Урок 14. Линейная функция

Алгебра, 7 класс · §6 · ~45 минут

🎯 Что ты узнаешь

• Что такое линейная функция y = kx + b
• За что отвечает k (наклон) и за что отвечает b (сдвиг по оси y)
• Почему прямую можно построить всего по двум точкам
• Как быстро построить график линейной функции

📖 Разбираемся в теме

Представь, что ты заказываешь такси. Сел в машину — на счётчике сразу 100 рублей (посадка). Дальше за каждый километр капает по 30 рублей. Сколько заплатишь за поездку в x км?

y = 30x + 100.

Тут два числа с разной работой. 30 — «скорость роста» цены (за каждый км). 100 — стартовая сумма, которая есть с самого начала, даже если ты проехал 0 км. Это и есть линейная функция.

📌 Правило: Линейной функцией называют функцию вида y = kx + b, где k и b — числа. Её график — прямая линия.

Знакомая прямая пропорциональность y = kx — это просто частный случай, когда b = 0.

За что отвечает k — наклон

Число k называют угловым коэффициентом. Оно отвечает за наклон прямой — точно так же, как в прошлом уроке:

• k > 0 — прямая возрастает (идёт вверх слева направо);
• k < 0 — прямая убывает (идёт вниз);
• чем больше |k|, тем круче.

За что отвечает b — сдвиг

Число b показывает, на какой высоте прямая пересекает ось y. Ведь при x = 0: y = k·0 + b = b.

Значит, точка (0; b) всегда лежит на графике. Меняя b, мы как бы поднимаем или опускаем всю прямую вверх-вниз, не меняя её наклона.

💡 Лайфхак: b — это «где прямая протыкает ось y». Хочешь быстро найти эту точку — просто подставь x = 0, получишь (0; b).

Посмотри: синяя y = 2x (b = 0) и зелёная y = 2x + 3 (b = 3). Наклон одинаковый, но зелёная поднята на 3 вверх.

⚠️ Частая ошибка: Путать b с наклоном. b не делает прямую круче или положе — он только поднимает/опускает её. За крутизну отвечает только k!

Построение по двум точкам

Через две точки можно провести ровно одну прямую (вспомни: чтобы натянуть нитку, нужны два гвоздика). Значит, для графика линейной функции достаточно двух точек.

Алгоритм:

1. Выбери два удобных значения x (часто берут x = 0 и ещё одно).
2. Посчитай для каждого y.
3. Поставь две точки и проведи через них прямую.

💡 Лайфхак: Бери x = 0 (сразу получишь точку (0; b)) и такое x, чтобы умножение на k дало целое, красивое число.

⏱ Попробуй сам: Для y = x + 2 найди точки при x = 0 и x = 2. Какие пары (x; y) получились?

🤔 А знаешь ли ты? Слово «линейный» — от латинского linea (линия). Линейными функции называют именно потому, что их графики — прямые линии. А вот y = x² — уже не линейная: её график изгибается в дугу (парабола).

✍️ Разбор примеров

Пример 1. В функции y = 4x − 5 назови k и b.

Решение. Сравниваем с y = kx + b. Множитель при x — это k = 4. Свободное число — это b = −5 (минус входит в b).

Ответ: k = 4, b = −5.

Пример 2. Построй график функции y = x + 1 по двум точкам.

Решение. Возьмём x = 0: y = 0 + 1 = 1 → точка (0; 1). Возьмём x = 2: y = 2 + 1 = 3 → точка (2; 3). Проводим прямую через них.

Ответ: прямая через (0; 1) и (2; 3).

Пример 3. В какой точке график функции y = 3x − 6 пересекает ось y?

Решение. Ось y — это там, где x = 0. Подставим: y = 3·0 − 6 = −6.

Ответ: в точке (0; −6).

Пример 4. В какой точке график функции y = 2x − 8 пересекает ось x?

Решение. Ось x — это там, где y = 0. Получаем уравнение: 2x − 8 = 0 → 2x = 8 → x = 4.

Ответ: в точке (4; 0).

Пример 5. Принадлежит ли точка M(2; 1) графику функции y = 3x − 5?

Решение. Подставим x = 2: y = 3·2 − 5 = 6 − 5 = 1. Совпадает с y = 1 у точки M.

Ответ: да, принадлежит.

Пример 6. График линейной функции пересекает ось y в точке (0; 4), а его угловой коэффициент равен −2. Запиши формулу.

Решение. Точка пересечения с осью y даёт b = 4. Угловой коэффициент — это k = −2. Подставляем в y = kx + b: y = −2x + 4.

Ответ: y = −2x + 4.

💡 Запомни главное

• Линейная функция: y = kx + b, её график — прямая.
• k (угловой коэффициент) — наклон: k > 0 возрастает, k < 0 убывает, больше |k| — круче.
• b — высота пересечения с осью y: точка (0; b).
• Для построения нужны две точки; удобно брать x = 0.
• С осью y прямая пересекается при x = 0; с осью x — при y = 0 (реши уравнение).

📝 Домашнее задание

1. В функции y = 6x + 2 назови k и b.
2. В функции y = −x − 7 назови k и b.
3. Построй график функции y = x − 3 по двум точкам.
4. Построй график функции y = −2x + 1 по двум точкам.
5. В какой точке график функции y = 5x − 10 пересекает ось y?
6. В какой точке график функции y = 3x − 12 пересекает ось x?
7. Принадлежит ли точка K(1; 4) графику функции y = 2x + 2?
8. График линейной функции пересекает ось y в точке (0; −3), а угловой коэффициент равен 5. Запиши формулу.
9. ⭐ Найди обе точки пересечения с осями для функции y = −2x + 6 (с осью y и с осью x) и опиши, где примерно идёт прямая.