Урок 17. Умножение и деление степеней

Алгебра, 7 класс · §7 · ~45 минут

🎯 Что ты узнаешь

• Как перемножать степени с одинаковым основанием — не считая каждую отдельно.
• Как их делить — и почему показатели при этом вычитаются.
• Что такое a⁰ и почему любое число в нулевой степени равно 1.

📖 Разбираемся в теме

На прошлом уроке ты узнал, что степень — это короткая запись для повторного умножения. Сегодня мы научимся работать с самими степенями: складывать их (то есть перемножать) и делить. И тут есть пара очень красивых правил, которые сэкономят тебе кучу времени.

Умножение степеней

Допустим, нужно перемножить a² · a³. Распишем, что это значит:

a² · a³ = (a · a) · (a · a · a) = a · a · a · a · a = a⁵

Смотри: было 2 множителя «a», стало ещё 3, всего получилось 5. А 2 + 3 = 5! Показатели просто сложились.

📌 Правило: При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляют прежним, а показатели складывают: aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ.

То есть a⁵ · a³ = a⁸, и x⁷ · x = x⁸ (помни: x — это x¹).

⚠️ Частая ошибка: Это правило работает ТОЛЬКО при одинаковых основаниях! Запись 2³ · 5² так не упростить — основания разные (2 и 5). А вот основания складывать или перемножать НЕ нужно: 2³ · 2⁴ = 2⁷, а не 4⁷!

⏱ Попробуй сам: упрости a⁴ · a⁶ и 3² · 3³.

Готов? a⁴ · a⁶ = a¹⁰. А 3² · 3³ = 3⁵ (основание 3 не трогаем, показатели 2 + 3 = 5).

Деление степеней

С делением — обратная история. Распишем a⁵ : a² (то же самое, что дробь a⁵/a²):

a⁵ : a² = (a·a·a·a·a)/(a·a) = a · a · a = a³

Две «a» в знаменателе сократились с двумя «a» сверху. Осталось 5 − 2 = 3 множителя. Показатели вычитаются!

📌 Правило: При делении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляют прежним, а из показателя делимого вычитают показатель делителя: aᵐ : aⁿ = aᵐ⁻ⁿ (при условии a ≠ 0).

Например, a⁸ : a³ = a⁵, и 7⁶ : 7² = 7⁴.

💡 Лайфхак: Умножение — показатели «+», деление — показатели «−». Запомни как «вверх складываем, вниз вычитаем».

Загадочная нулевая степень

А теперь фокус. Что будет, если разделить степень саму на себя? Например, a⁵ : a⁵.

С одной стороны, любое число (кроме нуля), делённое на само себя, равно 1. С другой стороны, по нашему правилу: a⁵ : a⁵ = a⁵⁻⁵ = a⁰.

Получается, a⁰ = 1! Чтобы правило деления работало всегда, математики договорились:

📌 Правило: Любое число (кроме нуля) в нулевой степени равно единице: a⁰ = 1 (при a ≠ 0). Например, 5⁰ = 1, 100⁰ = 1, (−7)⁰ = 1.

🤔 А знаешь ли ты? Выражение 0⁰ математики оставляют без определённого значения — это особый «спорный» случай. А вот 0⁵ = 0 (ноль, умноженный на себя, остаётся нулём). Запрещён только сам ноль в нулевой степени.

✍️ Разбор примеров

Пример 1. Упрости: c⁴ · c⁷.

Решение. Основания одинаковые (c), показатели складываем: 4 + 7 = 11.

Ответ: c¹¹.

Пример 2. Упрости: 2⁵ · 2³ и запиши ответ степенью.

Решение. Основание 2 не меняем, показатели складываем: 5 + 3 = 8.

Ответ: 2⁸.

Пример 3. Упрости: x¹² : x⁵.

Решение. Деление — показатели вычитаем: 12 − 5 = 7.

Ответ: x⁷.

Пример 4. Упрости: a⁹ · a : a⁴.

Решение. Идём слева направо. Помним, что a = a¹. Сначала умножение: a⁹ · a¹ = a¹⁰. Теперь деление: a¹⁰ : a⁴ = a⁶.

Ответ: a⁶.

Пример 5. Найди значение выражения: 3⁷ : 3⁵.

Решение. Показатели вычитаем: 7 − 5 = 2. Получаем 3² = 9.

Ответ: 9.

Пример 6. Упрости: (b⁶ · b²) : b⁸.

Решение. В скобке складываем показатели: 6 + 2 = 8, получаем b⁸. Теперь b⁸ : b⁸ = b⁸⁻⁸ = b⁰ = 1.

Ответ: 1.

💡 Запомни главное

• Умножение: aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ (показатели складываем).
• Деление: aᵐ : aⁿ = aᵐ⁻ⁿ (показатели вычитаем).
• a⁰ = 1 (при a ≠ 0).
• Правила работают только при одинаковых основаниях; само основание не меняется.

📝 Домашнее задание

1. Упрости: a³ · a⁵.
2. Упрости: x⁷ · x.
3. Упрости: 5⁴ · 5² (ответ степенью).
4. Упрости: b⁹ : b⁴.
5. Найди значение: 2⁸ : 2⁵.
6. Упрости: c⁶ · c³ : c².
7. Вычисли: (−6)⁰ + 3⁰.
8. Упрости: (m⁵ · m⁴) : m⁹.
9. ⭐ Найди значение выражения: (2⁴ · 2³) : 2⁵ + 7⁰.