Урок 25. Равновозможные исходы

Вероятность и статистика, 7 класс · Случайные события и вероятность · ~45 минут

🎯 Что ты узнаешь

• Что такое опыт (испытание) и исход в теории вероятностей
• Какие исходы называют равновозможными (равновероятными) и при чём тут симметрия
• Как перечислить все исходы опыта, ничего не забыв
• Что такое благоприятствующие исходы для события — и зачем они нужны

📖 Разбираемся в теме

Подбрось монетку. Что выпадет — орёл или решка? А вот не угадаешь заранее! Кинь кубик — какое число окажется сверху? Тоже загадка. Такие штуки, где результат заранее неизвестен, в математике называют случайными опытами. И, как ни странно, у случайности есть свои строгие правила. Сейчас разберёмся.

📌 Запомни: Опыт (или испытание) — это действие, результат которого заранее неизвестен. Исход — это один из возможных результатов опыта.

Например:

• Опыт «бросить монету» → исходы: орёл, решка.
• Опыт «бросить кубик» → исходы: 1, 2, 3, 4, 5, 6.
• Опыт «вытащить карту из колоды» → исходов целых 36 (или 52, смотря какая колода).

Перечисляем все исходы

Прежде чем считать вероятности (это будет на следующем уроке), надо научиться выписывать все возможные исходы опыта. Главное правило тут — ничего не пропустить и ничего не сосчитать дважды.

Бросаем кубик — выписываем все исходы:

Когда исходы равновозможные?

А теперь самое важное слово урока — равновозможные. Представь честную монету: она ровная, симметричная, не погнутая и не утяжелённая с одной стороны. У орла и решки одинаковые шансы выпасть. Такие исходы называют равновозможными.

📌 Запомни: Исходы называются равновозможными (или равновероятными), если у них одинаковые шансы наступить. Так бывает, когда у опыта есть симметрия: правильная монета, симметричный (честный) кубик, одинаковые на ощупь шары в мешке.

А вот когда исходы НЕ равновозможны:

• Кнопка-гвоздик, брошенная на пол: упасть на спинку или остриём вверх — шансы разные, кнопка не симметрична.
• Кубик, у которого внутри спрятан грузик, — выпадет чаще одна грань.
• Погода: «завтра дождь» и «завтра солнце» — это не 50 на 50, у них разные шансы.

⚠️ Частая ошибка: думать, что исходов всегда «поровну». Если в мешке 3 красных шара и 1 синий, то исходы «достать красный» и «достать синий» — НЕ равновозможные! Зато сами шары (если они одинаковы на ощупь) тянутся равновозможно — каждый шар с равным шансом.

💡 Лайфхак: ищи симметрию. Если все исходы устроены «одинаково» и ни один ничем не выделяется — они равновозможные. Чуть что выбивается из ряда — стоп, шансы разные.

⏱ Попробуй сам: в коробке лежат 5 одинаковых на ощупь карандашей разных цветов. Ты тянешь один не глядя. Равновозможны ли исходы «достать красный», «достать синий» и т. д.? (Подсказка: карандаши одинаковые на ощупь — а значит...)

🤔 А знаешь ли ты? Идея «равных шансов» — фундамент всей теории вероятностей. Её заложили в XVII веке французские математики Блез Паскаль и Пьер Ферма, разбирая… азартные игры в кости! Игроки спорили, как честно поделить ставку, — а получилась целая наука.

Благоприятствующие исходы

Допустим, мы бросаем кубик и нас интересует событие $A$ = «выпало чётное число». Какие исходы нам «подходят»? Те, где сверху 2, 4 или 6. Эти исходы называют благоприятствующими событию $A$.

📌 Запомни: Благоприятствующий исход для события $A$ — это такой исход, при котором событие $A$ происходит. Проще говоря, исход, который нам «подходит».

Смотри, как это разложить:

Получается, всего исходов 6, а благоприятствующих событию $A$ — целых 3. Запомни эти два числа: на следующем уроке именно из них мы и соберём вероятность!

💡 Лайфхак: чтобы найти благоприятствующие исходы, выпиши все исходы, а потом отметь (например, обведи) те, при которых событие происходит. Что обвёл — то и благоприятствует.

⏱ Попробуй сам: для опыта «бросок кубика» выпиши все благоприятствующие исходы для события «выпало число больше 4».

