Урок 13. Прямая пропорциональность

Алгебра, 7 класс · §6 · ~45 минут

🎯 Что ты узнаешь

• Что такое прямая пропорциональность y = kx
• Почему её график — всегда прямая, проходящая через начало координат
• Что означает коэффициент k и как он влияет на наклон
• Как располагается график при k > 0 и при k < 0

📖 Разбираемся в теме

Ты идёшь пешком с постоянной скоростью 5 км/ч. За 1 час пройдёшь 5 км, за 2 часа — 10 км, за 3 часа — 15 км. Заметил закономерность? Время выросло в 2 раза — и расстояние выросло в 2 раза. Это и есть прямая пропорциональность: одна величина растёт во столько же раз, во сколько растёт другая.

Формула пути: y = 5x, где x — время, y — расстояние. Число 5 здесь — скорость.

📌 Правило: Прямой пропорциональностью называют функцию вида y = kx, где k — некоторое число, не равное нулю (k ≠ 0). Число k называют коэффициентом пропорциональности.

Почему график проходит через начало координат

Подставим x = 0 в формулу y = kx: y = k·0 = 0.

Что бы ни было вместо k, при x = 0 всегда y = 0. Значит, точка (0; 0) — начало координат — всегда лежит на графике.

📌 Правило: График прямой пропорциональности y = kx — это прямая линия, проходящая через начало координат.

💡 Лайфхак: Чтобы построить такой график, достаточно двух точек, и одна из них уже бесплатно дана — это (0; 0)! Нужно найти всего одну дополнительную точку, поставить её и провести прямую через неё и начало координат.

⏱ Попробуй сам: Для функции y = 3x найди точку при x = 1. Куда проведёшь прямую?

Что делает коэффициент k

Коэффициент k управляет наклоном прямой — насколько круто она идёт.

• Чем больше |k| (модуль k), тем круче (ближе к вертикали) поднимается или опускается прямая.
• Чем меньше |k|, тем более пологой будет прямая.

Сравни y = x (при x = 1 будет y = 1) и y = 3x (при x = 1 будет y = 3). Вторая прямая взлетает в три раза круче.

Знак k: вверх или вниз

Вот ключевое различие.

📌 Правило:

• Если k > 0, прямая идёт из левого нижнего угла в правый верхний (с ростом x растёт и y). Она проходит через I и III четверти.
• Если k < 0, прямая идёт из левого верхнего угла в правый нижний (с ростом x значение y убывает). Она проходит через II и IV четверти.

Посмотри, как это выглядит, на одном чертеже: синяя — y = 2x (k > 0), оранжевая — y = −2x (k < 0).

Обе прямые проходят через начало координат — но «разъезжаются» в разные стороны из-за знака k.

⚠️ Частая ошибка: Думать, что при k < 0 график «ниже оси x». Нет! При k < 0 он проходит и выше, и ниже оси — просто идёт сверху вниз (убывает). Знак k определяет направление, а не «этаж».

🤔 А знаешь ли ты? Прямая пропорциональность повсюду в физике: путь при равномерном движении (s = vt), масса при постоянной плотности (m = ρV), сила тока по закону Ома при постоянном сопротивлении... В каждом случае коэффициент k имеет свой физический смысл.

✍️ Разбор примеров

Пример 1. Является ли функция y = 7x прямой пропорциональностью? А y = 7x + 2?

Решение. Прямая пропорциональность — это y = kx (без слагаемого без x). У y = 7x вид правильный, k = 7. А у y = 7x + 2 есть лишняя «+2» — это уже не прямая пропорциональность.

Ответ: y = 7x — да (k = 7); y = 7x + 2 — нет.

Пример 2. Построй график функции y = 2x.

Решение. Одна точка дана: (0; 0). Найдём вторую при x = 1: y = 2·1 = 2, то есть точка (1; 2). Проводим прямую через (0; 0) и (1; 2).

Ответ: прямая через начало координат и точку (1; 2) (см. синюю прямую на рис. 1).

Пример 3. В функции y = −3x найди значение y при x = 2 и определи, через какие четверти идёт график.

Решение. y = −3·2 = −6. Коэффициент k = −3 < 0, значит, график идёт сверху вниз — через II и IV четверти.

Ответ: y = −6; график проходит через II и IV четверти.

Пример 4. Принадлежит ли точка A(4; 12) графику функции y = 3x?

Решение. Подставим x = 4: y = 3·4 = 12. Получили ровно 12 — совпадает с координатой y точки A.

Ответ: да, принадлежит.

Пример 5. График прямой пропорциональности проходит через точку (2; 10). Найди коэффициент k и запиши формулу.

Решение. Подставим точку в y = kx: 10 = k·2. Отсюда k = 10 ÷ 2 = 5. Формула: y = 5x.

Ответ: k = 5, функция y = 5x.

Пример 6. У какой из функций график круче: y = 4x или y = (1/2)x?

Решение. Сравним модули коэффициентов: |4| = 4 и |1/2| = 0,5. Больше модуль — круче прямая. 4 > 0,5.

Ответ: круче график у y = 4x.

💡 Запомни главное

• Прямая пропорциональность — это y = kx, где k ≠ 0.
• Её график — прямая через начало координат (0; 0).
• Для построения хватает двух точек, одна из которых — (0; 0).
• k > 0: прямая возрастает (I и III четверти). k < 0: прямая убывает (II и IV четверти).
• Чем больше |k|, тем круче прямая.

📝 Домашнее задание

1. Какие из функций являются прямой пропорциональностью: y = 5x; y = x − 1; y = −8x; y = x²?
2. Построй график функции y = x.
3. Построй график функции y = −2x.
4. В функции y = 6x найди y при x = 3 и при x = −2.
5. Через какие четверти проходит график функции y = −5x?
6. Принадлежит ли точка B(3; 15) графику функции y = 5x?
7. График прямой пропорциональности проходит через точку (4; 8). Найди k и запиши формулу.
8. У какой функции график круче: y = (1/3)x или y = 2x?
9. ⭐ График прямой пропорциональности проходит через точку (−3; 9). Найди k, запиши формулу и определи, через какие четверти идёт график.