Урок 13. Группировка данных. Таблицы частот

Вероятность и статистика, 7 класс · Глава 3. Случайная изменчивость · ~45 минут

🎯 Что ты узнаешь

• Что такое частота значения и таблица частот.
• Как из кучи «сырых» данных навести порядок — сгруппировать их.
• Что такое относительная частота и как перевести её в проценты.
• Как проверить таблицу частот, чтобы не ошибиться в подсчёте.

📖 Разбираемся в теме

Ты опросил 20 одноклассников: сколько у каждого домашних животных? Получил вот такой список:

1, 0, 2, 1, 0, 3, 1, 1, 0, 2, 1, 0, 1, 2, 1, 0, 1, 3, 0, 1

Глядя на эту вереницу чисел, трудно что-то понять. Сколько ребят вообще без животных? Сколько с тремя? Глаза разбегаются. Нужно навести порядок — сгруппировать одинаковые значения и посчитать, сколько раз каждое встречается.

📌 Запомни: Частота значения — это сколько раз данное значение встретилось в наборе. Таблица, где для каждого значения указана его частота, называется таблицей частот.

Посчитаем (можно ставить палочки-чёрточки, проходя по списку):

Теперь всё видно как на ладони: чаще всего у ребят по одному животному (9 человек), без животных — 6, и так далее.

💡 Лайфхак: Когда считаешь частоты вручную, иди по списку один раз и для каждого числа ставь палочку в нужную строку: |, ||, |||, ||||… Так ничего не пропустишь и не посчитаешь дважды.

Главная проверка

⚠️ Частая ошибка: забыть проверить сумму частот. Сумма всех частот обязана равняться объёму набора (общему количеству данных). У нас: $6 + 9 + 3 + 2 = 20$ — ровно столько, сколько мы опросили. Если бы вышло 19 или 21 — где-то ошибка, пересчитывай!

Относительная частота

Частота 9 — это много или мало? Зависит от того, из скольки. 9 из 20 — почти половина. Чтобы сравнивать честно, считают долю — относительную частоту.

📌 Запомни: Относительная частота $= \dfrac{\text{частота}}{\text{объём набора}}$. Это доля; её часто выражают в процентах (умножив на 100).

Допишем столбцы:

📌 Запомни: Сумма всех относительных частот всегда равна 1 (или 100%). Это вторая отличная проверка.

А если значений очень много?

Опросили рост 30 учеников — и получили числа от 142 до 178 см, почти все разные. Делать строку на каждый рост? Получится 37 строк с частотой 1 — бессмысленно. Тогда данные группируют в интервалы (группы): 140–145, 145–150, 150–155 и т. д. — и считают частоту каждой группы.

📌 Запомни: Группировка — это разбиение данных на интервалы (группы) одинаковой ширины. Частота группы — сколько значений попало в этот интервал. Группируют, когда значений много и они почти все разные.

Например, рост (см): 142, 148, 151, 153, 149, 155, 161, 158, 144, 152 — сгруппируем по 10 см:

Пересчитаем аккуратно для группы 160–170: подходит только 161. А 149 куда? В 140–150. Давай по-честному: 142→[140,150), 148→[140,150), 151→[150,160), 153→[150,160), 149→[140,150), 155→[150,160), 161→[160,170), 158→[150,160), 144→[140,150), 152→[150,160).

Проверка: $4 + 5 + 1 = 10$. ✓ Граница (например, ровно 150) по договорённости относится к правому интервалу — то есть 150 попадает в группу 150–160.

⏱ Попробуй сам. Оценки за тест: 4, 5, 3, 4, 5, 5, 4, 3, 4, 5. Построй таблицу частот для значений 3, 4, 5 и проверь, что сумма частот равна 10.

✍️ Разбор примеров

Пример 1. Строим таблицу частот

Набор: 2, 3, 2, 5, 3, 2, 5, 3, 2. Составь таблицу частот.

Решение. Считаем каждое значение: 2 встречается 4 раза, 3 — три раза, 5 — два раза.

Проверка: $4 + 3 + 2 = 9$ — столько и было чисел. ✓

Пример 2. Относительная частота

Для таблицы из примера 1 найди относительную частоту значения 2.

Решение. Объём набора 9, частота двойки 4. Относительная частота $= 4/9 \approx 0{,}44$, то есть около 44%. Ответ: $\approx 0{,}44$ (≈ 44%).

Пример 3. Находим частоту по относительной частоте

В наборе из 50 чисел относительная частота значения «отлично» равна 0,2. Сколько раз встретилось «отлично»?

Решение. Частота $=$ относит. частота $\times$ объём $= 0{,}2 \times 50 = 10$. Ответ: 10 раз.

Пример 4. Восстанавливаем пропущенную частоту

В таблице четыре значения, объём набора 25. Частоты: 7, 6, ?, 4. Найди пропуск.

Решение. Сумма частот $= 25$. Значит, $7 + 6 + ? + 4 = 25$, то есть $17 + ? = 25$, откуда $? = 8$. Ответ: 8.

Пример 5. Группировка в интервалы

Время решения задачи (мин): 3, 7, 12, 5, 9, 14, 6, 11, 4, 8. Сгруппируй по интервалам шириной 5 (0–5, 5–10, 10–15) и составь таблицу частот. Граница относится к правому интервалу.

Решение. Разносим: 3→[0,5); 7→[5,10); 12→[10,15); 5→[5,10); 9→[5,10); 14→[10,15); 6→[5,10); 11→[10,15); 4→[0,5); 8→[5,10).

Проверка: $2 + 5 + 3 = 10$. ✓

Пример 6. Таблица с относительными частотами

Цвет глаз у 20 ребят: карие — 10, голубые — 6, зелёные — 4. Составь таблицу с относительными частотами в процентах.

Решение.

Проверка: $50 + 30 + 20 = 100%$. ✓

💡 Запомни главное

• Частота значения = сколько раз оно встретилось. Таблица частот собирает все значения и их частоты.
• Сумма частот = объём набора — главная проверка.
• Относительная частота = частота / объём; сумма относительных частот = 1 (= 100%).
• Когда значений много и они почти все разные — данные группируют в интервалы и считают частоту каждой группы.

📝 Домашнее задание

1. Набор: 1, 2, 2, 3, 1, 2, 3, 3, 2, 1. Составь таблицу частот и проверь сумму.
2. Для задания 1 найди относительную частоту значения 2 (долей и в процентах).
3. В наборе из 40 значений относительная частота «да» равна 0,35. Сколько раз встретилось «да»?
4. В таблице три значения, объём набора 30, частоты: 12, ?, 9. Найди пропущенную частоту.
5. Оценки класса: 3, 4, 5, 4, 3, 5, 4, 4, 5, 3, 4, 5. Построй таблицу частот и таблицу относительных частот (в %).
6. Возраст (лет) посетителей кружка: 11, 13, 12, 14, 11, 15, 12, 13, 11, 14. Сгруппируй по интервалам 11–13, 13–15, 15–17 (граница — к правому интервалу) и составь таблицу частот.
7. В таблице частот сумма частот получилась 19, а опросили 20 человек. Что это значит и что нужно сделать?
8. ⭐ Запиши длины (см) 12 карандашей: 14, 9, 11, 16, 13, 10, 15, 12, 8, 17, 11, 14. Сгруппируй по интервалам шириной 3 (8–11, 11–14, 14–17), составь таблицу частот и относительных частот. Проверь обе суммы.