✍️ Разбор примеров

Пример 1. Опыт: бросают игральный кубик. Перечисли все исходы этого опыта. Сколько их?

Решение. Сверху может оказаться любая из граней с числами от 1 до 6. Все исходы: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Всего исходов — 6, и они равновозможные (кубик симметричный).

Пример 2. Опыт: бросают монету два раза. Перечисли все исходы.

Решение. Будем записывать парами (что выпало в первый раз, что во второй). О — орёл, Р — решка: $$\text{ОО},\ \text{ОР},\ \text{РО},\ \text{РР}$$ Всего 4 исхода. Обрати внимание: ОР и РО — это разные исходы (важно, в каком броске что выпало)!

Пример 3. В мешке 4 одинаковых на ощупь шара: красный, синий, зелёный, жёлтый. Тянем один шар наугад. Равновозможны ли исходы?

Решение. Шары одинаковы на ощупь, ни один ничем не выделяется → у каждого равные шансы быть вытянутым. Исходы (достать К, С, З, Ж) — равновозможные, их 4.

Пример 4. Бросают кубик. Событие $B$ = «выпало нечётное число». Найди благоприятствующие исходы.

Решение. Нечётные числа на кубике: 1, 3, 5. Это и есть благоприятствующие исходы. Их 3 (а всего исходов 6).

Пример 5. В коробке 3 красных и 2 синих шара (все одинаковы на ощупь). Тянем один. Равновозможны ли исходы «достать красный» и «достать синий»?

Решение. Сами шары тянутся равновозможно (5 равновозможных исходов — каждый шар). Но красных шаров 3, а синих 2 → событиям «красный» благоприятствует 3 исхода, а «синий» — 2. Значит, события «достать красный» и «достать синий» НЕ равновозможны: красный достать легче.

Пример 6. Опыт: бросают кубик. Событие $C$ = «выпало число, делящееся на 3». Перечисли все исходы опыта и благоприятствующие исходы события $C$.

Решение. Все исходы: 1, 2, 3, 4, 5, 6 (их 6). На 3 делятся числа 3 и 6. Благоприятствующие исходы события $C$: 3 и 6, их 2.

💡 Запомни главное

• Опыт — действие со случайным результатом; исход — один из результатов.
• Исходы равновозможные, если у них одинаковые шансы (есть симметрия: честная монета, симметричный кубик, одинаковые шары).
• Чтобы решать задачи, надо уметь выписать все исходы опыта — ничего не пропустив и не повторив.
• Благоприятствующий исход события $A$ — исход, при котором $A$ происходит («подходящий» исход).
• Два ключевых числа любой задачи: $N$ — сколько всего равновозможных исходов, $m$ — сколько из них благоприятствуют событию. (С ними мы и работаем на следующем уроке!)

📝 Домашнее задание

1. Опыт: бросают монету один раз. Перечисли все исходы. Сколько их? Равновозможны ли они?
2. Опыт: вытаскивают одну букву из слова «МАМА» (буквы написаны на одинаковых карточках). Перечисли все исходы-карточки. Равновозможны ли они?
3. В мешке лежат 6 одинаковых на ощупь шаров с номерами от 1 до 6. Сколько исходов у опыта «достать один шар»? Равновозможны ли они?
4. Бросают кубик. Событие «выпало число больше 3». Выпиши благоприятствующие исходы и их количество.
5. Бросают кубик. Событие «выпала единица». Сколько благоприятствующих исходов? А всего исходов?
6. В корзине 4 яблока и 1 груша (на ощупь не различить). Тянем один фрукт. Равновозможны ли события «достать яблоко» и «достать грушу»? Объясни.
7. Опыт: бросают монету три раза. Перечисли все исходы (подсказка: их будет 8, записывай тройками вроде ООО, ООР, ...).
8. Кнопку-гвоздик бросают на стол. Можно ли считать исходы «упала остриём вверх» и «упала на спинку» равновозможными? Почему?
9. ⭐ В колоде 36 карт. Опыт: вытаскивают одну карту. Сколько всего исходов? Для события «вытащили туза» назови, сколько благоприятствующих исходов. А для события «вытащили карту червовой масти»? (В колоде 4 туза и 9 карт каждой из 4 мастей.)