Урок 10. Что выбрать: среднее или медиану?

Вероятность и статистика, 7 класс · Описательная статистика · ~45 минут

🎯 Что ты узнаешь

• Что такое выброс и как он ломает среднее арифметическое
• Почему медиана устойчива к выбросам, а среднее — нет
• Как выбрать величину, которая честнее описывает «типичное» значение
• Знаменитый пример с зарплатами, где среднее «врёт»

📖 Разбираемся в теме

Ты уже умеешь считать и среднее (урок 7), и медиану (урок 8). Обе говорят про «центр» данных. Но какая из них честнее? Оказывается, ответ зависит от данных. И есть один коварный персонаж, который всё решает — выброс.

Кто такой выброс

Выброс — это значение, которое резко выбивается из остальных: либо ОЧЕНЬ большое, либо ОЧЕНЬ маленькое по сравнению с другими.

Например, в наборе оценок 4, 5, 4, 5, 4 всё ровно. А в наборе 4, 5, 4, 5, 40 число 40 — явный выброс (наверное, кто-то ошибся при записи, или это что-то особенное).

Знаменитый пример: зарплаты в маленькой фирме

В фирме 5 человек. Зарплаты (тыс. руб.):

20, 22, 25, 28, 305 (это директор)

Посчитаем обе величины.

Среднее: (20 + 22 + 25 + 28 + 305) / 5 = 400 / 5 = 80 тыс. руб.

Медиана: набор уже упорядочен, 5 чисел, центр — третье: 25 тыс. руб.

Смотри, что получилось. Среднее — 80 тыс., но столько не получает никто! Четверо получают по 20–28, а пятый — целых 305. Среднее оказалось выше зарплаты четырёх человек из пяти. Если директор скажет «у нас средняя зарплата 80 тысяч» — формально не соврёт, но реальную картину спрячет.

А медиана — 25 тыс. — стоит прямо среди реальных зарплат сотрудников. Она честно говорит: «типичный работник получает около 25».

📌 Запомни: среднее чувствительно к выбросам — одно большое (или маленькое) значение тянет его за собой. Медиана устойчива: ей важен только тот, кто в центре, а не насколько велик крайний.

Почему так происходит

Среднее использует сумму всех чисел. Большое число сильно увеличивает сумму → среднее прыгает. Медиана же смотрит только на позицию в середине: замени 305 хоть на 3000 — медиана как была 25, так и останется! Проверь сам: 20, 22, 25, 28, 3000 → медиана всё равно 25.

⏱ Попробуй сам: в наборе 10, 12, 14, 16, 18 замени 18 на 1000. Что сильнее изменится — среднее или медиана? Прикинь без точного счёта.

Когда что выбирать

💡 Лайфхак (правило выбора):

• Есть выброс / данные несимметричны (зарплаты, цены на жильё, время реакции) → надёжнее медиана.
• Данные ровные, без выбросов → удобнее и привычнее среднее.

Ещё пример: средний балл за четверть. Если у тебя 5, 5, 5, 5, 2 — среднее = 4,4, медиана = 5. Одна случайная двойка утянула среднее. Что честнее описывает твою учёбу? Скорее медиана (5). Но учитель по правилам считает среднее — потому что каждая оценка важна и должна влиять. Видишь: выбор зависит от цели!

⚠️ Частая ошибка: думать, что одна из величин «правильная», а другая «неправильная». Обе верны — они просто отвечают на разные вопросы. «Сколько на всех в среднем?» → среднее. «Сколько у того, кто в центре?» → медиана.

🤔 А знаешь ли ты? Когда в новостях говорят про «средний доход по стране», экономисты часто специально берут медиану — потому что несколько миллиардеров иначе раздули бы среднее так, что цифра перестала бы что-либо значить для обычных людей.

✍️ Разбор примеров

Пример 1. Найди выброс. Набор: 3, 4, 4, 5, 3, 4, 90. Какое значение — выброс? Решение: все числа около 3–5, а 90 резко выбивается. Выброс — 90.

