Урок 11. Вычисление значений функции
Алгебра, 7 класс · §5 · ~45 минут
🎯 Что ты узнаешь
- Как по аргументу x найти значение функции y (прямой ход через «автомат»)
- Как по значению функции y найти аргумент x (обратный ход)
- Что означает запись f(x) и почему она удобна
- Как составить таблицу значений функции
📖 Разбираемся в теме
В прошлом уроке мы сравнили функцию с автоматом: подал x — получил y. Сегодня научимся крутить ручку этого автомата в обе стороны.
Прямой ход: дано x, ищем y
Это самое простое. Берёшь формулу и подставляешь вместо x число.
Пусть y = 2x + 3. Найдём y при x = 4: y = 2·4 + 3 = 8 + 3 = 11.
Всё. Подставил — посчитал.
⚠️ Частая ошибка: Забыть про порядок действий. В 2x + 3 сначала умножаем (2·4), потом прибавляем. Не наоборот!
Удобная запись f(x)
Писать каждый раз «найди y при x = 4» долго. Математики придумали короче. Если функция называется f, то запись f(4) читается «значение функции f при x = 4».
Пусть f(x) = 2x + 3. Тогда:
- f(4) = 2·4 + 3 = 11
- f(0) = 2·0 + 3 = 3
- f(−1) = 2·(−1) + 3 = 1
💡 Лайфхак: f(x) — это как анкета с пропуском: f( ☐ ) = 2·☐ + 3. Что впишешь в скобки, то и подставляй во все клеточки.
📌 Правило: Чтобы найти значение функции при данном x, нужно подставить это число вместо x в формулу и выполнить вычисления.
⏱ Попробуй сам: Пусть f(x) = x² − 1. Чему равно f(3)? А f(0)?
Обратный ход: дано y, ищем x
А теперь хитрее. Что, если известен ответ автомата y, а надо узнать, что подали на вход?
Пусть y = 2x + 3, и мы знаем, что y = 11. Чему равен x? Получаем уравнение: 2x + 3 = 11. Решаем: 2x = 11 − 3 2x = 8 x = 4.
Видишь? Обратный ход — это решить уравнение.
📌 Правило: Чтобы найти аргумент по значению функции, нужно подставить это значение вместо y и решить полученное уравнение.
⚠️ Частая ошибка: Перепутать, куда подставлять. Если дано x — подставляй вместо x и просто считай. Если дан y — подставляй вместо y и решай уравнение.
Таблица значений
Чтобы потом нарисовать график (это в следующем уроке), удобно собрать сразу несколько пар (x; y) в таблицу.
Возьмём y = 2x + 3 и несколько значений x:
| x | −2 | −1 | 0 | 1 | 2 |
|---|---|---|---|---|---|
| y | −1 | 1 | 3 | 5 | 7 |
Проверим один столбик: при x = −2 получаем y = 2·(−2) + 3 = −4 + 3 = −1. Сходится.
🤔 А знаешь ли ты? Первые таблицы значений функций — таблицы синусов и логарифмов — составляли вручную целыми коллективами «вычислителей». До появления калькуляторов инженеры носили с собой толстенные книги таких таблиц.
✍️ Разбор примеров
Пример 1. Дана функция f(x) = 3x − 5. Найди f(2), f(0) и f(−1).
Решение.
- f(2) = 3·2 − 5 = 6 − 5 = 1
- f(0) = 3·0 − 5 = 0 − 5 = −5
- f(−1) = 3·(−1) − 5 = −3 − 5 = −8
Ответ: f(2) = 1, f(0) = −5, f(−1) = −8.
Пример 2. Дана функция y = x² + 2. Найди значение функции при x = 4 и при x = −3.
Решение.
- При x = 4: y = 4² + 2 = 16 + 2 = 18
- При x = −3: y = (−3)² + 2 = 9 + 2 = 11 (минус в квадрате даёт плюс!)
Ответ: при x = 4 y = 18; при x = −3 y = 11.
Пример 3. Для функции y = 4x − 1 найди значение x, при котором y = 15.
Решение. Подставляем y = 15: 4x − 1 = 15 4x = 15 + 1 4x = 16 x = 4
Ответ: x = 4.
Пример 4. Для функции f(x) = 2x + 7 найди x, при котором f(x) = 1.
Решение. Получаем уравнение: 2x + 7 = 1 2x = 1 − 7 2x = −6 x = −3
Ответ: x = −3.
Пример 5. Составь таблицу значений функции y = −x + 4 для x = −1, 0, 1, 2, 3.
Решение. Подставляем по очереди:
- x = −1: y = −(−1) + 4 = 1 + 4 = 5
- x = 0: y = 0 + 4 = 4
- x = 1: y = −1 + 4 = 3
- x = 2: y = −2 + 4 = 2
- x = 3: y = −3 + 4 = 1
Ответ:
| x | −1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|---|
| y | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 |
Пример 6. Функция y = 5x. При каком x значение функции равно 0?
Решение. Подставляем y = 0: 5x = 0 x = 0
Ответ: x = 0.
💡 Запомни главное
- Дано x, ищем y → подставь x в формулу и посчитай.
- Дано y, ищем x → реши уравнение, подставив число вместо y.
- Запись f(2) означает «значение функции при x = 2».
- (−3)² = 9: минус в квадрате становится плюсом.
- Таблица значений — это несколько пар (x; y), посчитанных по формуле.
📝 Домашнее задание
- Дана функция f(x) = 2x − 6. Найди f(5), f(0), f(−2).
- Дана функция y = x² − 4. Найди значение функции при x = 3 и при x = −5.
- Для функции y = 3x + 2 найди x, при котором y = 20.
- Для функции f(x) = 7 − 2x найди x, при котором f(x) = 1.
- Составь таблицу значений функции y = 2x − 1 для x = −2, −1, 0, 1, 2.
- Функция y = −6x. При каком x значение функции равно 0?
- Дана функция f(x) = 10/x (десять разделить на x). Найди f(2) и f(5). Можно ли найти f(0)?
- Для функции y = x + 8 найди x, при котором y = x... ой, при котором y = 8.
- ⭐ Дана функция f(x) = x² − 6x + 5. Найди два разных значения x, при которых f(x) = 0. Подсказка: попробуй подставить небольшие целые числа от 0 до 6.