Урок 26. Вычисление вероятностей

Вероятность и статистика, 7 класс · Случайные события и вероятность · ~45 минут

🎯 Что ты узнаешь

• Главную формулу всего курса — классическое определение вероятности $P(A) = \dfrac{m}{N}$
• Как вычислять вероятности в простых опытах: монета, кубик, шары, карты
• Почему вероятность — это всегда число от 0 до 1
• Как записать ответ дробью и перевести его в проценты

📖 Разбираемся в теме

На прошлом уроке мы научились находить два важных числа: $N$ — сколько всего равновозможных исходов, и $m$ — сколько из них благоприятствуют событию. Теперь — главное волшебство. Эти два числа складываются (точнее, делятся) в вероятность — число, которое показывает, насколько событие вероятно.

📌 Запомни (классическое определение вероятности): $$P(A) = \frac{m}{N}$$ где $N$ — число всех равновозможных исходов опыта, а $m$ — число исходов, благоприятствующих событию $A$. Буква $P$ — от латинского probabilitas («вероятность»).

Звучит как заклинание, но смысл простой: сколько «подходящих» исходов из всех возможных. Вот и всё.

Монета

Бросаем честную монету. Какова вероятность выпадения орла?

• Всех исходов: $N = 2$ (орёл, решка).
• Благоприятствующих событию «орёл»: $m = 1$.

$$P(\text{орёл}) = \frac{1}{2} = 0{,}5 = 50%$$

Логично! Орёл выпадает примерно в половине бросков.

Кубик

Бросаем симметричный кубик. Вероятность выпадения шестёрки:

• $N = 6$, $m = 1$ (благоприятствует только грань «6»). $$P(6) = \frac{1}{6} \approx 0{,}17 \approx 17%$$

А вероятность выпадения чётного числа?

• $N = 6$, благоприятствуют 2, 4, 6 → $m = 3$. $$P(\text{чётное}) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} = 50%$$

💡 Лайфхак: дробь всегда сокращай! $\frac{3}{6}$ — это то же самое, что $\frac{1}{2}$, но второй вариант красивее и сразу понятен.

Вероятность — всегда от 0 до 1

Вероятность не может быть «больше единицы» или «отрицательной». Она всегда живёт в диапазоне от 0 до 1.

📌 Запомни: $0 \le P(A) \le 1$.

• $P = 0$ — событие невозможное (никогда не случится). Например, $P(\text{выпало 7 на кубике}) = 0$.
• $P = 1$ — событие достоверное (случится точно). Например, $P(\text{выпало число от 1 до 6}) = \frac{6}{6} = 1$.
• Чем ближе $P$ к 1, тем событие вероятнее.

⚠️ Частая ошибка: записать вероятность как $\frac{6}{1}$ или «2» — это невозможно! Если у тебя получилось число больше 1 — ты перепутал $m$ и $N$ местами. Сверху всегда меньшее число (благоприятствующие), снизу — общее.

Дробь и проценты

Один и тот же ответ можно записать тремя способами. Чтобы перевести дробь в проценты, умножь её на 100 %: $$\frac{1}{4} = 0{,}25 = 25% \qquad \frac{3}{36} = \frac{1}{12} \approx 0{,}083 \approx 8{,}3%$$

💡 Лайфхак: обыкновенная дробь — самый честный ответ (ничего не округляешь). Проценты удобны «для жизни»: «шанс примерно 17 %» звучит понятнее, чем «$\frac{1}{6}$».

Карты и дерево исходов

Из колоды 36 карт тянем одну. Вероятность вытащить туза:

• $N = 36$ (всего карт), $m = 4$ (тузов четыре). $$P(\text{туз}) = \frac{4}{36} = \frac{1}{9} \approx 0{,}11 \approx 11%$$

Когда опыт состоит из нескольких шагов, исходы удобно рисовать деревом. Вот дерево для двух бросков монеты:

По дереву видно: исходов 4, и каждый равновозможный. Значит, $P(\text{выпало два орла}) = P(\text{ОО}) = \frac{1}{4} = 25%$.

🤔 А знаешь ли ты? Слово «вероятно» мы говорим каждый день («наверное, будет дождь»), но точные числа появились только в XVII веке. Зато теперь вероятностью пользуются везде: прогноз погоды, страховки, медицина, видеоигры (тот самый «шанс выпадения редкого предмета»!).