Пример 2. Сравни до и после. Дан набор 6, 7, 8, 9, 10. а) Найди среднее и медиану. б) Замени 10 на 100 и пересчитай. Решение: а) Среднее = (6+7+8+9+10)/5 = 40/5 = 8. Медиана (центр) = 8. б) Новый набор 6, 7, 8, 9, 100. Среднее = (6+7+8+9+100)/5 = 130/5 = 26. Медиана = 8 (центр не изменился). Вывод: среднее прыгнуло с 8 до 26, а медиана осталась 8. Среднее чувствительно, медиана — нет.

Пример 3. Что честнее? Время поездки до школы за 5 дней (мин): 12, 13, 12, 14, 45 (был ремонт дороги). Какая величина честнее опишет «обычную» дорогу? Решение: 45 — выброс (необычный день). Медиана: упорядочим 12, 12, 13, 14, 45 → медиана = 13 мин. Среднее = (12+13+12+14+45)/5 = 96/5 = 19,2 мин. Обычную дорогу честнее описывает медиана (13 мин).

Пример 4. Зарплаты. Зарплаты (тыс.): 30, 35, 40, 35, 260. Найди среднее и медиану. Какую назвать сотрудникам? Решение: среднее = (30+35+40+35+260)/5 = 400/5 = 80. Медиана: упорядочим 30, 35, 35, 40, 260 → 35. Из-за выброса 260 честнее медиана = 35 тыс.

Пример 5. Цены на квартиры. Цены (млн): 5, 6, 6, 7, 50. Что использовать для «типичной» цены? Решение: 50 — выброс (элитная квартира). Медиана: 5, 6, 6, 7, 50 → 6 млн. Среднее = (5+6+6+7+50)/5 = 74/5 = 14,8 млн — обманчиво высоко. Берём медиану = 6 млн.

Пример 6. Когда среднее уместно. Рост пятерых ребят (см): 150, 152, 149, 151, 148. Выбросов нет. Среднее или медиана? Решение: данные ровные, выбросов нет → подойдёт среднее. Среднее = (150+152+149+151+148)/5 = 750/5 = 150 см. (Медиана тоже 150 — они почти совпадают, как всегда без выбросов.)

💡 Запомни главное

• Выброс — значение, резко отличающееся от остальных (очень большое или очень малое).
• Среднее чувствительно к выбросам (использует сумму всех чисел) — один «гигант» тянет его за собой.
• Медиана устойчива к выбросам (смотрит только на центр) — крайние значения её почти не трогают.
• Выбор: есть выброс / данные «перекошены» → медиана; данные ровные → среднее.
• Обе величины верны — просто отвечают на разные вопросы.

📝 Домашнее задание

1. В наборе 7, 8, 7, 9, 8, 120 укажи выброс.
2. Для набора 2, 3, 4, 5, 6 найди среднее и медиану. Близки ли они? Почему?
3. Для набора 2, 3, 4, 5, 100 найди среднее и медиану. Объясни разницу.
4. Зарплаты в отделе (тыс.): 25, 27, 30, 28, 190. Найди среднее и медиану. Какую величину честнее сообщить новичку и почему?
5. Время выполнения задания (мин): 5, 6, 5, 7, 6, 40. Какая величина лучше опишет «обычное» время? Посчитай её.
6. Оценки ученика: 5, 5, 4, 5, 2. Найди среднее и медиану. Что больше повлияло на среднее — четвёрка или двойка?
7. Придумай набор из 5 чисел, в котором среднее заметно больше медианы. Объясни, за счёт чего.
8. В наборе 10, 20, 30, 40, 50 заменили 50 на 500. Как изменятся среднее и медиана? Посчитай оба значения до и после.
9. ⭐ В классе 9 учеников. У восьмерых рост 140–150 см, а один баскетболист — 195 см. Учитель хочет назвать «типичный рост ученика». Что ему выбрать — среднее или медиану? Объясни, что произойдёт со средним из-за баскетболиста.