Урок 16. Определение степени

Алгебра, 7 класс · §7 · ~45 минут

🎯 Что ты узнаешь

• Что такое степень и как читать запись aⁿ.
• Где тут основание, а где показатель — и почему их легко перепутать.
• Как быстро вычислять степени и почему 2¹ = 2.
• Главный фокус: когда степень отрицательного числа выходит со знаком «плюс», а когда с «минусом».

📖 Разбираемся в теме

Представь, что ты складываешь лист бумаги пополам. Один раз — два слоя. Два раза — четыре. Три раза — восемь. А если бы можно было сложить лист 42 раза (нельзя, но представь), его толщина дотянулась бы до Луны! Каждое сложение удваивает число слоёв: 2 · 2 · 2 · 2 · … Записывать столько двоек — кошмар. Поэтому математики придумали короткую запись.

Когда одно и то же число умножается само на себя несколько раз, это называют степенью.

2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 2⁵

Читается: «два в пятой степени». Маленькое число сверху говорит, сколько раз двойка умножается сама на себя.

📌 Правило: Степенью числа a с натуральным показателем n (где n > 1) называют произведение n множителей, каждый из которых равен a: aⁿ = a · a · a · … · a (всего n множителей). Здесь a — основание степени, n — показатель степени.

Основание — это то число, которое умножаем. Показатель — сколько раз. В записи 7³ основание = 7, показатель = 3, и 7³ = 7 · 7 · 7 = 343.

💡 Лайфхак: Показатель — это «этаж» (он наверху), а основание — «фундамент» (внизу). 5² — это «фундамент 5, второй этаж».

⏱ Попробуй сам: назови основание и показатель в записи 10⁴. И посчитай, чему она равна.

Готов? Основание 10, показатель 4, а 10⁴ = 10 · 10 · 10 · 10 = 10 000. Кстати, степени десятки — это просто единица с нулями: число нулей равно показателю.

А что со степенью 1?

Мы сказали «n множителей». А если множитель всего один? Тогда и умножать не на что — степень просто равна самому числу.

📌 Правило: Степень с показателем 1 равна самому основанию: a¹ = a. Например, 9¹ = 9 и 100¹ = 100.

🤔 А знаешь ли ты? Вторую степень называют квадратом (5² — «пять в квадрате»), а третью — кубом (5³ — «пять в кубе»). Эти слова пришли из геометрии: площадь квадрата со стороной 5 равна 5², а объём куба с ребром 5 равен 5³.

Знак степени отрицательного числа

Вот где начинается самое интересное. Что будет, если возводить в степень отрицательное число?

Вспомни правило знаков: минус на минус даёт плюс. Посчитаем:

(−2)² = (−2) · (−2) = +4 — два минуса дали плюс.

(−2)³ = (−2) · (−2) · (−2) = 4 · (−2) = −8 — три минуса, остался минус.

(−2)⁴ = (−2)·(−2)·(−2)·(−2) = +16 — четыре минуса, снова плюс.

Замечаешь закономерность? Всё зависит от того, чётный показатель или нечётный.

📌 Правило (знак степени):

• Если основание отрицательное, а показатель чётный → результат положительный.
• Если основание отрицательное, а показатель нечётный → результат отрицательный.
• Степень любого положительного числа всегда положительна.

Это легко понять: каждая пара минусов «гасит» друг друга в плюс. При чётном показателе минусы разбиваются на пары без остатка. При нечётном — один минус остаётся «лишним».

⚠️ Частая ошибка: Различай −2⁴ и (−2)⁴! В записи (−2)⁴ в степень возводят всё число −2, ответ +16. А в записи −2⁴ степень относится только к двойке, а минус стоит «снаружи»: −2⁴ = −(2⁴) = −16. Скобки решают всё!

⏱ Попробуй сам: каким будет знак у (−3)⁷? А у (−5)¹⁰?

Готов? (−3)⁷ — показатель 7 нечётный, значит ответ отрицательный. (−5)¹⁰ — показатель 10 чётный, ответ положительный.

✍️ Разбор примеров

Пример 1. Запиши произведение 3 · 3 · 3 · 3 в виде степени и вычисли.

Решение. Множитель 3 повторяется 4 раза, значит это 3⁴. Считаем: 3 · 3 = 9, 9 · 3 = 27, 27 · 3 = 81.

Ответ: 3⁴ = 81.

Пример 2. Назови основание и показатель степени 6⁵ и вычисли её.

Решение. Основание 6, показатель 5. 6 · 6 = 36, 36 · 6 = 216, 216 · 6 = 1296, 1296 · 6 = 7776.

Ответ: основание 6, показатель 5; 6⁵ = 7776.

Пример 3. Вычисли (−4)³.

Решение. Основание отрицательное, показатель 3 — нечётный, значит результат будет отрицательным. По модулю: 4³ = 4 · 4 · 4 = 64. Ставим минус.

Ответ: −64.

Пример 4. Вычисли (−4)².

Решение. Показатель 2 — чётный, результат положительный. 4² = 4 · 4 = 16.

Ответ: 16.

Пример 5. Сравни значения выражений −5² и (−5)².

Решение. В −5² степень относится только к 5: −5² = −(5²) = −25. В (−5)² возводим в квадрат всё число: (−5)² = 25.

Ответ: −5² = −25, а (−5)² = 25; они не равны.

Пример 6. Вычисли значение выражения 2 · 3² − (−1)⁵.

Решение. Сначала степени: 3² = 9, а (−1)⁵ = −1 (показатель нечётный). Подставляем: 2 · 9 − (−1) = 18 + 1 = 19.

Ответ: 19.

💡 Запомни главное

• aⁿ = a · a · … · a (n множителей); a — основание, n — показатель.
• a¹ = a — степень с показателем 1 равна самому числу.
• Отрицательное основание: чётный показатель → плюс, нечётный → минус.
• (−a)ⁿ и −aⁿ — разные вещи! Скобки определяют, что именно возводится в степень.

📝 Домашнее задание

1. Запиши в виде степени: 7 · 7 · 7.
2. Назови основание и показатель степени 12⁶.
3. Вычисли: 2⁶.
4. Вычисли: 10³.
5. Вычисли: (−3)⁴.
6. Вычисли: (−2)⁵.
7. Сравни: −4² и (−4)².
8. Найди значение выражения: 3³ − 2⁴.
9. ⭐ Найди значение выражения: 5 · (−2)³ + (−1)⁸ · 4².