⏱ Попробуй сам: из колоды 36 карт тянут одну. Найди $P(\text{дама})$ — дам в колоде 4. Запиши дробью и в процентах.

✍️ Разбор примеров

Пример 1. Бросают кубик. Найди вероятность выпадения числа 5.

Решение. $N = 6$, благоприятствует один исход (грань «5»), $m = 1$. $$P(5) = \frac{1}{6} \approx 0{,}17 \approx 17%$$

Пример 2. Бросают кубик. Найди вероятность выпадения числа меньше 5.

Решение. Числа меньше 5: это 1, 2, 3, 4 → $m = 4$. Всего $N = 6$. $$P = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \approx 0{,}67 \approx 67%$$

Пример 3. В мешке 10 одинаковых на ощупь шаров: 3 белых и 7 чёрных. Тянут один. Найди вероятность достать белый шар.

Решение. $N = 10$ (все шары равновозможны), благоприятствуют белые: $m = 3$. $$P(\text{белый}) = \frac{3}{10} = 0{,}3 = 30%$$

Пример 4. Из колоды 36 карт вытаскивают одну. Найди вероятность, что это карта бубновой масти (в колоде 9 бубновых карт).

Решение. $N = 36$, $m = 9$. $$P(\text{бубны}) = \frac{9}{36} = \frac{1}{4} = 0{,}25 = 25%$$

Пример 5. На кубике найди вероятность события «выпало число 7».

Решение. На кубике нет грани «7», благоприятствующих исходов нет: $m = 0$. $$P = \frac{0}{6} = 0$$ Событие невозможное.

Пример 6. В ящике 12 одинаковых шаров с номерами от 1 до 12. Найди вероятность вытащить шар с номером, кратным 3.

Решение. $N = 12$. Кратные 3 от 1 до 12: 3, 6, 9, 12 → $m = 4$. $$P = \frac{4}{12} = \frac{1}{3} \approx 0{,}33 \approx 33%$$

Пример 7. Монету бросают дважды. Найди вероятность, что выпадет хотя бы один орёл.

Решение. Все исходы (по дереву): ОО, ОР, РО, РР → $N = 4$. «Хотя бы один орёл» — это ОО, ОР, РО (нет орла только в РР) → $m = 3$. $$P = \frac{3}{4} = 0{,}75 = 75%$$

💡 Запомни главное

📌 Классическое определение вероятности: $$P(A) = \frac{m}{N}$$

• $N$ — число всех равновозможных исходов опыта;
• $m$ — число исходов, благоприятствующих событию $A$;
• $P(A)$ — всегда число от 0 до 1 ($0 \le P \le 1$);
• $P = 0$ — событие невозможное, $P = 1$ — достоверное;
• дробь сокращай; ответ можно дать дробью, десятичной дробью и в процентах (умножь на 100 %).

Алгоритм решения любой задачи:

1. Найди $N$ — сколько всего равновозможных исходов.
2. Найди $m$ — сколько благоприятствуют событию.
3. Раздели: $P = \frac{m}{N}$, сократи дробь, при желании переведи в проценты.

📝 Домашнее задание

1. Бросают монету. Найди вероятность выпадения решки. Запиши дробью и в процентах.
2. Бросают кубик. Найди вероятность выпадения: а) числа 3; б) нечётного числа.
3. Бросают кубик. Найди вероятность выпадения числа больше 4.
4. В мешке 8 одинаковых шаров: 5 красных и 3 зелёных. Найди вероятность достать зелёный шар.
5. Из колоды 36 карт тянут одну. Найди вероятность, что это король (королей 4). Ответ дробью и в процентах.
6. В ящике 20 шаров с номерами от 1 до 20. Найди вероятность вытащить шар с чётным номером.
7. Бросают кубик. Найди вероятность выпадения числа от 1 до 6. Как называется такое событие?
8. Монету бросают два раза. Найди вероятность, что оба раза выпадет решка. Нарисуй или вспомни дерево исходов.
9. Из колоды 36 карт тянут одну. Найди вероятность, что это не туз (тузов 4). (Подсказка: посчитай, сколько карт — не тузы.)
10. ⭐ В классе 12 девочек и 13 мальчиков. Учитель наугад вызывает одного ученика к доске. Найди вероятность, что вызовут: а) девочку; б) мальчика. Сложи оба ответа — что получилось и почему?