Урок 14. Частота значения. Гистограмма
Вероятность и статистика, 7 класс · Глава 3. Случайная изменчивость · ~45 минут
🎯 Что ты узнаешь
- Как из таблицы частот построить гистограмму — диаграмму из столбиков по группам.
- Как читать гистограмму: где данных много, где мало.
- Чем гистограмма отличается от обычной столбиковой диаграммы (а это важно!).
- Как не наврать при построении: высота = частота, столбики без зазоров.
📖 Разбираемся в теме
Таблица частот — это хорошо, но столбик из чисел не сразу «бросается в глаза». А вот картинка — другое дело. Гистограмма превращает частоты в столбики: чем выше столбик, тем больше данных в этой группе. Один взгляд — и видно, где «толпа», а где пусто.
Возьмём рост 20 семиклассников, уже сгруппированный по интервалам в 5 см:
| Группа (рост, см) | Частота |
|---|---|
| 140–145 | 2 |
| 145–150 | 5 |
| 150–155 | 8 |
| 155–160 | 4 |
| 160–165 | 1 |
| Всего | 20 |
Проверка: $2 + 5 + 8 + 4 + 1 = 20$. ✓ Теперь нарисуем гистограмму: по горизонтали — группы роста, по вертикали — частота, высота столбика равна частоте группы.
Видишь? Самый высокий столбик — группа 150–155 см: там больше всего ребят (8). К краям столбики снижаются: совсем низких и совсем высоких мало. Такую форму — «горкой к середине» — данные о росте, весе, времени принимают очень часто.
📌 Запомни: На гистограмме по горизонтали откладывают интервалы (группы), по вертикали — частоты. Высота каждого столбика равна частоте группы. Столбики стоят вплотную, без промежутков.
Почему столбики без зазоров?
Потому что интервалы идут подряд и без разрывов: 145–150 кончается там, где начинается 150–155. Пробел между столбиками означал бы «пропущенный кусок данных», а его нет. Поэтому столбики гистограммы касаются друг друга.
💡 Лайфхак: Высоту столбика выбирай строго по частоте. Если частота 8, столбик ровно в 2 раза выше, чем при частоте 4. Нельзя «на глазок» — иначе картинка соврёт.
Гистограмма ≠ столбиковая диаграмма
Они похожи внешне, но это разные вещи:
| Столбиковая диаграмма | Гистограмма | |
|---|---|---|
| Что по горизонтали | отдельные категории (города, цвета, месяцы) | числовые интервалы (группы) |
| Зазоры между столбиками | есть (категории не связаны) | нет (интервалы идут подряд) |
| Можно менять порядок столбиков | да (хоть как) | нет — интервалы идут по возрастанию |
⚠️ Частая ошибка: называть любую диаграмму со столбиками гистограммой. Если по горизонтали категории (например, «футбол», «хоккей», «теннис») — это столбиковая диаграмма, столбики с зазорами. Гистограмма — только когда по горизонтали идут числовые интервалы подряд.
🤔 А знаешь ли ты? Слово «гистограмма» придумал в 1891 году статистик Карл Пирсон. Корень «histos» по-гречески — «мачта, столб»: получается «диаграмма из столбов».
⏱ Попробуй сам. По таблице ниже прикинь в голове, какой столбик будет самым высоким, а какой — самым низким: группа 0–10 → 3, 10–20 → 7, 20–30 → 2.
✍️ Разбор примеров
Пример 1. Читаем гистограмму
По гистограмме на Рис. 1 ответь: сколько учеников ростом от 145 до 155 см?
Решение. Это две группы: 145–150 (частота 5) и 150–155 (частота 8). Складываем: $5 + 8 = 13$. Ответ: 13 учеников.
Пример 2. Самый частый интервал
По Рис. 1: в какой группе роста больше всего ребят и сколько их?
Решение. Самый высокий столбик — группа 150–155 см, его высота соответствует частоте 8. Ответ: группа 150–155 см, 8 человек.
Пример 3. Гистограмма или столбиковая?
Какой тип диаграммы подойдёт: а) число учеников по любимым видам спорта; б) число учеников по интервалам времени до школы?
Решение. а) виды спорта — это категории, значит, столбиковая диаграмма (с зазорами). б) время — это числовые интервалы подряд, значит, гистограмма (без зазоров). Ответ: а) столбиковая; б) гистограмма.
Пример 4. Строим гистограмму по таблице
Число сообщений в день у ученика за 20 дней сгруппировали:
| Группа | 0–10 | 10–20 | 20–30 | 30–40 |
|---|---|---|---|---|
| Частота | 3 | 9 | 6 | 2 |
Опиши, как будет выглядеть гистограмма, и проверь объём.
Решение. Проверка: $3 + 9 + 6 + 2 = 20$ — верно. Четыре столбика подряд без зазоров; высоты 3, 9, 6, 2. Самый высокий — группа 10–20 (частота 9), самый низкий — 30–40 (частота 2). Форма — «горка» с пиком на 10–20.
Ответ: объём 20; пик на группе 10–20.
Пример 5. Доля по гистограмме
По таблице из примера 4: какая доля дней (в %) приходится на группу 20–30 сообщений?
Решение. Частота группы 6, объём 20. Относительная частота $= 6/20 = 0{,}3 = 30%$. Ответ: 30%.
💡 Запомни главное
- Гистограмма — столбики по числовым интервалам; высота = частота группы; столбики вплотную, без зазоров.
- Читать гистограмму просто: высокий столбик — много данных в этой группе.
- Столбиковая диаграмма — для категорий, столбики с зазорами, порядок любой. Гистограмма — для числовых интервалов подряд.
- Высоту столбиков бери строго по частоте, не «на глаз».
📝 Домашнее задание
- По Рис. 1 определи, сколько учеников ростом ниже 150 см.
- По Рис. 1 найди долю (в %) учеников из группы 150–155 см.
- Объясни своими словами, почему у гистограммы нет зазоров между столбиками.
- Для каждого случая укажи тип диаграммы (гистограмма или столбиковая): а) число книг, прочитанных за месяц учениками, сгруппированное по интервалам; б) популярность мультфильмов; в) распределение оценок 2,3,4,5 по классу.
- Дана таблица: группа 0–4 → 2, 4–8 → 6, 8–12 → 7, 12–16 → 3. Проверь объём набора и определи, какой столбик будет самым высоким.
- Построй (нарисуй на бумаге) гистограмму по таблице из задания 5.
- Время до школы (мин) 16 учеников сгруппировали: 5–10 → 4, 10–15 → 7, 15–20 → 3, 20–25 → 2. Найди, сколько учеников добираются дольше 15 минут, и их долю в %.
- ⭐ Собери реальные данные: возраст 12 своих родственников или друзей. Сгруппируй по интервалам шириной 10 лет (0–10, 10–20, 20–30, …), составь таблицу частот и нарисуй гистограмму. Подпиши, какая группа самая большая.