Урок 27. Итоговое повторение за 7 класс

Вероятность и статистика, 7 класс · Итоговое повторение · ~45 минут

🎯 Что ты узнаешь

• Соберём в одну «карту тем» весь год: данные и диаграммы, среднее/медиана/размах, частота, графы, вероятность
• Освежим главные формулы и определения — это твой мини-справочник перед контрольной
• Прорешаем итоговые задачи по всем темам сразу

📖 Разбираемся в теме

Поздравляю — ты дошёл до финала! За год ты прошёл путь от «что такое множество» до настоящих вероятностей. Сейчас не будем учить ничего нового. Вместо этого разложим всё по полочкам, чтобы перед контрольной в голове был порядок, а не каша. Готов? Поехали по карте.

Мини-справочник по темам

1. Данные и диаграммы. Данные — это собранная информация (рост ребят, оценки, любимые цвета). Их показывают диаграммами:

• столбиковая — сравнить величины (у кого больше);
• круговая — показать доли целого (вся диаграмма = 100 %);
• линейная (график) — показать изменение во времени.

📌 Запомни: на круговой диаграмме весь круг — это 100 %, или целое. Половина круга = 50 %, четверть = 25 %.

2. Среднее, медиана, размах. Это «характеристики набора чисел».

• Среднее арифметическое = (сумма всех чисел) ÷ (их количество).
• Медиана — число «посередине» упорядоченного ряда. Если чисел чётное количество — берут среднее двух центральных.
• Размах = (наибольшее число) − (наименьшее число).

⚠️ Частая ошибка: искать медиану, не упорядочив числа! Сначала выстрой по возрастанию, потом ищи середину.

💡 Лайфхак: среднее «чувствует» выбросы (одно огромное число тянет его вверх), а медиана — нет. Поэтому про зарплаты часто говорят медиану.

3. Частота. Сколько раз встретилось значение.

• Частота — само количество появлений (например, «пятёрку получили 8 раз»).
• Относительная частота = частота ÷ общее число → доля, её можно перевести в проценты.

4. Графы. Граф — точки (вершины) и соединяющие их линии (рёбра). Ими рисуют схемы дорог, друзей, маршрутов.

• Степень вершины — число рёбер, выходящих из неё.
• Сумма степеней всех вершин = удвоенное число рёбер.

5. Вероятность. Главная формула года!

📌 Запомни: $$P(A) = \frac{m}{N}$$ где $N$ — число всех равновозможных исходов, $m$ — число благоприятствующих исходов. Всегда $0 \le P \le 1$. Дробь сокращаем, можно дать в процентах.

⏱ Попробуй сам: не подглядывая в справочник выше, скажи, чем медиана отличается от среднего. Потом проверь себя.

🤔 А знаешь ли ты? Все пять тем связаны! Например, относительная частота события при большом числе опытов становится близка к его вероятности. Бросишь монету 1000 раз — орёл выпадет примерно в 50 % случаев. Это называют законом больших чисел.

✍️ Разбор примеров

Пример 1 (среднее, медиана, размах). Оценки за неделю: 4, 5, 3, 5, 4, 5, 2. Найди среднее, медиану и размах.

Решение.

• Среднее: $(4+5+3+5+4+5+2) : 7 = 28 : 7 = 4$.
• Медиана: упорядочим → 2, 3, 4, 4, 5, 5, 5. Чисел 7, середина — 4-е число → медиана 4.
• Размах: $5 - 2 = 3$.

Пример 2 (круговая диаграмма). Из 24 учеников 12 любят пиццу, 6 — суши, 6 — бургеры. Какую долю круга (в процентах) займёт пицца?

Решение. Доля пиццы: $\frac{12}{24} = \frac{1}{2} = 50%$ — ровно половина круга.

Пример 3 (частота). В слове «МАТЕМАТИКА» посчитай частоту буквы «А». Найди относительную частоту.

Решение. В слове 10 букв. Буква «А» встречается: М-А-Т-Е-М-А-Т-И-К-А → 3 раза. Частота = 3. Относительная частота = $\frac{3}{10} = 0{,}3 = 30%$.

Пример 4 (граф). В графе 4 вершины, и каждая соединена с каждой. Сколько всего рёбер?

Решение. Каждая пара вершин соединена одним ребром. Пары: (1-2), (1-3), (1-4), (2-3), (2-4), (3-4) → 6 рёбер.

Пример 5 (вероятность). Бросают кубик. Найди вероятность выпадения числа, кратного 2 или 3.

Решение. $N=6$. Числа, кратные 2 или 3: 2, 3, 4, 6 → $m=4$. $$P = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \approx 67%$$

Пример 6 (вероятность с картами). Из колоды 36 карт тянут одну. Найди вероятность вытащить карту чёрной масти (пики и трефы — это 2 масти по 9 карт).

Решение. Чёрных карт: $9 + 9 = 18$. $N = 36$, $m = 18$. $$P = \frac{18}{36} = \frac{1}{2} = 50%$$

💡 Запомни главное

📌 Формула вероятности (главное за год): $$P(A) = \frac{m}{N}$$

• $N$ — все равновозможные исходы;
• $m$ — благоприятствующие исходы;
• $0 \le P(A) \le 1$; $P=0$ — невозможное, $P=1$ — достоверное;
• дробь сокращаем, ответ можно дать в процентах.

И коротко по остальным темам:

• Среднее = сумма ÷ количество; медиана = середина упорядоченного ряда; размах = max − min.
• Частота — сколько раз встретилось; относительная частота = частота ÷ всего.
• Круговая диаграмма = доли (весь круг 100 %), столбиковая = сравнение, график = изменение.
• Граф: вершины + рёбра; степень вершины = число рёбер из неё.

📝 Домашнее задание

1. (Среднее) Найди среднее арифметическое чисел: 6, 8, 7, 9, 10.
2. (Медиана и размах) Дан ряд: 12, 7, 9, 15, 7, 20. Упорядочи его, найди медиану и размах.
3. (Частота) В слове «СТАТИСТИКА» найди частоту буквы «Т» и её относительную частоту в процентах.
4. (Круговая диаграмма) В классе 30 человек: 15 ездят на дачу, 9 — к морю, 6 остаются дома. Какую долю круга (в %) займёт сектор «море»?
5. (Столбиковая диаграмма) По диаграмме оценок (см. рисунок ниже) определи, сколько всего учеников писали работу и какая оценка встречалась чаще всего.
6. (Граф) В компании 5 друзей, и каждый поздоровался за руку с каждым ровно один раз. Сколько было рукопожатий?
7. (Вероятность, монета) Монету бросают дважды. Найди вероятность, что выпадет ровно один орёл.
8. (Вероятность, кубик) Бросают кубик. Найди вероятность выпадения числа, большего 2.
9. (Вероятность, шары) В мешке 5 красных, 3 синих и 2 жёлтых одинаковых шара. Найди вероятность достать не красный шар.
10. (Вероятность, карты) Из колоды 36 карт тянут одну. Найди вероятность вытащить «картинку» — валета, даму или короля (их по 4 каждого).
11. (Комбо: среднее + вероятность) Кубик бросили 5 раз, выпало: 3, 6, 2, 6, 3. Найди среднее этих чисел и размах. А ещё: если бросить кубик ещё раз, какова вероятность снова выпасть шестёрке?
12. ⭐ (Комбо: всё сразу) В корзине лежат карточки с числами 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10. Тянут одну наугад. Найди: а) вероятность вытащить чётное число; б) вероятность вытащить число, кратное 3; в) среднее арифметическое всех чисел на карточках; г) медиану и размах этого ряда чисел.