Урок 11. Отклонения значений от среднего

Вероятность и статистика, 7 класс · Глава 2. Описательная статистика · ~45 минут

🎯 Что ты узнаешь

• Что такое отклонение значения от среднего арифметического и как его посчитать.
• Почему сумма всех отклонений всегда равна нулю (и почему это не случайность).
• Зачем нужен модуль отклонения и что такое разброс данных.
• Как по отклонениям понять, кто «как все», а кто «выбивается».

📖 Разбираемся в теме

Представь: вы вчетвером скинулись на пиццу. Ты дал 200 ₽, друг — 300 ₽, сестра — 100 ₽, а младший брат — 0 ₽ (он просто пришёл поесть, мелкий же). Сколько в среднем дал один человек?

$$\bar{x} = \frac{200 + 300 + 100 + 0}{4} = \frac{600}{4} = 150 \text{ ₽}.$$

Среднее — 150 ₽. Но никто не дал ровно 150! Кто-то больше, кто-то меньше. Вот это «насколько я выше или ниже среднего» и называется отклонением.

📌 Запомни: Отклонение значения от среднего — это разность «значение минус среднее»: $$\text{отклонение} = x - \bar{x}.$$ Если число больше среднего — отклонение положительное. Если меньше — отрицательное.

Посчитаем отклонения для нашей пиццы (среднее $\bar{x} = 150$):

Отклонение показывает, на сколько и в какую сторону значение ушло от среднего. Друг — «щедрый» (+150), брат — «прижимистый» (−150).

Главный фокус: сумма отклонений = 0

Сложи последний столбик:

$$(+50) + (+150) + (-50) + (-150) = 0.$$

Ноль! И это не везение. Так будет всегда, для любого набора чисел.

🤔 А знаешь ли ты? Среднее арифметическое — это как точка равновесия качелей. Те, кто выше среднего, «перевешивают» ровно настолько, насколько те, кто ниже, «недовешивают». Поэтому плюсы и минусы взаимно уничтожаются, и в сумме получается ровно 0.

Почему так? Среднее устроено так, что «излишки» одних в точности компенсируют «нехватку» других. Это и есть смысл среднего: оно стоит посередине так, чтобы суммарный перевес в обе стороны был одинаков.

⚠️ Частая ошибка: «Сумма отклонений равна нулю — значит, разброса нет, все одинаковые». Нет! Сумма нулевая всегда, даже если числа очень разные. Просто плюсы гасят минусы. Чтобы измерить разброс, минусы нужно убрать.

Как же измерить разброс? Берём модуль!

Если плюсы и минусы всё портят, давай уберём знаки — возьмём модуль (абсолютную величину) каждого отклонения. Модуль показывает чистое расстояние от среднего, без направления.

| Человек | Отклонение | Модуль отклонения $|x - \bar{x}|$ | |---|---|---| | Ты | $+50$ | 50 | | Друг | $+150$ | 150 | | Сестра | $-50$ | 50 | | Брат | $-150$ | 150 |

Теперь сумма модулей: $50 + 150 + 50 + 150 = 400$. Уже не ноль! По модулям видно: брат и друг «удалены» от среднего сильно (на 150), а ты с сестрой — близко (на 50).

💡 Лайфхак: Хочешь быстро понять, «кучные» данные или «разбросанные»? Посмотри на модули отклонений. Маленькие модули — все жмутся к среднему. Большие модули — числа разлетелись.

Разброс — это про то, насколько сильно числа разбегаются от среднего. Чем больше модули отклонений, тем больше разброс. (Самую простую меру разброса — размах — ты уже знаешь: это «наибольшее минус наименьшее».)

⏱ Попробуй сам. Набор оценок: 3, 4, 5, 4. Найди среднее, посчитай все четыре отклонения и проверь, что в сумме получится 0.

✍️ Разбор примеров

Пример 1. Находим отклонения

Набор: 6, 9, 12. Найди среднее и отклонения каждого значения.

Решение. $$\bar{x} = \frac{6 + 9 + 12}{3} = \frac{27}{3} = 9.$$ Отклонения: $6 - 9 = -3$; $9 - 9 = 0$; $12 - 9 = +3$. Ответ: среднее 9; отклонения $-3$, $0$, $+3$.

Пример 2. Проверяем, что сумма равна нулю

Для набора из примера 1 проверь сумму отклонений.

Решение. $(-3) + 0 + (+3) = 0$. Сходится — как и должно быть.

Пример 3. Восстанавливаем значение по отклонению

Среднее набора равно 20. Известно, что отклонение одного из значений равно $-7$. Чему равно само значение?

Решение. Раз $x - \bar{x} = -7$ и $\bar{x} = 20$, то $x = 20 + (-7) = 13$. Ответ: 13.

Пример 4. Сумма модулей отклонений

Набор: 2, 4, 4, 10. Найди среднее и сумму модулей отклонений.

Решение. $$\bar{x} = \frac{2 + 4 + 4 + 10}{4} = \frac{20}{4} = 5.$$ Отклонения: $2-5=-3$; $4-5=-1$; $4-5=-1$; $10-5=+5$. Модули: 3, 1, 1, 5. Сумма модулей: $3 + 1 + 1 + 5 = 10$. Ответ: среднее 5; сумма модулей отклонений 10.

Пример 5. Кто дальше от среднего?

Рост (см) четырёх друзей: 150, 160, 170, 180. Кто отклоняется от среднего сильнее всех?

Решение. $$\bar{x} = \frac{150 + 160 + 170 + 180}{4} = \frac{660}{4} = 165.$$ Модули отклонений: $|150-165|=15$; $|160-165|=5$; $|170-165|=5$; $|180-165|=15$. Сильнее всех (на 15 см) отклоняются ребята с ростом 150 и 180. Ответ: рост 150 и 180 (модуль отклонения 15 см).

Пример 6. Используем «сумма отклонений = 0»

В наборе из 5 чисел отклонения четырёх из них равны: $+4$, $-2$, $+1$, $-1$. Чему равно отклонение пятого числа?

Решение. Все отклонения в сумме дают 0. Сумма известных: $4 - 2 + 1 - 1 = 2$. Значит, пятое отклонение равно $-2$ (чтобы итог стал 0). Ответ: $-2$.

💡 Запомни главное

• Отклонение $= x - \bar{x}$ (значение минус среднее). Знак показывает, выше или ниже среднего значение.
• Сумма всех отклонений всегда равна 0 — это свойство среднего, проверка любого расчёта.
• Модуль отклонения $|x - \bar{x}|$ — расстояние до среднего без знака; по нему видно, кто «выбивается».
• Разброс — насколько сильно данные разбегаются от среднего. Размах (макс − мин) — простейшая мера разброса.

📝 Домашнее задание

1. Набор: 5, 8, 11. Найди среднее и все отклонения.
2. Проверь для задания 1, что сумма отклонений равна нулю.
3. Набор: 10, 10, 10, 10. Найди среднее, отклонения и сумму модулей отклонений. Что особенного?
4. Среднее набора равно 50. Отклонение одного значения равно $+12$. Найди это значение.
5. Набор: 1, 3, 3, 5, 8. Найди среднее и сумму модулей отклонений.
6. В наборе из 4 чисел три отклонения равны $+5$, $-3$, $-6$. Найди четвёртое отклонение.
7. Температура в полдень за 5 дней (°C): 18, 20, 22, 19, 21. Найди среднее и определи, в какой день отклонение от среднего было наибольшим по модулю.
8. ⭐ Придумай набор из 4 чисел, у которого среднее равно 6, а сумма модулей отклонений равна 8. (Подсказка: подбери пары значений выше и ниже 6.)