Урок 10. Что такое функция

Алгебра, 7 класс · §5 · ~45 минут

🎯 Что ты узнаешь

• Что такое функция простыми словами и зачем это слово придумали
• Кто такой аргумент (независимая переменная) и кто такая функция (зависимая переменная)
• Что такое область определения функции
• Тремя разными способами задать одну и ту же функцию: формулой, таблицей и графиком
• Как замечать функциональную зависимость вокруг себя

📖 Разбираемся в теме

Представь автомат с газировкой. Ты бросаешь монетки — он наливает стакан. Бросил 50 рублей — получил один стакан. Бросил 100 — два. Что бросишь, то и получишь: каждой сумме денег соответствует свой объём газировки.

Вот это «каждому своё, и притом ровно одно» — и есть сердце слова функция.

Математика обожает такие «автоматы». Ты подаёшь на вход число, автомат что-то с ним делает и выдаёт ответ. Например, автомат «удвой и прибавь один»:

• подаёшь 3 → получаешь 3·2 + 1 = 7
• подаёшь 10 → получаешь 10·2 + 1 = 21

Записывается этот автомат коротко: y = 2x + 1.

📌 Правило: Функция — это зависимость, при которой каждому значению одной переменной (x) соответствует единственное значение другой переменной (y).

Слово «единственное» тут главное. Если бы автомат на одну и ту же монетку иногда наливал один стакан, а иногда два — это был бы сломанный автомат, и функцией такая штука не была бы.

Аргумент и функция

У этих двух переменных есть имена.

• x — это то, что ты подаёшь на вход. Его называют независимой переменной, или аргументом. Ты сам выбираешь, какое x взять.
• y — это то, что получается на выходе. Его называют зависимой переменной, или значением функции. Ты его не выбираешь — оно зависит от x.

💡 Лайфхак: Запомни так: «aргумент — это то, что я aдаю на вход». А y — это ответ, который сам собой получается.

Область определения

Не всякое число можно подать в автомат. Представь функцию «длина стороны квадрата → его площадь». Сторону −5 см не бывает, значит, отрицательные числа сюда подавать нельзя.

📌 Правило: Область определения функции — это все значения аргумента x, которые можно подставить.

Например, у функции «сколько стоят n тетрадей по 20 рублей» область определения — это 0, 1, 2, 3, … (нельзя купить −2 тетради или 3,5 тетради).

⚠️ Частая ошибка: Думать, что область определения — это всегда «все числа». Нет! Иногда какие-то значения x запрещены смыслом задачи или самой формулой.

Тремя способами про одно и то же

Одну функцию можно описать по-разному.

Способ 1. Формула. Самый компактный. Например, площадь квадрата со стороной x: y = x².

Способ 2. Таблица. Записываем пары «вход — выход»:

Способ 3. График. Картинка, на которой каждая пара (x; y) превращается в точку. О графиках будет целый урок 12, а пока просто посмотри:

🤔 А знаешь ли ты? Слово «функция» (от латинского functio — «исполнение») в математику ввёл Готфрид Лейбниц в конце XVII века. А привычную запись y = f(x) придумал Леонард Эйлер. Буква f — просто первая буква слова «функция».

⏱ Попробуй сам: Придумай свой «автомат» из жизни, где каждому входу соответствует ровно один выход. Например: «номер дня недели → название дня». Это функция?

✍️ Разбор примеров

Пример 1. В функции y = 3x − 2 назови аргумент и значение функции.

Решение.

• x — это то, что мы подставляем сами, значит, x — аргумент (независимая переменная).
• y — это то, что вычисляется по формуле, значит, y — значение функции (зависимая переменная).

Ответ: аргумент — x, значение функции — y.

Пример 2. Является ли функцией зависимость «рост ученика → его фамилия»?

Решение. Спросим себя: каждому росту соответствует ровно одна фамилия? Нет! Учеников с ростом 150 см может быть много, у них разные фамилии. Одному значению x соответствует несколько y — это не функция.

Ответ: нет, не является функцией.

Пример 3. Цена одной ручки 15 рублей. Задай формулой стоимость y покупки x ручек и найди область определения.

Решение. За каждую ручку платим 15 рублей, за x ручек — 15x рублей. Формула: y = 15x. Сколько ручек можно купить? 0, 1, 2, 3, … — только целые неотрицательные числа (полручки не продают).

Ответ: y = 15x; область определения — целые числа 0, 1, 2, 3, …

Пример 4. Функция задана таблицей. Найди значение функции при x = 3.

Решение. Ищем в верхней строке x = 3, смотрим прямо под ним — там 11.

Ответ: при x = 3 значение функции y = 11.

Пример 5. Площадь прямоугольника со сторонами 4 см и x см задаётся формулой S = 4x. Найди область определения.

Решение. Сторона прямоугольника не может быть нулём или отрицательной (иначе это уже не прямоугольник). Значит, x — любое положительное число.

Ответ: x — любое положительное число (x > 0).

Пример 6. Является ли функцией зависимость «человек → его дата рождения»?

Решение. У каждого человека ровно одна дата рождения. Одному входу — ровно один выход. Да, это функция.

Ответ: да, является функцией.

💡 Запомни главное

• Функция — зависимость, где каждому x соответствует ровно один y.
• x — аргумент (независимая переменная), его выбираешь ты.
• y — значение функции (зависимая переменная), оно получается из x.
• Область определения — все x, которые можно подставить.
• Функцию задают тремя способами: формулой, таблицей, графиком.

📝 Домашнее задание

1. В функции y = 5x + 3 назови аргумент и значение функции.
2. Является ли функцией зависимость «номер месяца → число дней в нём» (для невисокосного года)?
3. Является ли функцией зависимость «возраст человека → его имя»?
4. Цена билета в кино 250 рублей. Задай формулой стоимость y покупки x билетов.
5. Найди область определения функции из задания 4 (билеты продают только целыми).
6. Функция задана таблицей. Найди значение функции при x = 2 и при x = 4.

7. Периметр квадрата со стороной x см задаётся формулой P = 4x. Найди область определения.
8. Приведи свой пример функциональной зависимости из жизни и объясни, почему это функция.
9. ⭐ Зависимость задана так: «каждому числу x ставим в соответствие число y, такое что y² = x» (то есть y — это число, чей квадрат равен x). Будет ли это функцией? Подсказка: подставь x = 4 и подумай, сколько подходящих y.