше. Второй независимый «+» на этой суженной базе резко повышает вероятность болезни.
7. 5/8 (0,625) — на 1000 деталей: первый станок 600 деталей, брака 600·0,02 = 12; второй 400 деталей, брака 400·0,05 = 20. Всего бракованных 12 + 20 = 32. P(второй | брак) = 20/32 = 5/8 = 0,625.