Урок 9. Наибольшее, наименьшее и размах

Вероятность и статистика, 7 класс · Описательная статистика · ~45 минут

🎯 Что ты узнаешь

• Как находить наибольшее и наименьшее значения набора
• Что такое размах и как его считать: размах = max − min
• Что показывает размах — насколько данные «разбросаны»
• Почему два набора с одинаковым средним могут быть совсем разными

📖 Разбираемся в теме

Среднее и медиана говорят, где «центр» данных. Но они молчат о другом важном: насколько данные раскиданы? Одинаковые ли все числа или прыгают от крошечных до огромных?

Смотри: две группы ребят написали тест на 10 баллов.

• Группа А: 5, 5, 5, 5, 5 — все ровно по 5.
• Группа Б: 1, 3, 5, 7, 9 — кто-то завалил, кто-то отлично.

Среднее у обеих одно и то же — 5! Но согласись, группы совсем разные. В А все одинаковые, в Б — огромный разброс. Чтобы это уловить, нужна новая величина — размах.

Наибольшее и наименьшее

Это самое простое. Наибольшее значение (max) — самое большое число набора. Наименьшее (min) — самое маленькое.

💡 Лайфхак: чтобы не запутаться, удобно сначала упорядочить набор по возрастанию (как для медианы). Тогда наименьшее — самое левое число, наибольшее — самое правое. Два зайца одним выстрелом.

Размах

📌 Запомни: Размах = наибольшее значение − наименьшее значение, то есть размах = max − min.

Размах показывает, на сколько растянут набор — какое «расстояние» между самым большим и самым маленьким. Чем больше размах, тем сильнее разброс данных.

Вернёмся к группам:

• Группа А: max = 5, min = 5, размах = 5 − 5 = 0. Нулевой разброс — все одинаковы!
• Группа Б: max = 9, min = 1, размах = 9 − 1 = 8. Большой разброс.

⚠️ Частая ошибка: считать размах как «max − min» по неупорядоченному набору и случайно взять не те числа. Или вычесть наоборот (min − max) и получить отрицательное число. Размах всегда неотрицателен: из большего вычитаем меньшее.

⏱ Попробуй сам: найди размах набора 12, 3, 8, 20, 5. (Найди max и min, вычти.)

Что размах рассказывает о жизни

• Погода: если днём +25°, а ночью +24° — размах 1°, стабильно. А если днём +30°, ночью +5° — размах 25°, резкие перепады, бери куртку!
• Оценки: маленький размах — ученик стабилен; большой — то пятёрки, то двойки.
• Цены: размах цен на один товар в разных магазинах показывает, насколько выгодно поискать подешевле.

🤔 А знаешь ли ты? Размах — самая «нервная» характеристика: достаточно одного выброса (одного гигантского или крошечного числа), чтобы он подскочил. Он смотрит только на два крайних значения и совсем не замечает, что творится в середине.

✍️ Разбор примеров

Пример 1. Базовый размах. Набор: 4, 9, 2, 7, 5. Найди наибольшее, наименьшее и размах. Решение: упорядочим: 2, 4, 5, 7, 9. min = 2, max = 9. Размах = 9 − 2 = 7.

Пример 2. Размах температур. Температура за день по часам: 18°, 22°, 25°, 21°, 16°. Найди размах. Решение: max = 25°, min = 16°. Размах = 25 − 16 = 9°.

Пример 3. Размах с отрицательными. Утренние температуры: −5°, −2°, 3°, −8°, 1°. Найди размах. Решение: max = 3°, min = −8°. Размах = 3 − (−8) = 3 + 8 = 11°. (Минус на минус даёт плюс!)

Пример 4. Нулевой размах. Набор: 7, 7, 7, 7. Найди размах. Что он означает? Решение: max = 7, min = 7. Размах = 7 − 7 = 0. Значит, все значения одинаковы, разброса нет совсем.

Пример 5. Сравнение разброса. Стрелок А выбил очки: 8, 9, 8, 9 (размах?). Стрелок Б: 5, 10, 6, 9 (размах?). Кто стабильнее? Решение: А: max 9, min 8, размах = 1. Б: max 10, min 5, размах = 5. У А размах меньше → стрелок А стабильнее (результаты кучнее).

Пример 6. Восстанови число. В наборе наименьшее число 4, размах равен 15. Чему равно наибольшее число? Решение: размах = max − min, значит max = min + размах = 4 + 15 = 19.

💡 Запомни главное

• Наибольшее (max) — самое большое число набора, наименьшее (min) — самое маленькое.
• Размах = max − min. Всегда из большего вычитаем меньшее, результат ≥ 0.
• Размах показывает разброс данных: чем он больше, тем сильнее значения «разбросаны».
• Размах = 0 означает, что все числа одинаковые.
• Из формулы: max = min + размах, min = max − размах (для обратных задач).

📝 Домашнее задание

1. Найди наибольшее, наименьшее и размах: 11, 4, 9, 15, 7.
2. Найди размах: 100, 250, 80, 300, 150.
3. Температура за неделю: −3°, 0°, 5°, −7°, 2°, 4°, −1°. Найди размах.
4. Найди размах набора: 6, 6, 6, 6, 6.
5. Рост ребят (см): 145, 160, 138, 172, 155. Найди размах роста.
6. В наборе наименьшее число равно 12, наибольшее равно 47. Чему равен размах?
7. Размах набора равен 20, наибольшее значение 35. Найди наименьшее значение.
8. Два дня измеряли цену билета. Понедельник: 300, 320, 310, 305. Пятница: 280, 450, 300, 290. В какой день размах цен больше и на сколько?
9. ⭐ Придумай набор из 5 чисел, у которого среднее равно 10, а размах равен 0. Возможно ли это? А набор из 5 чисел, у которого среднее 10, а размах 12 — приведи пример.