Урок 12. График функции
Алгебра, 7 класс · §5 · ~45 минут
🎯 Что ты узнаешь
- Как устроена координатная плоскость и как ставить на ней точки
- Что такое график функции и откуда он берётся
- Как «читать» график: по x найти y и по y найти x
- Как самому построить график по точкам
📖 Разбираемся в теме
Представь, что ты играешь в «Морской бой». Чтобы попасть в корабль, ты называешь две координаты: букву и цифру, например «Б-7». Одна цифра не сработает — нужны обе.
В математике то же самое, только вместо буквы и цифры — два числа.
Координатная плоскость
Возьмём две перпендикулярные прямые со стрелками. Горизонтальная — ось x (ось абсцисс), вертикальная — ось y (ось ординат). Точка их пересечения — начало координат, обозначается O, ей соответствуют координаты (0; 0).
Чтобы поставить точку A(2; 3): первое число — это x, шагаем вправо по оси x на 2. Второе число — это y, поднимаемся вверх на 3. Где встретились — там точка.
📌 Правило: В записи (x; y) первым всегда идёт x, вторым — y. Сначала «иди вправо/влево», потом «иди вверх/вниз».
⚠️ Частая ошибка: Перепутать порядок координат. (2; 3) и (3; 2) — это две разные точки! Запомни: «сначала по коридору, потом по этажу».
⏱ Попробуй сам: Где будет точка (−2; 1)? А точка (0; −3)? Подсказка: минус по x — это влево, минус по y — это вниз.
Что такое график
А теперь главное. Возьмём функцию и посчитаем для неё таблицу значений (как в уроке 11). Каждая пара (x; y) — это точка на плоскости. Поставим все точки.
📌 Правило: График функции — это множество всех точек координатной плоскости, у которых x — это аргумент, а y — соответствующее ему значение функции.
Проще говоря: график — это «портрет» функции, нарисованный точками. Если точек поставить очень-очень много, они сольются в линию.
Построим график функции y = x + 1. Таблица:
| x | −2 | −1 | 0 | 1 | 2 |
|---|---|---|---|---|---|
| y | −1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
Ставим эти пять точек и соединяем линией:
Получилась прямая линия! (Скоро узнаешь: такие функции и называют линейными.)
Чтение графика
Самое полезное умение — «читать» готовый график, не зная формулы.
По x найти y. Выбираешь точку на оси x, поднимаешься (или опускаешься) вертикально до линии графика, потом сворачиваешь к оси y и смотришь высоту.
По y найти x. Наоборот: от точки на оси y движешься горизонтально до графика, потом вниз к оси x.
💡 Лайфхак: Двигайся по «лесенке» из пунктирных линий: одна вертикальная, одна горизонтальная. Они всегда поворачивают на самом графике.
🤔 А знаешь ли ты? Идею рисовать точки по двум числам придумал французский математик Рене Декарт в XVII веке. Поэтому координаты называют декартовыми. По легенде, идея пришла ему, когда он лежал в постели и наблюдал за мухой на потолке: её положение можно задать расстояниями до двух стен.
✍️ Разбор примеров
Пример 1. Построй точки A(3; 2), B(−2; 4), C(0; −3) на координатной плоскости (опиши, как двигаться).
Решение.
- A(3; 2): вправо на 3, вверх на 2.
- B(−2; 4): влево на 2, вверх на 4.
- C(0; −3): по оси x не двигаемся (x = 0), вниз на 3. Точка лежит на оси y.
Ответ: точки построены по указанным шагам.
Пример 2. Назови координаты точки, которая лежит на оси x на расстоянии 5 вправо от начала.
Решение. На оси x все точки имеют y = 0. Вправо на 5 — значит x = 5.
Ответ: (5; 0).
Пример 3. Построй график функции y = 2x по точкам.
Решение. Составим таблицу:
| x | −1 | 0 | 1 | 2 |
|---|---|---|---|---|
| y | −2 | 0 | 2 | 4 |
Ставим точки (−1; −2), (0; 0), (1; 2), (2; 4) и соединяем — получаем прямую, проходящую через начало координат.
Ответ: график — прямая через точки таблицы.
Пример 4. По графику на рис. 2 (функция y = x + 1) найди y при x = 0.
Решение. Поднимаемся от точки x = 0 вертикально вверх до линии. Линия пересекает ось y на высоте 1.
Ответ: y = 1.
Пример 5. По тому же графику (y = x + 1) найди x, при котором y = 0.
Решение. От точки y = 0 (это само начало на оси x) движемся по горизонтали... но y = 0 — это сама ось x. Смотрим, где график пересекает ось x: в точке x = −1.
Ответ: x = −1.
Пример 6. Принадлежит ли точка M(3; 7) графику функции y = 2x + 1?
Решение. Проверим: подставим x = 3 в формулу. y = 2·3 + 1 = 7. Получили ровно 7 — столько и должно быть у точки M. Значит, точка лежит на графике.
Ответ: да, принадлежит.
💡 Запомни главное
- Координаты (x; y): сначала x (вправо/влево), потом y (вверх/вниз).
- График функции — все точки (x; y), где y получается из x по правилу функции.
- Чтобы построить график: составь таблицу значений, поставь точки, соедини линией.
- Чтение по x: вверх до графика, потом влево к оси y. По y: вправо до графика, потом вниз к оси x.
- Точка лежит на графике, если её координаты подходят под формулу.
📝 Домашнее задание
- Опиши, как поставить точки A(4; 1), B(−3; 2), C(0; 5).
- На какой оси лежит точка (0; −4)? А точка (6; 0)?
- Чем отличаются точки (5; 2) и (2; 5)?
- Построй график функции y = x − 2 по точкам (возьми x = −1, 0, 1, 2, 3).
- Построй график функции y = 3x по точкам (x = −1, 0, 1, 2).
- По графику y = x − 2 (из задания 4) найди y при x = 3.
- По графику y = x − 2 найди x, при котором y = 0.
- Принадлежит ли точка K(2; 5) графику функции y = 2x + 1?
- ⭐ Точка P(a; 10) лежит на графике функции y = 4x − 2. Найди a (то есть значение x этой точки).