Урок 15. Взаимное расположение графиков

Алгебра, 7 класс · §6 · ~45 минут

🎯 Что ты узнаешь

• Когда графики двух линейных функций параллельны
• Когда они пересекаются и как найти точку пересечения
• Когда два графика совпадают (превращаются в одну прямую)
• Как всё это определить по формулам, не рисуя

📖 Разбираемся в теме

Представь два поезда, едущие по рельсам. Если рельсы параллельны — поезда никогда не встретятся, как бы долго ни ехали. Если рельсы пересекаются — поезда столкнутся в одной точке. А если это вообще одна и та же колея — поезда едут друг за другом по одному пути.

С графиками линейных функций ровно три такие же ситуации. И определяет их всё те же знакомые числа: k (наклон) и b (сдвиг).

Запомни главную идею:

📌 Правило: За «направление» прямой отвечает k. Если у двух прямых наклоны разные — рано или поздно они пересекутся. Если наклоны одинаковые — они параллельны (или вообще совпадают).

Случай 1. Прямые параллельны

📌 Правило: Графики функций y = k₁x + b₁ и y = k₂x + b₂ параллельны, если их угловые коэффициенты равны (k₁ = k₂), но свободные члены различны (b₁ ≠ b₂).

Логично: одинаковый наклон → прямые «смотрят» в одну сторону. Разный b → они на разной высоте и потому никогда не встретятся.

Пример: y = 2x + 1 и y = 2x − 3. У обеих k = 2, но b разные (1 и −3).

Случай 2. Прямые пересекаются

📌 Правило: Графики пересекаются (в одной точке), если их угловые коэффициенты различны (k₁ ≠ k₂). Значение b при этом не важно.

Разный наклон → прямые идут под разными углами → обязательно встретятся в одной точке.

Пример: y = 2x − 1 и y = −x + 5. Наклоны 2 и −1 разные.

Как найти точку пересечения? В точке встречи у обеих функций одинаковый y при одном и том же x. Значит, приравниваем правые части:

2x − 1 = −x + 5 2x + x = 5 + 1 3x = 6 x = 2.

Теперь находим y, подставив x = 2 в любую формулу: y = 2·2 − 1 = 3. Точка пересечения — (2; 3).

💡 Лайфхак: Чтобы найти точку пересечения, приравняй два выражения для y, реши уравнение и найдёшь x. Потом подставь x обратно — получишь y.

Случай 3. Прямые совпадают

📌 Правило: Графики совпадают (это одна и та же прямая), если у функций равны и угловые коэффициенты, и свободные члены: k₁ = k₂ и b₁ = b₂.

Тут всё просто: если обе формулы одинаковые, то и прямая одна. Например, y = 3x + 2 и y = 3x + 2 — это, очевидно, одна линия.

⚠️ Частая ошибка: Решить, что раз формулы записаны по-разному, то прямые разные. Сравни сначала: y = 2x + 4 и y = 2(x + 2). Раскрой скобки во второй: 2x + 4. Это одна и та же функция — графики совпадают!

🤔 А знаешь ли ты? Поиск точки пересечения двух прямых — это и есть решение системы из двух линейных уравнений. В 9 классе ты будешь решать такие системы целыми методами, а сейчас уже знаешь геометрический смысл: точка пересечения графиков — это общее решение.

⏱ Попробуй сам: Как расположены графики y = 5x + 1 и y = 5x + 7? А графики y = 5x + 1 и y = 3x + 1?

✍️ Разбор примеров

Пример 1. Как расположены графики y = 4x + 2 и y = 4x − 5?

Решение. Сравниваем k: 4 = 4 (равны). Сравниваем b: 2 ≠ −5 (разные). Равные k и разные b — прямые параллельны.

Ответ: параллельны.

Пример 2. Как расположены графики y = 3x + 1 и y = −2x + 1?

Решение. Угловые коэффициенты 3 и −2 различны. Значит, прямые пересекаются. (То, что b у обеих равно 1, лишь подсказывает, что пересекаются они на оси y, в точке (0; 1).)

Ответ: пересекаются.

Пример 3. Как расположены графики y = 6x − 4 и y = 2(3x − 2)?

Решение. Раскроем скобки во второй: 2·3x − 2·2 = 6x − 4. Это та же функция, что и первая. Значит, графики совпадают.

Ответ: совпадают (это одна прямая).

Пример 4. Найди точку пересечения графиков y = x + 4 и y = −x + 8.

Решение. Приравниваем: x + 4 = −x + 8 x + x = 8 − 4 2x = 4 x = 2. Подставим x = 2 в первую формулу: y = 2 + 4 = 6.

Ответ: точка пересечения (2; 6).

Пример 5. При каком значении k график функции y = kx + 3 будет параллелен графику y = 7x − 1?

Решение. Для параллельности нужны равные угловые коэффициенты. У второй функции k = 7, значит, и у первой должно быть k = 7. Свободные члены (3 и −1) уже разные, так что прямые именно параллельны, а не совпадают.

Ответ: k = 7.

Пример 6. Пересекаются ли графики y = 5x − 2 и y = 5x + 6? Если нет — как они расположены?

Решение. Угловые коэффициенты равны (5 = 5), поэтому пересечься они не могут. Свободные члены разные (−2 ≠ 6) — значит, прямые параллельны.

Ответ: не пересекаются; они параллельны.

💡 Запомни главное

Сравниваем k и b двух функций:

• Главный признак: разные k → пересекаются; одинаковые k → параллельны или совпадают.
• Точка пересечения: приравняй правые части, найди x, потом подставь и найди y.
• Перед сравнением упрости формулы (раскрой скобки)!

📝 Домашнее задание

1. Как расположены графики y = 3x + 7 и y = 3x − 2?
2. Как расположены графики y = 2x + 5 и y = −4x + 5?
3. Как расположены графики y = 5x + 1 и y = 5x + 1?
4. Как расположены графики y = 8x − 3 и y = 4(2x − 1)? (Сначала упрости вторую.)
5. Найди точку пересечения графиков y = x + 2 и y = −x + 6.
6. Найди точку пересечения графиков y = 2x − 1 и y = x + 3.
7. При каком k график y = kx − 4 параллелен графику y = 6x + 1?
8. Пересекаются ли графики y = 3x + 4 и y = 3x − 4? Как они расположены?
9. ⭐ При каких значениях k и b график функции y = kx + b совпадает с графиком y = 2x − 5? А при каких k и b он будет параллелен этому графику?